Matemática. Resolução das atividades complementares. M6 Função quadrática. 1 Dada f(x) 3x 2 2x 2, obtenha:

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1 Resolução das atiidades complementares Matemática M6 Função quadrática p 50 Dada f(), otenha: a) f() 6 c) f() ) f(0) d) tal que f() f() 5 a) f() 5 () () 5 6 f() 5 6 ) f(0) f(0) 5 c) f() 5 5 f() 5 d) f() ( ) ( ) e 0 5 e Determine m, de modo que a função f de V em V, tal que f() (m m)( ) ( ), seja quadrática m f() 5 (m m) ( ) ( ) f() 5 m m m m f() 5 (m ) (m m ) m Para que a função seja quadrática, o coeficiente de dee ser diferente de zero, ou seja: m 0 m

2 Otenha os zeros da função f dada por: a) f() 6 e 6 ) f() 0 e c) f() 5 5 e d) f() 8 0 e a) f( ) e 0 6 ) f() 0 ( ) e 0 c) f() ( 5) ( ) e 0 d) f() e 0 A função f: V V, dada por f() (m ) m (m ), admite dois zeros distintos Determine m m, e m f() 5 (m ) m (m ) Condição para que a função seja quadrática: m 0, ou seja, m Condição para que eistam dois zeros reais distintos: 0 Assim: 5 a c 0 (m) (m ) (m ) 0 m (m m m ) 0 m m m m 0 8m m, Portanto, m, e m

3 5 A função f: V V, dada por f() m m, admite dois zeros reais a e tal que a Determine m ou f() m m S m e P c m a a a S m a a P m (m ) 6m m 6m m m m m ou m 6 Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo alcança em cada instante é epressa pela função h(t) t 8t, em que h é medida em metros e t em segundos Após quanto tempo o dardo atingirá o solo? 8 s h(t) 5 t 8t O dardo atingirá o solo no tempo h(t) 5 0 Então: t 8t 0 t( t 8) 0 t9 0 (não coném) e t0 8 Portanto, o dardo aingirá o solo no tempo t 5 8 s Sendo f() e g(), determine os zeros da função h tal que h() f(g()) f() ; g() h() f ( g( ) f ( ) ( ) h() e 0 6 e

4 8 Um menino soltou uma ola da janela de seu apartamento A altura h da ola, em metros, em relação à calçada onde a ola caiu, em cada instante, podia ser calculada por h(t) 5 5t, em que t é epresso em segundos Calcule: a) a altura que o menino soltou a ola; 5 m ) o tempo que a ola leou para chegar à calçada s h(t) 5 5 5t a) Instante em que o menino soltou a ola t 5 0 Então: h(0) 5 5 5t h 5 5 Portanto, a altura que o menino soltou a ola era 5 m ) Quando a ola tocou a calçada, h 5 0 Então: 5 5t 0 t 9 t9 (não coném) e t0 Portanto, o tempo que a ola leou para chegar à calçada foi segundos p 56 9 Esoce os seguintes gráficos: a) f() 8 0 ) f() 0 5 c) f() 5 a) f() a 5 0 a paráola tem concaidade oltada para cima intersecção com o eio y: f(0) 5 0 intersecção com o eio : e 0 8 értice: y y ) f() a 5 0 a paráola tem concaidade oltada para cima intersecção com o eio y: f(0) 5 5 intersecção com o eio : értice: 0 5 y 0 y

5 c) f() 5 5 a 5, 0 a paráola tem concaidade oltada para aio intersecção com o eio y: f(0) 5 5 intersecção com o eio : (não há raízes reais) értice: y 5 y Determine a sentença que define f() de uma função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos (0, ), (, 0) e (, 0) f() 5 5 f() 5 a c, com a 0 (0, ); (, 0); (, 0) são pontos pertencentes ao gráfico, então: 5 a 0 0 c c a () () a 5 6 (I) 0 5 a a 5 (II) De (I) e (II), temos: a 5 e 5 5 Portanto, f() 5 5 O gráfico da função f() (p ) 6 é uma paráola cujo értice apresenta ascissa Determine p p 5 f() (p ) 6 p p p 5 p 5 Determine m, de modo que o gráfico da função f() (m ) ( m) m não intercepte o eio das ascissas m 8 Para que o gráfico não intercepte o eio das ascissas,, 0 5 m m (m )m 8m, 0 m 8

