1. Mostre que o conjunto R 2 = {(x, y)/x, y R} é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição de elementos e multiplicação por escalar.

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Marcelo di Castro Olivares
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1 Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco - UNIVASF Colegiado de Engenharia de Produção - CPROD Prof. Felipe Wergete a Lista de Exercícios de Álgebra Linear Mostre que o conjunto R 2 = {(x, y)/x, y R é um espaço vetorial real, com as operações usuais de adição de elementos e multiplicação por escalar. 2. Considere o espaço vetorial real V = {(x, y) R 2 /x > 0 com as operações: adição de elementos: (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2, y + y 2 ). multiplicação por escalar: α (x, y) = (x α, αy), α R. (a) Exiba o elemento neutro da operação adição. (b) Exiba o elemento simétrico aditivo do elemento (x, y) V. (c) Mostre que α ( u v) = α u α v, u, v V e α R.. Verifique se o subconjunto S de M n (R) definido por: S = {A M n (R)/A 2 = A, o conjunto das matrizes idempotentes, é um subespaço vetorial de M n (R). 4. Mostre que o subconjunto de M 2 (R) dado por: / x y z = 0 é um subespaço vetorial de M 2 (R). 5. Considere o espaço vetorial real P (R). Mostre que o subconjunto é um subespaço vetorial de P (R). {p(x) P (R) / p( ) = p() = 0 6. Mostre que o seguinte subconjunto { S = f C(0, ) / é um subespaço do espaço vetorial C(0, ). 0 f(x)dx = 0 7. Mostre que os seguintes subconjuntos de M n (R) definidos por: são subespaços vetoriais de M n (R). {A M n (R)/A t = A W = {A M n (R)/A t = A

multiplicação por escalar: α (x, y) = (x α, αy), α R. (a) Exiba o elemento neutro da operação adição. (b) Exiba o elemento simétrico aditivo do elemento (x, y) V.

2 2 8. Considere o subespaço vetorial de M 2 (R) dado por: / x y z = 0 Determine um sistema de geradores para U. 9. Seja W o subespaço de M 2 (R) gerado pelas matrizes A =, A 2 = 0 0, A = 0. Verifique se a matriz A dada por: pertence ao subespaço W. 0. Mostre que as matrizes A = A = , A 2 = 0 e A =. 0 formam um sistema de geradores para o subespaço W = {A M 2 (R) / A = A t.. Considere o espaço vetorial real R e os subespaços gerados (, 0, 0), (,, ) e W = (0,, 0), (0, 0, ). Determine um sistema de geradores para o subespaço V = U W. 2. Considere os seguintes subespaços de R 4 Pede-se: {(x, y, z, t) R 4 / x + y = 0 e z t = 0 W = {(x, y, z, t) R 4 / x y z + t = 0. (a) Determine um sistema de geradores para o subespaço U W (b) Determine um sistema de geradores para o subespaço U + W. (c) O subespaço U + W é uma soma direta? Justifique sua resposta.. Sejam U o subespaço do R gerado pelo elemento u = (, 0, 0) e W o subespaço do R gerado pelos elementos w = (,, 0) e w 2 = (0,, ). Mostre que o espaço vetorial R = U W. 4. Encontre o conjunto solução S R do sistema linear homogêneo 2x + 4y + z = 0 x + y + 2z = 0 x + y z = 0 Mostre que S é um subespaço do R. Dado o subespaço {(x, y, z) R / x y + z = 0, determine um sistema de geradores para o subespaço S U.

. Considere o espaço vetorial real R e os subespaços gerados (, 0, 0), (,, ) e W = (0,, 0), (0, 0, ). Determine um sistema de geradores para o subespaço V = U W. 2.

3 5. Verifique quais dos subconjuntos (a) {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ), (2, 2, 5) (b) {(,, ), (, 2, ), (, 2, ) são linearmente independentes no espaço vetorial real R. 6. Verifique quais dos subconjuntos (a) {, x, x 2 + 2x +, x 2 (b) {x(x ), x, 2x x 2, x são linearmente independentes no espaço vetorial real P 4 (R). 7. Mostre que o conjunto γ = {(, 0, 0, ), (0,, 0, ), (0, 0,, ), (, 0, 0, ) é linearmente independente no espaço vetorial real R Verifique se os elementos u = (,,, ), u 2 = (0,,, ), u = (0, 0,, ) e u 4 = (0, 0, 0, ) formam uma base para o espaço vetorial real R Encontre uma base para o subespaço W de M (R) definido por: W = {A M (R) / A t = A. 20. Mostre que o conjunto γ = {, x, ( x) 2, ( x) é uma base para o espaço vetorial real P (R). 2. Determine uma base para o subespaço vetorial de M 2 (R) dado por: / x y z = Considere os seguintes subespaços vetoriais de P 2 (R) {p(x) = a + bx + cx 2 P 2 (R) / a 2c = 0 W = x, x x 2. Determine uma base para o subespaço U W. 2. Para quais valores de a R o conjunto é uma base para o espaço vetorial R? 24. Mostre que os polinômios β = {(a,, 0), (, a, ), (0,, a) p (x) =, p 2 (x) = + x, p (x) = x 2 e p 4 (x) = x x 2 x formam uma base para o espaço vetorial P (R).

Mostre que o conjunto γ = {(, 0, 0, ), (0,, 0, ), (0, 0,, ), (, 0, 0, ) é linearmente independente no espaço vetorial real R 4. 8.

4 4 25. Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão do espaço vetorial R 4. Considerando que U W = (, 2,, 0), (,, 0, ), (, 5, 2, ), qual é a dimensão do subespaço U + W? 26. Considere o espaço vetorial P (R) com a base ordenada Sendo p(x) = 2x x 2 encontre p γ. γ = {, x, ( x) 2, ( x). 27. Considere a base β = {2, a + x, + bx 2 de P 2 (R). Determine as constantes a, b R de modo que as coordenadas do polinômio p(x) = x + x 2 em relação à base β seja dado por: p β = Considere a base ordenada γ = { v, v 2, v do R onde v = (, 0, ), v 2 = (,, ) e v = (, 0, 0). Encontre as coordenadas do elemento u = (a, b, c) R com relação à base ordenada γ. 29. Considere o espaço vetorial real R 2. A matriz de mudança da base ordenada γ = { u, u 2, onde u = (, ) e u 2 = ( 2, 2), para a base ordenada α = { v, v 2 é dada por: I γ α = 4 2 Determine a base ordenada α. Determine o elemento u R 2 tal que u α = Considere as bases β = { u, u 2, u e γ = { w, w 2, w de R, relacionadas da seguinte forma: w = u u 2 u w 2 = 2 u 2 + u w = u + u Pede-se: (a) Determine as matrizes de mudança de base I β γ e I γ β. (b) Considere que o elemento u R tem coordenadas u β = 2 Determine as coordenadas do elemento u com relação à base γ..

Determine as constantes a, b R de modo que as coordenadas do polinômio p(x) = x + x 2 em relação à base β seja dado por: p β = 2. 28.

5 5. Considere a seguinte matriz de mudança de base I α β = 0. Encontre (a) v β, onde v α = 2. (b) v α, onde v β = 2.

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