Primeira Lista de Álgebra Linear

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1 Serviço Público Federal Ministério da Educação Universidade Federal Rural do Semi-Árido UFERSA Departamento de Ciências Ambientais DCA Prof. D. Sc. Antonio Ronaldo Gomes Garcia a a Mossoró-RN 18 de agosto de 2009 Primeira Lista de Álgebra Linear (a) Seja V o espaço vetorial R n definido no Exemplo 2 de Qual é o vetor nulo de V e o que é (x 1 x 2... x n )? (b) Seja W = M(2 2) (veja Exemplo 3) descreva o vetor nulo e o vetor oposto. 2. Mostre que os seguintes subconjuntos de R 4 são subespaços (a) W = {(x y z t) R 4 ; x + y = 0 e z t = 0 (b) U = {(x y z t) R 4 ; 2x + y t = 0 e z = 0 3. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2 2). Em caso afirmativo exiba geradores (a) V = com a b c d R e b = c (b) W = com a b c d R e b = c Considere dois vetores (a b) e (c d) no plano. Se ad bc = 0 mostre que eles são LD. Se ad bc 0 mostre que eles são LI. 5. Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais com as operações usuais. No caso afirmativo exiba umase e dê a dimensão. (a) Matrizes diagonais n X n (b) Matrizes escalares n X n a a + b (c) : a b R (d) V = {(a a...a) R n : a R (e) {(1 a b) : a b R

2 (f) A reta {(x x + 3) : x R (g) {(a 2a 3a) : a R 6. Considere o subespaço de R 4 S = [( ) ( ) ( )] (a) O vetor ( ) pertence a S? (b) O vetor ( ) pertence a S? 7. Seja W o subespaço de M(3 2) gerado por O vetor pertence a W? e Mostre que {[ 1 0 ] [ 0 1 ] [ 1 0 ] [ 0 1 ] é base de M(2 2). 9. Escreva umase para o espaço vetorial das matrizes n X n. Qual a dimensão deste espaço? 10. Quais são as coordenadas de x = (1 0 0) em relação à base β = {(1 1 1) ( 1 1 0) (1 0 1)? 11. Qual seria umase natural para P n? (Veja o Exemplo 4 de 4.2.2). Dê a dimensão deste espaço vetorial. 12. Mostre que os polinios 1 t 3 (1 t) 2 1 t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau Considere [ a a] um intervalo simétrico e C 1 [ a.a] o conjunto das funções reais definidas no intervalo [ a a] que possuem derivadas contínuas no intervalo. Sejam ainda os subconjuntos V 1 = {f(x) C 1 [ a a] f( x) = f(x) x [ a a] e V 2 = {f(x) C 1 [ a a] f( x) = f(x) x [ a a]. (a) Mostre que C 1 [ a a] é um espaço vetorial real. (b) Mostre que V 1 e V 2 são subespaços de C 1 [ a a]. (c) Mostre que V 1 V 2 = C 1 [ a a].

3 14. Seja V o espaço das matrizes 2 X 2 sobre R e seja W o subespaço gerado por [ ] [ ] [ ] [ ] Encontre umase e a dimensão de W. 15. Seja P o conjunto de todos os polinômios(de qualquer grau) com coeficientes reais. Existe umase finita para este espaço? Encontre uma base para P e justifique então por que P é conhecido como um espaço de dimensão infinita. 16. Considere o subespaço de R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ) e v 4 = ( ). (a) O vetor ( ) [v 1 v 2 v 3 v 4 ]? Justifique. (b) Exiba umase para [v 1 v 2 v 3 v 4 ]. Qual é a dimensão? (c) [v 1 v 2 v 3 v 4 ] = R 4? Por quê? 17. Considere o subespaço de R 3 gerado pelos vetoresv 1 = (1 1 0) v 2 = (0 1 1) e v 3 = (1 1 1). [v 1 v 2 v 3 ] = R 3? Por quê? 18. Use o exercício 17 para exibir umase para o subespaço S definido no Exercício 6. Qual é a dimensão de S? 19. Considere o sistema linear (δ) 2x 1 + 4x 2 6x 3 = a x 1 x 2 + 4x 3 = b 6x 2 14x 3 = c Seja W = {(x 1 x 2 x 3 ) R 3 : (x 1 x 2 x 3 ) é solução de (δ). Isto é W é o conjunto-solução do sistema. (a) Que condições devemos impor a a b e c para que W seja subespaço vetorial de R 3? (b) Nas condições determinadas em (a) encontre umase para W. (c) Que relação existe entra a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este o resultado válido para quaisquer sistemas homogênios? 20. Seja U o subespaço de R 3 gerado por (1 0 0) e W o subespaço de R 3 gerado por (1 1 0) e (0 1 1). Mostre que R 3 = U W. 21. Determine o teorema isto é mostre que dados u = w 1 + w 2 W 1 + W 2 e v = w 1 + w 2 W 1 + W 2 (onde w 1 w 1 W 1 e w 2 w 2 W 2 ) então u + v W 1 + W 2 e ku W 1 + W 2 para todo k R.

