Álgebra Linear. Alan Anderson

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1 Álgebra Linear Alan Anderson 9 de abril de Espaço Euclidiano Denimos o espaço euclidiano n dimensional R n como sendo o conjunto das listas de n números reais. R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Um elemento v R n é chamado de ponto ou vetor. O vetor (0,..., 0), que representaremos simplesmente por 0 é chamado de origem de R n (cuidado para não confundir o vetor zero e o número zero, usaremos a mesma notação para os dois). Dados dois vetores u = (x 1,..., x n ) e v = (y 1,..., y n ) em R n e um número α R, denimos as operações soma e multiplicação por escalar, respectivamente, como segue: a) u + v = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) (somar dois vetores é o mesmo que somar suas entradas); b) αu = (αx 1,..., αx n ) (multiplicar um vetor por um escalar é multiplicar cada entrada pelo escalar). Exemplo Sejam u = (1, 2, 3, 4) e v = (5, 2, π, 1) quem é u + 2v? 3 Pela denição de produto por escalar acima, temos que 2v = (10, 4, 2π, 2), 3 e assim, pela denição de soma u + 2v = (11, 2, 3 + 2π, 6). 3 1

2 2 Combinações Lineares Dados os vetores v 1,..., v k R n, uma combinação linear entre eles é uma soma do tipo α 1 v α k v k onde cada α j é um número real (escalar). Exemplo Qualquer vetor de R 4 pode ser escrito como combinação linear de e 1 = (1, 0, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0, 0), e 3 = (0, 0, 1, 0), e 4 = (0, 0, 0, 1), pois dado o vetor v = (x, y, z, w), temos que v = x e 1 + y e 2 + z e 3 + w e 4. Exemplo O vetor (1, 3, 5, 8) não pode ser escrito como combinação linear de (1, 3, 1, 1) com (2, 4, 3, 2), pois qualquer combinação linear dos dois últimos vetores deve ter a primeira entrada igual a última. Mostre que a) qualquer vetor de R 2 pode ser escrito como combinação linear de v 1 = ( 1, 1), v 2 = (1, 1); b) existem vetores de R 2 que não podem ser escritos como combinação linear de (2, 3) com ( 4, 6); Denição 1 Dizemos que os vetores v 1,..., v j geram R n se qualquer vetor de R n pode ser escrito como combinação linear de v 1,..., v j. se Prove ou dê um contra exemplo para a armação a seguir: Os vetores v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 2), v 3 = ( 2, 4, 4) geram R 3. Sejam v 1 = ( 1, 2, 3, 4), v 2 = (1, 2, 3, 5) e v 3 = (2, 2, 2, 2). Mostre que então α 1 = α 2 = α 3 = 0. α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 2

3 Denição 2 Dizemos que o conjunto de vetores {v 1,..., v k } R n são linearmente independentes (L.I.), se a única combinação liner nula desses vetores é a trivial, isto é, α 1 v α k v k = 0 α 1 =... = α k = 0. Quando v 1,..., v k não são L.I. dizemos que eles são linearmente dependentes (L.D.). Sejam v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0, 0), v 3 = (2, 2, 0, 0). Mostre que {v 1, v 2 } é L.I. e {v 1, v 2, v 3 } é L.D. Observe que a denição é para o conjunto de vetores, assim podemos ter que, por exemplo, que {v 1, v 2 } L.I. e {v 1, v 2, v 3 } L.D. (veja o exercício acima). Denição 3 Um conjunto de vetores {v 1,..., v k } R n é dito uma base se é L.I. e gera R n. 3 Subespaços vetoriais de R n A seguir iremos dar uma denição para subespaços vetoriais de R n. A de- nição que iremos dar não é "a melhor"denição para subespaço vetorial, primeiro porque para denir o que é um subespaço é necessário, em essencia, denir o que um espaço vetorial: um subespaço vetoria, é um subconjunto de um espaço vetorial que, com as operações induzidas do espaço, também é espaço vetorial. Daremos então uma denição simplicada, que é equivalente a denição clássica no nosso contexto de R n. Denição 4 Dizemos que um subconjunto não-vazio E R n é um subespaço vetorial de R n se i) u, v E tem-se u + v E; ii) u E e α R tem-se αv E. Exemplo E = {(a, b, 0) R 3 ; a, b R} é um subespaço vetorial de R 3, pois dados u = (x, y, 0) e v = (z, w, 0), temos que u + v = (x + z, z + w, 0) E e αu = (αx, αy, 0) E. 3

