1. Considere a seguinte matriz dos vértices dum triângulo D = 0 2 3

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 7 a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2006/07 - aulas práticas de e Considere a seguinte matriz dos vértices dum triângulo D = a) Determine a imagem final do triângulo quando é reflectido no eixo dos yy e depois rodado em π/2 no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. b) Diga, justificando, se a transformação sofrida pelo triângulo da alínea anterior é injectiva e/ou sobrejectiva. Qual a transformação que devolve o triângulo original, i.e. qual é a transformação inversa? Descreva-a ou indique a matriz que a representa Solução: a) ; b) a transformação é injectiva e sobrejectiva, sendo a sua inversa a transformação que roda primeiro o triângulo no sentido contrário em π/2 e que depois o reflecte relativamente ao eixo-yy; a matriz canónica para a 0 1 transformação inversa é Identifique a matriz 3 3 que corresponde à composição dum redimensionamento duma dada figura 2-d num factor 0.4, seguido duma rotação no sentido positivo em 60 o e finalmente dum deslocamento em p = ( 0.5, 2) de toda a figura. Solução: 1/5 3/5 1/2 3/5 1/ Identifique a matriz 3 3 que corresponde à composição duma translação em p = (3, 1) da figura 2-d, seguida duma rotação no sentido negativo em 45 o em torno da origem. 2/2 2/2 2 2 Solução: 2/2 2/ Identifique os va.p. de T e os ve.p. associados, quando T é uma das seguintes transformações lineares. a) A reflexão de (x, y) R 2 relativamente ao eixo dos xx e a reflexão relativamente à recta x = y; b) A reflexão de (x, y, z) R 3 relativamente ao plano-xy e a reflexão relativamente ao plano-yz; c) A projecção ortogonal de (x, y) R 2 no eixo dos xx e a projecção no eixo dos yy;

2 d) A projecção ortogonal de (x, y, z) R 3 sobre o plano-xy e a projecção sobre o plano-xz; e) A rotação de (x, y) R 2 em torno da origem no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo) por um ângulo de π/2; f) A rotação de (x, y, z) R 3 em torno da origem no sentido positivo por um ângulo de π/2 relativamente ao semi-eixo positivo dos zz; Solução: a) λ 1 = 1 associado a v 1 = (1, 0) e λ 2 = 1 associado a v 2 = (0, 1) para a reflexão relativamente ao eixo dos xx; λ 1 = 1 associado a v 1 = (1, 1) e λ 2 = 1 associado a v 2 = ( 1, 1) para a reflexão relativamente à recta x = y;b) λ 1 = 1 associado a v 11 = (1, 0, 0) e a v 12 = (0, 1, 0)e λ 2 = 1 associado a v 2 = (0, 0, 1) para a reflexão relativamente plano-xy; c) λ 1 = 1 associado a v 1 = (1, 0) e λ 2 = 0 associado a v 2 = (0, 1) para a projecção ortogonal no eixo dos xx; e) e f) não têm valores próprios em R. 5. Escreva as equações das rectas em R 2 (caso exista alguma) que são invariantes por T, i.e., T x pertence à mesma recta que x com T representada pelas seguintes matrizes canónicas: (a) A = (b) A = (c) A = Solução: (a) {(x, y) R 2 : y = 0} = L{(1, 0)}; (b) não existe nenhuma recta nessas condições; (c) {(x, y) R 2 : y = 2x} = L{(1, 2)} e {(x, y) R 2 : y = x} = L{(1, 1)}. 6. Considere as seguintes matrizes que representam transformações lineares em R 2 relativamente à base canónica: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Para cada uma delas escreva a equação característica, encontre os valores próprios e bases para os espaços próprios correspondentes. Solução: (a) p(λ) = (3 λ)(1 + λ) = 0, λ 1 = 3 com o espaço próprio E(3) = {(x, y) R 2 : y = 2x} = L{(1, 2)}e λ 2 = 1 com E( 1) = {(x, y) R 2 : x = 0} = L{(0, 1)}; (b) p(λ) = (4 λ) 2 = 0, λ = 4 com o espaço próprio E(4) = {(x, y) R 2 : y = 2x} = L{(3, 2)}; (c) p(λ) = 3 λ2 12 = 0, λ 1 = 2 3 com o espaço próprio E(2 3) = {(x, y) R 2 : y = 2 3 x} = L{( 3, 2)}e λ 2 = 2 3 com E(2 3) = {(x, y) R 2 : y = 2 3 x} = L{( 3, 2)}; (e) p(λ) = λ 2 = 0, λ = 0 com o espaço próprio E(0) = L{(1, 0), (0, 1)}; (f) p(λ) = (1 λ) 2 = 0, λ = 1 com o espaço próprio E(1) = L{(1, 0), (0, 1)}. 7. Considere as seguintes matrizes que representam transformações lineares em R 3 relativamente à base canónica: (a) (b) (c)