6 O gráfico da função f() (p ) 8p p 6 tangencia o eio das ascissas Determine o ponto onde ele intercepta o eio das ordenadas (0, 8) ou ( 0, 6 ) Para que o gráfico da função f() 5 (p ) 8p p 6 tangencie o eio das ascissas, p (p ) (p 6) 5 6p 8p p 5 0 p p 5 0 p 6 8 p9 e p0 No eio das ordenadas, 5 0 Portanto, f() 5 (p ) 8p p 6 Para p 5 f(0) Para p f(0) Então, os pontos são: (0,8) e 0, 6 ( ) 6 p 60 Determine o conjunto imagem da função f() 8 Im(f) {y V y 9} f() 5 8 a 5 a concaidade está oltada para aio; portanto, a paráola tem ponto de máimo 5 () y 6 9 a Im(f) 5 {y V y < 9} 5 A função definida por f() (k ) k admite um ponto de mínimo para Determine k 6 f() 5 (k ) k k 6 (k ) k k 6 a ( k )

7 6 Um menino chutou uma ola para cima em um campo de futeol A altura h da ola, em metros, em relação ao campo, podia ser calculada por h(t) t t, em que t é epresso em segundos Calcule: a) o tempo que a ola leou para cair de olta no campo; s ) a altura máima atingida pela ola m h(t) 5 t t a) Quando a ola olta ao campo, h 5 0 Então: t t 0 t( t) 0 t9 0 (não coném) e t0 Portanto, a ola leou segundos para oltar ao campo ) altura máima y a y m A ola atingiu altura máima de metros Considere a função f definida no interalo I [, p] por f() Qual é o maior alor de p para que f seja decrescente em todo o seu domínio? 6 f() 5 a 5 0; portanto, a concaidade da paráola está oltada para cima A função é decrescente para < a 6 A função é decrescente para < 6 Como a função está definida no interalo I 5 [, p], o maior alor de p para que f seja decrescente é p Em um determinado dia do ano a temperatura de uma cidade ariou de acordo com a função f(t) t pt 0, em que t indica um instante do dia medido em horas no interalo das 8 h às 0 h Nesse dia, a temperatura atingiu seu alor máimo às h Otenha o alor de p 6 f(t) 5 t pt 0 A temperatura atingiu o alor máimo às h p a Portanto, p 5 6

8 9 Determine o alor de m para que o número 8 não pertença ao conjunto imagem da função f de V em V, definida por f() 5 m m 6 f() 5 m a 5, 0 a concaidade está oltada para aio; portanto, a paráola tem ponto de máimo Im(f) 5 {y V y < y } Para que m não pertença ao conjunto imagem: y, 8 a 6 8m 6 8m y, 8 m, Sae-se que o olume de uma caia-d água é o produto da área de sua ase por sua altura Qual dee ser o alor de para que uma caia com m de altura, e tendo como ase um retângulo de lados e 6, tenha olume máimo? (As dimensões da ase são epressas em metros) 8 Pelos dados, temos: S 5 (6 ) h 5 V 5 é uma função quadrática a 5, 0 a concaidade está oltada para aio; portanto, a paráola tem ponto de máimo O alor de para que a caia tenha olume máimo é 8 a O alor de dee ser 8 metros Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do número de unidades produzidas desse produto Essa função é definida por c 50 00n n, em que n é o número de unidades produzidas e c é o custo Qual dee ser o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo? 50 c n n é uma função quadrática a 5 0 a concaidade está oltada para cima; portanto, a paráola tem ponto de mínimo O custo mínimo é y, e o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo é a Para que o custo seja mínimo, a empresa dee produzir 50 unidades do produto

9 O número é um zero da função f: V V, definida por f() k k Em que interalo de alores de a função f é crescente? [, [ f() 5 k k Se é zero da função, temos: f() 5 0 f() 5 k 8 k 5 0 k 5 Portanto, f() 5 a 5 0 a concaidade está oltada para cima; portanto, a paráola tem ponto de mínimo A função é crescente para > a Logo, a função é crescente para > S 5 { V > } ou [, [ Determine o maior alor de a para que a função f() ( a) seja decrescente para todo f() 5 ( a) é uma função quadrática a 5 0 a concaidade está oltada para cima; portanto, a paráola tem ponto de mínimo A função é decrescente para < a ( ), a, 6 a, a Portanto, o maior alor para que a função seja decrescente, para todo,, é