38 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS EXERCÍCIOS

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1 38 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS É fácil verificar que Portanto, V = W 1 + W (A + At W 1 e 1 2 (A At W 2. EXERCÍCIOS 1. Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. 2. Seja V = R 3.Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (a W = {(x, y, z V : x + y + z =0}. (b W = {(x, y, z V : x y z}. (c W = {(x, y, z V : x 3z =0}. (d W = {(x, y, z V : x Z}. (e W = {(x, y, z V : x 2 + y 2 + z 2 1}. (f W = {(x, y, z V : x 0}. (g W = {(x, y, z V : xy =0}. (h W = {(x, y, z V : x = z 2 }. 3. Seja V = R n n, n 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (a W = V : a = c e b + d =0. (b W = V : a + d b + c. (c W = {A V : AB = BA, B uma matriz fixa em V }. (d W = {A V : A 2 = A}. (e W = V : ad bc 6= 0. (f W = V : ad bc =0. 4. Seja V = P n (R, n 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V. (a W = {p V : p(0 = 0}.

2 44 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS Solução. SejaW um subespaço qualquer de R 2.Então W 1 = {x R : xe 1 + ye 2 =(x, y W, para algum y R} e W 2 = {y R : ye 2 =(0,y W } são subespaços de R (prove isto!. Logo, existem x 0,y 1 R tais que W 1 =[x 0 ] e W 2 =[y 1 ]. Assim, pela definição destes subespaços, podemos encontrar y 0 R tal que u 0 =(x 0,y 0 W e u 1 =(0,y 1 W. Afirmação. W =[u 0, u 1 ]. De fato, dado u =(x, y W, x W 1,demodoquex = ax 0,paraalguma R. Assim, u au 0 =(0,y ay 0 W y ay 0 W 2. Logo, y ay 0 = by 1,paraalgumb R. Portanto, isto é, W =[u 0, u 1 ]. u =(x, y =(ax 0,ay 0 + by 1 =au 0 + bu 1, EXERCÍCIOS 1. Mostre que todo vetor em R 2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 2 e (5, 0. QuerelaçãoexisteentreR 2 e [(1, 2, (5, 0]? 2. Sejam V = P 2 (R e f =2 3x +5x 2,g = 8+5x 2x 2 vetores em V.Quaisdosvetoresp = 26+11x+7x 2 e q =1+x+x 2 são combinações lineares dos vetores f e g? 3. Sejam V = R 3 e u 1 =(1, 1, 2, u 2 =(3, 0, 4 vetores em V.Quaisdosvetoresu =(4, 5, 9, v =(3, 1, 4 e w =( 1, 1, 0 são combinações lineares dos vetores u 1 e u 2? 4. Sejam V = R 2 2 e A 1 = , A 2 = vetores em V.Quaisdosvetores 4 5 A =, B = são combinações lineares dos vetores A 1, A 2 e A 3?, A 3 = e C =

3 2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Encontre os geradores para os seguintes subespaços de R 3 : (a W 1 = {(x, y, z R 3 : x y =0}. (b W 2 = {(x, y, z R 3 : x + z = x 2y =0}. (c W 3 = {(x, y, z R 3 : x +2y 3z =0}. (d W 1 W 2. (e W 2 + W Sejam V = R 4 e W = {(x, y, z, t V : x +2y 2z =0 e t =0} um subespaço de V. Quais dos vetores u =( 2, 4, 3, 0, v =(6, 2, 4, 1 e w = ( 2, 1, 0, 0 estão em W? 7. Sejam V = R 3 e u 1 =(1, 1, 2, u 2 =(3, 0, 4, u 3 =( 1, 1, 0 vetores em V.Determineovalordek de modo que (4, 5,k [u 1, u 2, u 3 ]. 8. Sejam V = P 3 (R e p 0 =1, p 1 =1 x, p 2 =(1 x 2, p 3 =(1 x 3 vetores em V.QuaisdosvetoresemV são combinações lineares dos vetores p 0, p 1, p 2 e p 3? 9. Sejam u e v dois vetores não-nulos de R 2 esuponhamosquenãoexistaumescalar a tal que u = av. Mostreque R 2 =[u] [v]. 2.4 Dependência e Independência Linear Sejam V um espaço vetorial sobre R e u 1,...,u n V. Dizemos que os vetores u 1,...,u n são linearmente dependentes (LD seexistiremescalaresx 1,...,x n R, não todos iguais a 0, taisque x 1 u x n u n = 0. (2.1 Ou, equivalentemente, a equação vetorial (2.1 admite uma solução não-nula. Caso contrário, dizemos que os vetores u 1,...,u n são linearmente independentes (LI ou,equivalentemente, a equação vetorial (2.1 admite apenas a solução nula.