4 F = {(a, b, 1) R 3 ; a, b R} não é subespaço vetorial, pois dados u = (x, y, 1) e v = (z, w, 1) temos que u + v = (x + z, y + w, 2) que não é da forma (a, b, 1) (por causa da terceira entrada). Outra forma de provar isso é tomando qualquer α 1, temos que αv = (αx, αy, α) que não é da forma (a, b, 1). Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: a) {v = (a, b, 0, c) R 4 ; a, b, c R}; b) {v = α 1 v α n v n ; α 1,..., α n R e v 1,..., v n R 5 }. (troque R 5 por R m ) c) {v = (x, y, z); 5x + 3y + 9z = 0}. d) {v = (x, y, z); ax + by + cz = 0 com a, b, c R}. Mostre que se E e F são subespaços vetoriais de R n então E F é subespaço vetorial de R n. Mostre que isso não vale para E F. As denições a seguir são análogas as que vimos para o R n. Denição 5 Dizemos que um conjunto de vetores gera um subespaço E se qualquer elemento de E pode ser escrito como combinação linear de elementos do conjunto. s a) Mostre que B = {e 1,..., e n } gera R n, onde e i = (0,..., 1,..., 0) é o vetor com i-ésima entrada igual a 1 e as demais iguais a zero. b) Mostre que se um conjunto A gera R n então dado qualquer B temos que A B gera R n. Denição 6 Uma base de um subespaço vetorial de E R n é um conjunto L.I. que gera E. O teorema a seguir vale para qualquer espaço vetorial, no entanto como não denimos espaços vetoriais nesse texto, você pode trocar o termo 'espaço vetorial' por 'R n ' ou 'subespaço vetorial de R n '. Teorema 1 Todas as bases de um espaço vetorial xo tem o mesmo número de elementos. 4

5 A próxima denição é simplesmente um nome para o número de elementos das bases. Denição 7 A dimensão de um espaço vetorial E é o número de elementos de uma das suas bases. Pelo teorema, os espaços R n possuem dimensão n, pois basta tomar os vetores e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), com a i-ésima entrada igual a 1 e as demais igual a 0. Essa base é chamada base canônica de R n. Calcule as dimensões dos subespaços no primeiro exercício desta seção. 4 Aplicações Lineares Denição 8 Uma transformação (função) T : R m R n é dita linear se u, v R m e α R T (u + αv) = T (u) + αt (v). Observe que se m = n = 1, T é uma função linear como já estamos acostumados. Observe também que não zemos restrições sobre a ordem entre m e n: podemos ter m = n, m > n ou m < n. Mostre que a transformação T : R 3 R 2 dada por ( ) x T (x, y, z) = y z é linear. Fixe v R m. Mostre que T 1, T 2 : R m R dadas por T 1 (u) = u, v e T 2 (u) = v, u são lineares (ou seja, o produto interno é linear em cada entrada). 5

6 Mostre que T : R 3 R 2, dada por T (x, y, z) = (x, yz), não é linear. Mostre que qualquer transformação T : R m R n denida a partir de uma matriz como acima é uma transformação linear. Teorema 2 Toda transformação linear T : R m R n tem uma matriz correspondente. A partir de agora iremos tratar as transformações lineares T : R m R n como sendo matrizes. Mostre que T : R 3 R 3 dada por T (x, y, z) = (x y, y z, z x) é uma transformação linear e escreva em forma de matriz. Podemos denir transformações lineares entre espaços vetoriais também, do mesmo modo, bastando trocar na denição inicial os espaços R m e R n por espaços vetoriais quaisquer. 5 Núcleo e Imagem Seja T : R 3 R 2 a transformação linear dada por T (x, y, z) = ( ) x y z, Descreva o conjunto o conjunto N (T ) = {v R 3 ; T (v) = 0}. Denição 9 Sejam E e F espaços vetoriais e T : E F uma transformação linear. O núcleo de T N (T ) = {v E; T (v) = 0}. 6

7 Em palavras, o núcleo de uma transformação linear é o conjunto dos pontos do domínio no qual a transformação toma valor zero. Alguns autores usam o termo "kernel"para se referir ao núcleo (esse é o nome em inglês). Exemplo Vamos determinar o núcleo da transformção linear T : R 2 R 2 dada por ( ) ( ) 1 1 x T (x, y) =. 2 2 y Para isso basta ver que T (x, y) = (0, 0) (x y, 2x + 2y) = (0, 0) x y = 0 e 2x + 2y = 0 x = y. Logo, o núcleo de T é o conjunto {v R 2 ; v = (x, x) com x R}. Determine o núcleo da transformação linear T : R 3 R 3 dada por x T (x, y, z) = y z a) Dada T : R m R n linear, mostre que N (T ) é um subespaço vetorial de R m. b) Dada T : E F linear, com E subespçao vetorial de R m mostre que N (T ) é um subespaço vetorial de R m. Mostre que uma transformação linear T : R m R n é injetiva se, e somente se, N (T ) = {0}. Denição 10 Dada uma transformação linear T : E F, denimos a imagem de T como sendo o conjunto I(T ) = {v F ; u E com T (u) = v}. 7