4 22. Mostre que se V = W 1 W 2 e α = {v 1...v k é ase de W 1 β = {w 1...w r é ase de W 2 então γ = {v 1...v k w 1... w r é base de V. Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta. 23. Sejam W 1 = {(x y z t) R 4 ; x+y = 0 e z t = 0 e W 2 = {(x y z t) R 4 ; x y z + t = 0 subespaços de R 4. (a) Determine W 1 W 2. (b) Exiba umase para W 1 W 2. (c) Determine W 1 + W 2. (d) W 1 + W 2 é soma direta? Justifique. (e) W 1 + W 2 = R 4? 24. Sejam W 1 = tais que a = d e b = c {[ c ] d e W 2 = tais que a = c e b = d subespaços de M(2 2). (a) Determine W 1 W 2 e exiba umase. (b) Determine W 1 + W 2. É soma direta? W 1 + W 2 = M(2 2)? 25. (a) Dado o subespaço V 1 = {(x y z) R 3 ; x + 2y + z = 0 ache um subespaço V 2 tal que R 3 = V 1 V 2. (b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R 3 tais que V 1 +V 2 = R 3. A soma é direta? 26. Ilustre com um exemplo a proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então: dim(u + W) = dimu + dimw - dim(u W). 27. Sejam β = {(1 0) (0 1) β 1 = {( 1 1) (1 1) β 2 = {( 3 1) ( 3 1) e β 3 = {(2 0) (0 2) bases ordenadas de R 2. (a) Ache as matrizes de mudança de base: i. [I] β1 β ii. [I] β β 1 iii. [I] β β 2 iv. [I] β β 3 (b) Quais as coordenadas do vetor v = (3 2) em relação à base: i. β ii. β 1 iii. β 2 iv. β 3 (c) As coordenadas de um vetor v em relação à base β 1 são dadas por [ ] 4 [v] β1 = 0

5 28. Se [I] α α = ache Quais são as coordenadas de v em relação à base: i. β ii. β 2 iii. β (a) [v] α onde [v] α = (b) [v] α onde [v] α = Se β é obtida de β ase canônica de R 2 pela rotação por um ângulo π 3 ache (a) [I] β β (b) [I] β β 30. Sejam β 1 = {(1 0) (0 2) β 2 = {( 1 0) (1 1) e β 3 = {( 1 1) (0 1) três bases ordenadas de R 2. (a) Ache i. [I] β2 ii. [I] β3 β 1 β 2 iii. [I] β3 β 1 iv. [I] β2 β 1 [I] β3 β 2 (b) Se for possível dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base. 31. Seja {[ V o espaço] vetorial [ de] matrizes [ 2 ] X 2 triangulares superiores. Sejam 1 1 β = 0 1 [ ] [ ] e β 1 = 0 1 duas bases de V. Ache [I] β1 β. 32. Volte a e mostre efetivamente que ([I] β β ) 1 = [I] β β. 33. Se α é base de um espaço vetorial qual é a matriz de mudança de base [I] α α?