Mat.Semana 5. Alex Amaral (Rodrigo Molinari)

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1 Alex Amaral (Rodrigo Molinari) Semana 5 Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 09/03 Função Afim: Gráfico e estudo do sinal 10/03 Função Quadrática: Definição e fórmula quadrática 16/03 Função Quadrática: Máximos ou mínimos, gráfico 17/03 Equações e Inequações de 1º e 2º graus

3 23/03 Exercícios de Revisão: Matemática Básica, Conjuntos e Funções Polinomiais 24/03 Revisão de potenciação e Função Exponencial 30/03 Módulo e equação modular 31/03 Função Modular

4 Função quadrática: máximos ou mínimos, gráfico 16 mar 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Para sabermos montar o gráfico da função do segundo grau (ax²+bx+c), além de sabermos achar as raízes, precisamos conhecer também sua concavidade e seu valor máximo ou mínimo. Podemos achar as raízes por alguns métodos como a fórmula de Bhaskara ou por soma e produto. Além disso para saber a concavidade da parábola (gráfico da equação do 2 grau) é só interpretar o sinal do a. a>0, a concavidade é para cima a<0, a concavidade é para baixo Lembrando que a é o coeficiente do termo quadrático e é diferente de 0. O coeficiente c é onde a função corta o eixo y, pois quando o x=0 a equação fica y=a.0² +b.0 + c y = c. Dessa forma o par ordenado é (0,c), semelhante ao que acontece na função do primeiro grau. Exemplo: Para montar o gráfico de x² +4x +3 precisamos das raízes. Aplicando a fórmula de Bhaskara( x=(-b± (b^2-4ac))/2a ) descobrimos que -1 e -3 satisfazem a equação x² + 4x +3 = 0. A parábola tem concavidade para cima pois a>0 e corta o eixo y em Repare que a função cresce indefinidamente porém ela tem um ponto que é o mínimo. Esse chamado de vértice. Caso o a<0 a concavidade seria para baixo e a função teria ponto de máximo. O vértice possui coordenadas chamadas de x do vértice e y do vértice. O x do vértice é calculado por -b/2a e y do vértice por - /4a, onde (delta) é b²-4ac. No nosso exemplo x do vértice é -2 e o y do vértice é -1. É muito importante saber que o x do vértice mostra o valor que faz a função ser máxima (ou mínima) e o y do vértice é o valor máximo (ou mínimo) da função. EXERCÍCIOS DE AULA 1. Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação q = p, na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo

6 a) R$ 0,50 p < R$ 1,50 b) R$ 1,50 p < R$ 2,50 c) R$ 2,50 p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 p < R$ 4,50 e) R$ 4,50 p < R$ 5,50 2. Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura. A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00; nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é 3. a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B. b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B. c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B. d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B. e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B. A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo- -se que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a seguir: 104 A distância horizontal do bocal que a corrente de água irá atingir o solo é: a) 10 metros b) 15 metros c) 20 metros d) 25 metros e) 30 metros

7 4. 5. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C(n)= n + n². a) quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? b) qual é este custo mínimo? A função f(x) = ax² + bx + c tem raízes reais e simétricas. Sabe-se que a reta de equação y = 5 intercepta a parábola correspondente em um único ponto e que f( 40) = 3. Quais são as raízes dessa função? EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Um jovem lança uma bola de borracha para observar sua trajetória e altura h (em metros) atingida ao longo de um certo intervalo de tempo t (em segundos). Nesse intervalo, a bola quica no chão algumas vezes, perdendo altura progressivamente. Parte de sua trajetória está descrita na figura a seguir. 105 Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde constatar que a bola atingiu a marca de 35 metros? a) Nenhuma b) Uma vez c) Duas vezes d) Quatro vezes e) Cinco vezes 2. Uma empresa vendia, por mês, 200 unidades de certo produto ao preço de R$ 40,00 a unidade. A empresa passou a conceder desconto na venda desse produto e verificou-se que a cada real de desconto concedido por unidade do produto implicava na venda de 10 unidades a mais por mês. Para obter o faturamento máximo em um mês, o valor do desconto, por unidade do produto, deve ser igual a: a) R$ 5,00. b) R$ 10,00. c) R$ 12,00. d) R$ 15,00. e) R$ 20,00.

8 3. Na figura temos os gráficos das funções f e g. Se f(x)=2x², então g(3) vale: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) Se x e y são números reais tais que 3x+y = 11, o valor mínimo de z= x²+y² é: a) 10,7 b) 12,1 c) 15,3 d) 17,1 e) 18,3 A figura mostra uma parábola, de vértice em V. 106 Podemos afirmar que a área do triangulo AVB é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

9 6. Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é: a) 16 b) 24 c) 28 d) 32 e) Considere um retângulo cujo perímetro é 10 cm e x é a medida de um dos lados. Determine: a) a área do retângulo em função de x b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. 107 a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita. b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor. QUESTÃO CONTEXTO Polonês compra BMW, resolve testá-la em rio congelado e afunda Comprar um carro novo significa, para muitos, um sonho realizado. É uma das maiores satisfações que uma pessoa pode conquistar por meio do consumo. Imagine, agora, ir do céu ao inferno no mesmo dia por conta dessa realização. Pois é, um homem que tinha acabado de comprar uma BMW usada decidiu testar seu novo veículo justamente em um rio congelado no vilarejo de Kamionki, na Polônia. Adivinha se deu certo. Não deu. A camada que cobria o rio Gluszynka cedeu e o veículo naufragou. Pelo menos o pobre homem conseguiu sair do seu novo carro a tempo de vê-lo afundar sem sofrer ferimentos.

10 Polonês compra BMW, resolve testá-la em rio congelado e afunda Comprar um carro novo significa, para muitos, um sonho realizado. É uma das maiores satisfações que uma pessoa pode conquistar por meio do consumo. Imagine, agora, ir do céu ao inferno no mesmo dia por conta dessa realização. Pois é, um homem que tinha acabado de comprar uma BMW usada decidiu testar seu novo veículo justamente em um rio congelado no vilarejo de Kamionki, na Polônia. Adivinha se deu certo. Não deu. A camada que cobria o rio Gluszynka cedeu e o veículo naufragou. Pelo menos o pobre homem conseguiu sair do seu novo carro a tempo de vê-lo afundar sem sofrer ferimentos. Depois que a coisa já tinha desandado, dono e amigos conseguiram retirar o carro do rio. Ele foi levado direto para um ferro-velho, onde vai ficar, provavelmente, para sempre. Desgraça pouca é bobagem? Claro! O polonês ainda foi multado por direção perigosa, segundo matéria do jornal Sun. Suponha que uma indústria que produza carros conforme a função f(t)=- -t²+40t-160, onde t é o tempo em dias e f(t) o total de carros. Uma revendedora deseja comprar todos os carros com uma condição: que em 15 dias a produção seja máxima, caso contrário ele não compraria. Após os 15 dias a revendedora comprou os carros? 108 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. a 2. d 3. c 4. a) 50 b) e Questão contexto Não. 02. Exercícios para casa 1. d 2. b 3. a 4. b 5. e 6. e 7. a) y=5x-x² (0<x<5) b) 2,5 cm 8. a) f(x)= -0,02x²+0,4x+160 b) 11 dia