8 A denição de imagem de transformação linear é a denição de imagem de função como já se conhece em geral, está aqui apenas por completude. Determine a imagem da transformação linear T : R 3 R 3 dada por T (x, y, z) = a) Dada T : R m R n, mostre que I(T ) é um subespaço vetorial de R n. b) Dada T : E F linear, com F subespçao vetorial de R n mostre que I(T ) é um subespaço vetorial de R n. O teorema a seguir chama-se Teorema do Núcleo e da Imagem e é de grande importância em Álgebra Linear. Teorema 3 Dada T : E F linear, tem-se que x y z. dim(n (T )) + dim(i(t )) = dim(e). Dada uma transformação linear T : E F, mostre que: a) Se T é sobrejetiva, então dim(e) dim(f ). b) Se T é injetiva, então dim(f ) dim(e). Em particular, se é bijetiva m = n 6 Autovalores e autovetores Denição 11 Dada uma transformação linear T : R m R m, dizemos que um vetor v R m \{0} é um autovetor de T se existe λ R tal que T (v) = λv. Neste caso, dizemos que λ é o autovalor associado ao autovetor v. s Determine os autovetores das transformações linear T : R 2 R 2 dadas por 8

9 ( 4 5 a) T (x, y) = 2 1 ) ( x y b) T (x, y) = (x y, x + y). ) ; Dada uma transformação linear T : R m R m. Mostre que o A(λ) = {v R m ; T (v) = λv} é um subespaço vetorial de R m. 7 Norma e Produto interno Dado um vetor v = (x 1,..., x n ) denimos sua norma como sendo v = x x 2 n. Observe se v R 1 temos que v = v 2 = v (que é a distância de v para a origem). Mostre que a) se v = (x, y) R 2 então v = x 2 + y 2, que é a distância do ponto (x, y) para a origem; b) se v = (x, y, z) R 3 então v = x 2 + y 2 + z 2, que é a distância do ponto (x, y, z) para a origem. A partir daqui usaremos o símbolo para norma de um vetor (e para módulo de um número), em vez de. Dados dois vetores u = (x 1,..., x n ) e v = (y 1,..., y n ) em R n, denimos o produto interno entre u e v por Observe que v = v, v. u, v = x 1 y x n y n. Mostre a) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: u, v u v. b) Desigualdade Triangular (para vetores): u + v u + v. 9

10 Mostre que em R 2 e em R 3 tem-se que entre os vetores u e v. u, v u v = cos α, onde α é o ângulo 8 Próximos Passos Essa é uma visão bem simplicada do que se aprende em Álgebra Linear, que visa uma intrdoção ao tema. Queremos que o leitor, ao concluir essa leitura, possa ler sem muitas diculdades as referência clássicas da área sem sofrer, que aquilo que está nos livros se torne um tanto quanto intuitivo. Assim optamos por um conhecimento amplo e raso. Coisas muito relevantes como a denição de espaço vetorial (o tema central da área), diversos teoremas sobre bases, transformações lineares e matrizes não guram esse texto, pois o objetivo era apresentar um texto curto, e com poucos detalhes técnicos, mostrando apenas aquilo que provavelmente já é um tanto quanto intuitivo para o leitor. Ainda há muito o que aprender: o que são espaços vetoriais reais, exemplos diferentes dos subespaçoes do R n, espaços vetoriais em corpos mais gerais, transformações lineares inversas, projeções, adjuntas, produtos internos gerais, forma canônica de Jordan, determinantes e o baralho a quatro (é um b mesmo?). Indicamos a seguir alguns livros que podem ajudar o leitor em sua jornada de aprendizado, onde pode aprender com mais profundidade o que foi apresentado aqui, e ir muito além. São eles o livro do Elon Lages Lima, cujo título é simplesmente Álgebra Linear e o livro dos autores Homan e Kunze cujo título é Linear Algebra. Perceba a semelhança no título... suspeito que falam sobre o mesmo tema... Além desses livros, o leitor pode encontrar online e gratuitamente os textos das aulas do PROFMAT: Esperamos (eu, eu mesmo e Irene) que tenham gostado do texto. 10

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