FUNÇÃO DO 2º GRAU. Chama-se função de 2.º grau ou quadrática, toda função definida, de f:

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1 FUNÇÃO DO 2º GRAU 1. DEFINIÇÃO Chama-se função de 2.º grau ou quadrática, toda função definida, de f:, por f (x) = ax 2 + x + c com a,, c e a 0. Exemplos: a) f(x) = 3x 2 5x + 6 ) g(x) = x 2 5x c) h(x) = 3x GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2. GRAU O gráfico de uma função do 2. grau é uma curva aerta chamada paráola. A concavidade da paráola depende do coeficiente a. Assim: 3. RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Raízes de f(x) = ax 2 + x + c são os valores de x que satisfazem a equação de 2.º grau ax 2 + x + c = 0. As raízes de f(x) = ax 2 + x + c podem ser calculadas pela conhecida fórmula de Báskara: O número de raízes reais da função do 2.º grau é determinado pelo discriminante. Há três casos a considerar: 1.º) > 0 a função possui duas raízes reais e distintas, o gráfico intercepta x em dois pontos distintos: log.portalpositivo.com.r/capitcar 1

2 2.º) = 0 a função possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, tamém dizemos que a função possui uma raiz dupla, o gráfico tangencia o eixo x: 3.º) < 0 a função não possui raízes reais, o gráfico não intercepta o eixo x: 4. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA É o ponto de maior ou menor valor que a função y = ax 2 + x + c pode atingir e coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico: Sendo x v e y v as coordenadas do vértice, temos: Oservação: eixo de simetria (R) é uma reta que divide a paráola em duas partes simétricas. 5. VALOR MÍNIMO OU MÁXIMO A ordenada do vértice pode ser o valor mínimo ou máximo da função quadrática, dependendo de sua concavidade. Com isso temos: log.portalpositivo.com.r/capitcar 2

3 a) Se a < 0, y v = - é valor máximo. crescente = x R/x - decrescente = x R/ - 0s: O conjunto imagem é dado por: Im = { y R / y - } ) Se a > 0, y v = - é valor mínimo. crescente = x R/ x - decrescete = x R/ x - 0s: O conjunto imagem é dado por: Im = { y R/ y - } 6. ESTUDO DO SINAL O estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso existam) e analisando o esoço do gráfico. Lemre-se de que o valor de está relacionado com as raízes e o valor de a determina a concavidade da paráola que a representa. 1º caso: > 0 log.portalpositivo.com.r/capitcar 3

4 2º caso: = 0 3º caso: < 0 EXERCÍCICOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Dada a função f(x) = x 2-4x+3.Determine: a) A suas raízes; resp: 1 e 3 ) As coordenadas do vértice da paráola; resp: V(2;-1) c) O gráfico d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: min=-1 e) O conjunto imagem; resp: Im= {y R/ y -1} f) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x R/ x 2} g) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x R/ 2} 2) Dada a função f(x) = -x 2 +4x-4.Determine: a) A suas raízes; resp: 2 ) As coordenadas do vértice da paráola; resp: V(2;0) log.portalpositivo.com.r/capitcar 4

5 c) O gráfico d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: max=0 e) O conjunto imagem; resp: Im= {y R/ y 0} f) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x R/ x 2} g) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x R/ 2} 3) Determine o valor de k de modo que a função f(x)= -x 2 +12x+k, tenha 2 raizes reais e iguais. Resp: -36 4) Determine m de modo que o valor mínimo da função f(x) = x 2-2x+m, admita 4 como valor mínimo. Resp: -3 5) O lucro de uma empresa é dado por L(x)= -30x x-600, em que x é o número unidades vendidas. Nestas condições, calcule : a) a quantidade de unidades produzidas para que o lucro seja máximo; resp: 6 )a valor máximo do lucro. resp: 480 6) Em um certo pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, foram plantadas n laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produ-zindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada laranjeira plantada no pomar. Se P(n) é a produção anual do pomar.determine: a) a expressão algérica P(n) resp: P(n) = -10n n ) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tenha produção máxima; resp: 15 c) o valor dessa produção. resp: ) O diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de asquete retangular e outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alamrado. Tendo receido 200m de tela. Determine: a) as dimensões do terreno de modo que a área seja a maior possível; resp: 50mx50m ) a área máxima. resp: 2500 m 2 8) A trajetória da ola, num chute a gol, descreve uma paráola. Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h(t)=-t 2 +6t, determine: a) Em que instante a ola atinge a altura máxima? Resp: 3s ) Qual a altura máxima atingida pela ola? Resp: 9m log.portalpositivo.com.r/capitcar 5

6 9) Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura acima. Saendo-se que sua trajetória é descrita por h = d d + 404, onde h é a sua altitude (em m) e d é o seu alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a altitude máxima alcançada são, respectivamente: resp: a ( ) A - superior a 400m e superior a 10km ( ) B - superior a 400m e igual a 10km ( ) C - superior a 400m e inferior a 10km ( ) D - inferior a 400m e superior a 10km ( ) E - inferior a 400m e inferior a 10km 10) Estude o sinal das funções: a) f(x) = x 2-6x + 5 Resp: y > 0 para x < 1 ou x >5; y = 0 para x = 1 ou x = 5; y < 0 para 1< x < 5 ) f(x) = -x 2 + 2x + 8 Resp: y < 0 para x < -2 ou x > 4; y = 0 para x = -2 ou x = 4; y >0 para 2< x < 4 c) f(x) = 2x 2-8x + 8 Resp: y < 0 x; y=0 para x=2; y>0 para x 2 Biliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roerto Dante Ed. Ática Apostila elaorada pelo : Prof. Luiz Carlos Souza Santos log.portalpositivo.com.r/capitcar 6