4 2.4. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 49 Prova. Suponhamosqueoconjunto{u 1,...,u n } seja LD. Então,pordefinição, existem escalares x 1,...,x n R, nãotodosnulos,taisque x 1 u x n u n = 0. Seja k omaiorinteirotalquex k 6=0.Então x 1 u x k u k = 0. Se k =1,entãox 1 u 1 = 0 e, assim, u 1 = 0, oqueéimpossível.portanto,k>1 e u k =( x 1 x k u 1 + +( x k 1 x k u k 1. Exemplo 2.37 Seja V = R 2. Então os vetores u 1 =(1, 1, u 2 =(1, 1 e u 3 =(1, 0 são LD, pois u 3 = 1 2 u u 2. EXERCÍCIOS 1. Seja V = R n. Se u =(x 1,...,x n V e v =(y 1,...,y n V. Mostre que u e v são LD se, e somente se, existe um escalar a R tal que y i = ax i, i =1,...,n. 2. Sejam u, v e w vetores de um espaço V. Se {u, v, w} éumconjuntoli, mostre que: (a {u + v 2w, u v w, u + w} éumconjuntoli. (b {u + v 3w, u +3v w, v + w} éumconjuntold. 3. Sejam u =(a, b, v =(c, d vetores de R 2.Mostrequeoconjunto{u, v} é LD se, e somente se, ad = bc. 4. O conjunto {1,x,x 2, 2+x +2x 2 } é LI ou LD em P 2 (R? Oquesepodeafirmar a respeito de qualquer um de seus subconjuntos com três elementos? 5. Encontre um vetor u R 3 tal que [u] =W 1 W 2,onde W 1 =[(1, 0, 0, (0, 1, 0] e W 2 =[(1, 2, 3, (1, 1, 1]. 6. Em quais condições sobre o escalar k, oconjunto (1, 0,k, (1, 1,k, 1, 1,k 2 ª é LI em R 3?

5 50 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 7. Seja V = C([0, 1], R oespaçovetorialdetodasasfunçõesreaiscontínuas. Quais dos subconjuntos abaixo são LI em V. (a {x, x +1,x 2 1}. (b {x +5,x 2 x, x 2 + x 10}. (c {(x +1 2, 2x, x }. (d {(x +1 2,x 2 1,x+1}. (e {1 x, x(1 x, 1 x 2 }. (f {1,e x,e x }. (g {sen x, cos x, tan x}. 8. Responda verdadeiro (V ou falso (F. Justifique. ( Todo conjunto que contém um subconjunto LD é LD? ( Todo subconjunto de um conjunto LI é LI? ( Todo conjunto que contém dois vetores iguais é LI? ( Todo conjunto que contém o vetor nulo é LI? 9. Sejam V = R n e a R. Mostre que o conjunto {u 1,...,u m } é LI se, e somente se, o conjunto {u 1,...,u i + au j,...,u j...,u m } é LI, paratodosi, j {1,...,m}, com i<j. 2.5 Bases e Dimensão Seja V um espaço vetorial sobre R. Um conjunto β = {u 1,...,u n } de vetores em V é umase de V se as seguintes condições são satisfeitas: 1. β = {u 1,...,u n } é LI. 2. V =[α] =[u 1,...,u n ]. Ou, equivalentemente, V =[u 1 ] [u 2 ] [u n ]. Mais geralmente, um subconjunto não-vazio β de V éumabasedev se β é LI e [β] =V. Observação 2.38 Pode ser provado, usando o Lema de Zorn, que todo espaço vetorial V 6= {0} possui umase. Exemplo 2.39 Seja V = R 3.Éfácilverificar que o conjunto β = {e 1, e 2, e 3 } éumabasefinita de V,aqualéchamadadebase canônica de V.