3 Para cada uma delas escreva a equação característica, encontre os valores próprios e bases para os espaços próprios correspondentes. Solução: (a) p(λ) = (1 λ)λ 2 5λ + 6 = 0, λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 3 com os espaços próprios E(1) = {(x, y, z) R 3 : x = z = 0} = L{(0, 1, 0)}, E(2) = {(x, y, z) R 3 : 2x = z, y = z} = L{( 1, 2, 2)}, E(3) = {(x, y, z) R 3 : x = z, y = z} = L{( 1, 1, 1)}; (b) p(λ) = (3 λ)(2 + λ)(4 + λ) = 0, λ 1 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = 4 com os espaços próprios E(3) = {(x, y, z) R 3 : y = z = 0} = L{(1, 0, 0)}, E( 2) = {(x, y, z) R 3 : x = z, z = 0} = L{(0, 1, 0)}, E( 4) = {(x, y, z) R 3 : 7x = 5z, 2y = z} = L{( 1 7, 1 2, 1)}; (c) p(λ) = (1 λ)λ2 5λ + 7 = 0, o único valor próprio real λ = 2 com o espaço próprio E(2) = {(x, y, z) R 3 : 3x = z, 3y = z} = L{( 1, 1, 3)}. 8. Diga, justificando, quais dos seguintes ternos (V,, ) são espaços lineares reais (V representa um conjunto e e representam as operações de adição e multiplicação por um número real, respectivamente): a) O conjunto de ternos ordenados (x, y, z) de reais com as operações: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) e k (x, y, z) = (kx, y, z). b) O conjunto de ternos ordenados (x, y, z) de reais com as operações: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) e k (x, y, z) = (0, 0, 0). c) O conjunto de ternos ordenados (x, y, z) de reais com as operações: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) e k (x, y, z) = (2kx, 2ky, 2kz). d) O conjunto de pares ordenados (x, y) de reais tais que x 0 com as operações usuais em R 2. e) O conjunto de pares ordenados (x, y) de reais com as operações: (x, y) (x, y ) = (x + x + 1, y + y + 1) e k (x, y) = (kx, ky). f) O conjunto dos reais positivos com as operações x x = xx e k x = x k. g) O conjunto das matrizes da forma: a b 0 c com as operações usuais de adição matricial e multiplicação por um número real. h) O conjunto das matrizes da forma: a 0 0 b com as operações usuais de adição matricial e multiplicação por um número real. i) O conjunto das matrizes singulares n n, considerando as operações matriciais usuais.

4 j) O conjunto das matrizes n n que comutam com uma dada matriz A com as operações matriciais usuais. k) O conjunto das funções reais de variável real tais que f(x) = f( x) (funções ímpares), considerando as operações usuais de adição de funções e multiplicação por um número real (definidas ponto a ponto). l) O conjunto das funções reais de variável real tais que f(1) = 0, considerando as operações usuais de adição de funções e multiplicação por um número real (definidas ponto a ponto). m) O conjunto dos polinómios reais p(x) que se anulam em x = 0. n) O conjunto das funções reais de variável real tais que f tem segunda derivada contínua e f (x) + af (x) + bf(x) = cos x, onde a e b são dois números reais dados. Resposta: os ternos que verificam a totalidade dos 10 axiomas de espaço linear são os das alíneas (g), (h), (j), (k), (l) e (m), nos restantes casos, (a), (b), (c), (d), (e), (f), (i) e (n) falha pelo menos um dos axiomas. 9. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos com as operações usuais de soma vectorial e multiplicação por escalares reais são subespaços lineares de R 3. Nos casos afirmativos, indique a dimensão e uma base para o respectivo subespaço. a) O conjunto de vectores da forma (a, 0, 0) com a real b) O conjunto de vectores da forma (a, 1, 1) com a real c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com b = a + c e a, b, c reais d) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com a, b, c inteiros e) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com b = a + c + 1 e a, b, c reais Resposta: apenas os conjuntos das alíneas (a) e (c) são subespaços lineares de R 3 ; no caso da alínea (a), a dimensão do subespaço é igual a 1 e uma base pode ser dada pelo conjunto {(1, 0, 0)}, no caso da alínea (c), a dimensão do subespaço é igual a 2 e uma base pode ser dada pelo conjunto {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. 10. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos com as operações usuais de soma vectorial e multiplicação por escalares reais são subespaços lineares de R 4. Nos casos afirmativos, indique a dimensão e uma base para o respectivo subespaço. a) O conjunto de vectores da forma (a, 0, 0, 1) com a real b) O conjunto de vectores da forma (a, b, 0, 0) com a, b reais c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com b = a + c d e c = 2d, sendo a, b, c, d reais c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com a, b, c, d positivos d) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com c = a + b + 1 e d = 2a b, sendo a, b, c reais Resposta: apenas os conjuntos das alíneas (b) e (c) são subespaços lineares de R 4 ; no caso da alínea (b), a dimensão do subespaço é igual a 2 e uma base pode ser dada pelo conjunto {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, no caso da alínea (c), a dimensão do subespaço é igual a 2 e uma base pode ser dada pelo conjunto {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 1)}.

