Tópicos de Matemática Elementar

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1 Revisão Básica de Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior Universidade Federal de Alfenas 26 de novembro de 2014

2 Revisão de Definição 1 (Espaço Vetorial) Um conjunto V é um espaço vetorial sobre R, se em seus elementos, denominados vetores, estiverem definidas duas operações: (A) A cada para u, v de vetores de V corresponde um vetor u + v V, chamado de soma de u e v, e (M) a cada par α R e v V, corresponde um vetor α v V, denominado produto por escalar de α por v, de modo que: u + v = v + u, para todo u, v V. u + (v + w) = (u + v) + w, para todo u, v, w V. Existe 0 V, tal que 0 + u = u, para todo u V. Para cada v V, existe v V, tal que v + ( v) = v + v = 0. (α β) v = α (β v), para todo α, β K e todo v V. 1 v = v, para todo v V, onde 1 é o elemento neutro da multiplicação em R. α(u + v) = αu + αv, para todo α R e todo u V. (α + β)v = αv + βv, para todo α, β R e todo v V.

3 Revisão de Exemplo 1 R 3 com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas por: (x 1, x 2, x 3 ) + (y 1, y 2, y 3 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 ) α(x 1, x 2, x 3 ) = (αx 1, αx 2, αx 3 ), é um espaço vetorial sobre R.

4 Revisão de Exemplo 2 M 2 (R) com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas por: ( ) ( ) ( ) a11 a 12 b11 b + 12 a11 + b = 11 a 12 + b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22 ( ) a11 a α 12 = a 21 a 22 ( ) α a11 α a 12, é um espaço vetorial sobre R. α a 21 α a 22

5 Revisão de Definição 2 (Subespaço Vetorial) Seja V um espaço vetorial. Dizemos que W V é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições: 0 W. Se u, v W, então u + v W. Se u W, então α u W, para todo α R. Teorema 1 Seja V um espaço vetorial. Dizemos que W V é um subespaço vetorial de V se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições: 0 W. Se u, v W, então α u + β v W, para todo α, β R.

6 Revisão de Exemplo 3 Seja S = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z = 0} R 3. S é um subespaço vetorial de R 3. De fato, (0, 0, 0) S, pois = 0. Dados (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) S e α, β R, temos que α (x 1, y 1, z 1 ) + β(x 2, y 2, z 2 ) = (αx 1 + βx 2, αy 1 + βy 2, αz 1 + βz 2 ) S, pois: (αx 1 + βx 2 ) + (αy 1 + βy 2 ) + (αz 1 + βz 2 ) = = α(x 1 + y 1 + z 1 ) + β(x 2 + y 2 + z 2 ) = = 0.

7 Revisão de Definição 3 Sejam V um espaço vetorial e u 1,..., u n V. Dizemos que um vetor u é combinação linear dos vetores u 1,..., u n, se existirem α 1,..., α n R, tais que: u = α 1 u α n u n. Exemplo 4 Seja V = R 3 e considere os vetores (2, 1, 0), (0, 0, 1) V. Note que o vetor (4, 2, 3) é combinação linear vos veores acima, uma vez que (4, 2, 3) = 2 (2, 1, 0) + 3 (0, 0, 1).

8 Revisão de Definição 4 Sejam V um espaço vetorial e S V, um subconjunto não vazio. Usaremos o símbolo [S] para denotar o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S. Em outras palavras, u [S], se existirem α 1,..., α n R e u 1,..., u n S, tais que u = α 1 u α n u n. Proposição 1 Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. Então [S] é um subespaço vetorial de V. Definição 5 Seja V um espaço vetorial. Dizemos que V é finitamente gerado, se existirem um núnero finito de vetores u 1,..., u n, tais que V = [u 1,..., u n ].

9 Revisão de Definição 6 Dizemos que uma sequência de vetores u 1,..., u n de um espaço vetorial V é linearmente independente (l.i.) se a combinação linear α 1 u α n u n = 0, só for satisfeita quando α 1 =... = α n = 0. Observação 1 Se a sequência de vetores u 1,..., u n linearmente dependente (l.d.). V não for l.i., dizemos que ela é

10 Revisão de Exemplo 5 ( ) ( ) ( ) As matrizes,, pertencentes ao espaço vetorial M 2 (R), formam um conjunto linearmente dependente, pois: ( ) ( ) ( ) ( ) = Exemplo 6 Os vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) pertencentes ao espaço vetorial R 3 formam um conjunto linearmente independente, pois se α 1 (1, 0, 0) + α 2 (0, 1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), então concluímos que (α 1, α 2, α 3 ) = (0, 0, 0) α 1 = α 2 = α 3 = 0.

11 Revisão de Definição 7 Seja V {0} um espaço vetorial finitamente gerado. Dizemos que B = {u 1,..., u n } V é uma base de V, se as seguintes condições forem satisfeitas: Os vetores u 1,... u n são l.i. V = [B] = [u 1,..., u n ]. Exemplo 7 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de R 3. Já vimos que os vetores de B são l.i., agora resta mostrar que eles geram R 3. Note que dado (x, y, z) R 3, ele se escreve da forma: (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1), ou seja, (x, y, z) [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]. Logo, R 3 [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]. Portanto, R 3 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)].

12 Revisão de Teorema 2 Em um espaço vetorial V {0} finitamente gerado, toda base possui o mesmo número de elementos. Definição 8 Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Se V = {0}, então definimos a dimensão de V como sendo 0. Se V {0}, definimos a dimensão de V, como sendo o número de elementos de uma base qualquer de V. Notação: dim(v). Exemplo 8 Vimos que B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de R 3. dim(r 3 ) = 3. Logo,

13 Revisão de Exemplo 9 {( ) ( ) ( ) ( ) B =,,,, ( ) ( )} ,, é uma base de M (R). Logo, dim(m 2 3 (R)) = 6. Observação 2 De um modo geral, temos que dim(m n m (R)) = n m.

14 Bibliografia CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, R. C. F. Álgebra Linear e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, 2003.

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