6 60 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 3. Sejam V um espaço vetorial sobre R e W 1, W 2 subespaços V,ondedim W 1 =4, dim W 2 =5e dim V =7.Determineospossíveisvaloresparadim (W 1 W Seja V = R 4.Determineumabaseeadimensãodossubespaços 5. Sejam V = R 3, W 1 = [(1, 4, 1, 3, (2, 1, 3, 1, (0, 2, 1, 5] e W 2 = [(1, 4, 2, 1, (1, 3, 1, 2, (3, 8, 2, 7]. W 1 = {(x, y, z V : x =0} e W 2 =[(1, 2, 0, (3, 1, 2] subespaços de V. W 1 W 2. Determine umase e a dimensão para W 1, W 2, W 1 + W 2 e 6. Sejam V = R 2 2, ( a W 1 = c b d V : b = a e W 2 = ( a c b d V : c = a. subespaços de V. Determine umase e a dimensão para W 1, W 2, W 1 + W 2 e W 1 W 2.ÉverdadequeR 2 2 = W 1 W 2? 7. Seja V = P 3 (R. Determineumabaseeadimensãodosubespaço W = {p V : p 0 (x =0}. 8. Sejam V = R 2 eoconjuntodevetoresβ = {u, v} em V,onde u =(1 a, 1+a e v =(1+a, 1 a. Determine o valor de a R para que β não seja umase de V. 9. Sejam V = P 2 (R e p =2x 2 3x +1 V. Oconjuntoβ = {p, p 0,p 00 } éumabasede V? 10. Mostre que o conjunto éumabasedep 3 (R. β = {(1 x 3, (1 x 2, 1 x, 1} 11. Seja V = R 4.QuaisdossubconjuntosabaixosãobasesdeV? (a {(1, 1, 0, 0, (0, 1, 1, 0, (0, 0, 1, 1, (1, 0, 0, 1}. (b {(1, 3, 2, 4, (1, 1, 5, 9, (2, 0, 13, 23, (1, 5, 1, 2}. (c {(1, 1, 1, 1, (3, 2, 0, 3, (0, 1, 0, 3, (4, 2, 1, 7}.

7 2.5. BASES E DIMENSÃO 61 (d {(1, 2, 0, 1, (0, 0, 2, 5, ( 2, 4, 2, 3, ( 1, 2, 4, 9}. 12. Em cada um dos subconjuntos abaixo determine umase de W eestenda-aauma base de V. (a Se V = R 3 e W = {(x, y, z :x 3y +3z = x +5y z = x + y + z =0}. (b Se V = R 4 e (c Se V = R 4 e W =[(1, 2, 0, 1, (0, 0, 2, 5, ( 2, 4, 2, 3]. W =[(1, 1, 1, 1, (3, 2, 0, 3, (0, 1, 0, 3]. 13. Seja W oconjuntodetodososquadradosmágicosdeordem3 (confira Exercício 11 do Capítulo 1. (a Mostre que W éumsubespaçoder 3 3 equeoconjunto β = 1 1 1, 1 0 1, éumabasedew. (b Mostre que toda matriz A = a 1 a 2 a 3 pode ser transformada em um quadrado mágico. fazê-la? Existe outra maneira de 14. Mostre que o conjunto β = {1, 1+x, 1+x + x 2, 1+x + x 2 + x 3, 1+x + x 2 + x 3 + x 4 } éumabasedep 4 (R. 15. Sejam V um espaço vetorial sobre R com V 6= {0} e β um subconjunto não-vazio de V.Mostrequeasseguintescondiçõessãoequivalentes: (a β éumconjuntoindependente maximal de V,noseguintesentido:nãoexiste subconjunto β 0 LI de V tal que β β 0 ; (b β éumconjuntominimal de geradores de V,noseguintesentido: nãoexiste subconjunto de geradores β 0 de V tal que β 0 β;