5 11. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos com as operações definidas como sendo as operações usuais nos respectivos espaços lineares são subespaços lineares. Nos casos afirmativos, indique a dimensão e uma base para o respectivo subespaço. I. de M(2 2, R): a b a) O conjunto de matrizes da forma com a, b, c, d inteiros c d b) O conjunto de matrizes da forma anterior, em que a + d = 0 c) O conjunto de matrizes 2 2 tais que A = A T, em que A T representa a matriz transposta d) O conjunto de matrizes 2 2 tais que deta = 0 e) O conjunto de matrizes 2 2 tais que A = A T Solução: (a) não é subespaço linear, porque não é fechado para a multiplicação por escalar; (b) é o subespaço linear das { matrizes 2 2 com traço igual } a zero e uma base pode ser dada pelo conjunto,,, temos que a 1 1 dimensão deste subespaço é igual a 3. (c) é o subespaço { linear das matrizes } anti-simétricas e uma base pode ser dada pelo conjunto, temos que 1 0 a dimensão deste subespaço é igual a 1. (e) é o subespaço { linear das matrizes 2 2 } 1 1 simétricas e uma base pode ser dada pelo conjunto,,, 1 1 concluimos que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (d) não é subespaço linear, porque não é fechado para a soma. II. de P 3 : a) O conjunto dos polinómios de variável real a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a 0 = 0 b) O conjunto dos polinómios de variável real a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0 c) O conjunto dos polinómios de variável real a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 tais que a 0, a 1, a 2, a 3 são inteiros d) O conjunto dos polinómios de variável real a 0 + a 1 x tais que a 0, a 1 são reais Solução: (a) é o subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a 3 e com termo constante igual a zero e uma base pode ser dada pelo conjunto {x, x 2, x 3 }, temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (b) é subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a 3 em que a soma dos coeficientes se anula e uma base pode ser dada pelo conjunto {1 x, 1 x 2, 1 x 3 }, temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a 3. (c) não é subespaço linear, porque não é fechado para a multiplicação por escalar. (d) é o subespaço linear de polinómios com grau menor ou igual a 1 e uma base pode ser dada pelo conjunto {1, x}, temos assim que a dimensão deste subespaço é igual a Quais dos vectores seguintes são combinações lineares de u = (0, 2, 2) e v = (1, 3, 1)? (a) (2, 2, 2) (b) (3, 1, 5) (c) (0, 4, 5) (d) (0, 0, 0) Resposta: os vectores das alíneas (a), (2, 2, 2) = 2u + 2v, (b), (3, 1, 5) = 4u + 3v e (d) (0, 0, 0) = 0u + 0v, são combinações lineares dos vectores dados.

6 13. Sejam u, v e w os vectores que se indicam abaixo. Determine em função dos parâmetros α e β quando é que o correspondente vector x se pode obter como combinação linear de u, v e w. (a) u = (1, 0, 0), v = (2, α, 0), w = (2, 3, 1) e x = ( 3, β, 4) (b) u = (α, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = ( 3, 3, 1) e x = (β, 2, 4) Resposta: em ambos os casos, x é combinação linear de u, v e w sse α 0 ou α = 0 e β = Exprima os vectores seguintes como combinações lineares de u = (2, 1, 4), v = (1, 1, 3) e w = (3, 2, 5). (a) ( 9, 7, 15) (b) (6, 11, 6) (c) (0, 0, 0) (d) (7, 8, 9) Solução: (a) ( 9, 7, 15) = 2u+1v 2w; (b) (6, 11, 6) = 4u 5v+w; (c) (0, 0, 0) = 0u + 0v + 0w; (d) (7, 8, 9) = 0u 2v + 3w 15. Quais dos vectores seguintes são combinações lineares de 6 8 (a) A =, B = 2 2 (b) (c), C = ? 1 5 (d) 7 1 Solução: os vectores das alíneas (a) (com os coeficientes c 1 = 1, c 2 = 2, c 3 = 3), (b) (com os escalares c i = 0, i = 1, 2, 3) e (c) (com os coeficientes c 1 = 1, c 2 = 2, c 3 = 1). 16. Exprima os vectores p seguintes como combinações lineares de p 1 = 2 + x + 4x 2, p 2 = 1 x + 3x 2 e p 3 = 3 + 2x + 5x 2. (a) p = 9 7x 15x 2 (b) p = x + 6x 2 (c) 0 (d) p = 7 + 8x + 9x 2 Solução: (a) p = 11 3 p p 2 p 3 ; (c) p = 0p 1 + 0p 2 + 0p 3.