Mat.Semana 4. Alex Amaral (Natália Peixoto)

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1 Alex Amaral (Natália Peixoto) Semana 4 Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 09/03 Função Afim: Gráfico e estudo do sinal 10/03 Função Quadrática: Definição e fórmula quadrática 16:30 16/03 Função Quadrática: Máximos ou mínimos, gráfico 17/03 Equações e Inequações de 1º e 2º graus

3 23/03 Exercícios de Revisão: Matemática Básica, Conjuntos e Funções Polinomiais 24/03 Revisão de potenciação e Função Exponencial 30/03 Módulo e equação modular 31/03 Função Modular

4 Função quadrática: 10 mar definição e fórmula quadrática 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO A função quadrática é definida como ax²+bx+c com a 0 e a,b,c pertencendo aos reais. Diferentemente da função afim que corta o eixo x uma vez (raiz), a quadrática (ou função do 2 grau) pode cortar até duas vezes o eixo x, ou seja pode possuir duas raízes. Para se descobrir as raízes existem alguns métodos. Fórmula de Bháskara Se Δ>0, a função terá duas raízes reais e distintas. Se Δ=0, a função terá uma raiz real. Se Δ<0, a função não terá raiz real. Exemplo: Seja a função x²+2x-3=0. O Δ vale 16 logo a função terá duas raízes reais distintas. A raiz de Δ será igual a 4. Assim, É necessário saber os valores dos coeficientes reais (a,b,c) e aplicar na fórmula: -3 e 1 são as raízes. Soma e produto Uma notação importante é que b²-4ac também é chamado de delta ou Δ. Repare que na equação existem dois sinais antes da raiz sendo um positivo e o outro negativo, por isso existe a possibilidade de existirem duas raízes. As raízes são descobertas quando igualamos a função a zero, se chamarmos as raízes de x1 e x2 os pares ordenados serão (x1,0) e (x2,0). Sobre este delta é importante saber que: Uma outra maneira de descobrir é pela soma e pelo produto das raízes. A soma das raízes é o produto sendo a,b,c coeficientes da equação. No exemplo anterior o valor da soma seria -2 e o produto -3. Logo precisaríamos de dois números os quais quando somados valem -2 e multiplicados -3. Podemos pensar em várias possibilidades porém apenas o -3 e 1 satisfazem a equação x²+2x-3=0 sendo eles as raízes. 111 EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = -2t t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no a) 19 dia. b) 20 dia. c) 29 dia. d) 30 dia. e) 60 dia.

6 2. Um posto de combustível vende litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é a) V = x x² b) V = x + x². c) V = x x². d) V = x x². e) V = x + x². 3. O gráfico da função quadrática definida por y=x²-mx+(m-1), onde m R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x=2 é: a) -2. b) -1. c) 0. d) 1. e) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por f(t) = -10t² + 20t a) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? b) Entre que semanas a população de insetos seria exterminada? 5. Determine x reais tal que (x² 100x)².(x² 101x + 100)² = 0.

7 EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Um laboratório testou a ação de uma droga emuma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at² + b, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t = 12 meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10 mês é: a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t)= +400 com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39.Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39, Um professor colocou no quadro-negro uma equação do 2 grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes 3 e 2. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 4. Considere a função F:R R, definida por f(x) = ax² + bx + c, com a<0 e C>0. O gráfico de f(x)? a) Não intercepta o eixo das abscissas b) Intercepta o eixo horizontal em dois pontos, de abscissas negativas e positiva respectivamente. c) Intercepta o eixo das abscissas em um único ponto d) Intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, ambos positivos. e) Intercepta o eixo das ordenadas em dois pontos.

8 5. A função f, de IR em IR, dada por f(x)=ax²-4x+a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a a) 4 b) 2 c) 0 d)-1/2 e)-2 6. A soma de 2 números é 6 e a soma de seus quadrados é 68.O módulo da diferença desses dois números é? a)2 b)4 c)6 d)8 e) Dada a Função f(x) = (x+1).(x²-x+1) Determine : a) F(-1) e F(0) b) em R, as soluções da equação f (x) = 9 Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$ 84, Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$ 2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado.

9 QUESTÃO CONTEXTO A Ecologia pode ser dividida em duas categorias: a alelobiose e a ecobiose. A ecobiose trata da relação entre os seres vivos e o meio, enquanto a alelobiose, que são as relações ecológicas, trata da relação entre seres vivos. Essas relações podem ser harmônicas (ou seja, nenhum dos indivíduos envolvidos são prejudicados) ou desarmônicas (ou seja, um dos indivíduos é prejudicado por essa relação). Ainda, podem ser intraespecíficas (em que os indivíduos pertencem à mesma espécie) ou interespecíficas (em que os indivíduos pertencem a espécies diferentes). Um exemplo claro é a competição. A competição intraespecífica ocorre quando dois membros da mesma espécie disputam por um recurso do meio. É um exemplo extremamente comum que, durante a época de acasalamento, machos disputem pela fêmea das mais diversas formas, bem como disputas por território. Na competição, ambos os indivíduos são prejudicados, tendo em vista que mesmo o vencedor da disputa gastou energia e tempo para vencer o seu concorrente. br/blog/biologia/resumorelacoes-ecologicas/ Da mesma forma que pode haver competição intraespecífica por recursos, pode haver também interespecífica. Quando dois animais de espécies diferentes possuem nichos ecológicos semelhantes, ou seja, suas necessidades e papeis são semelhantes, pode ocorrer competição. No caso do exemplo, dois animais com hábitos necrófagos disputam por uma carcaça, possível fonte de alimento para ambos. Como na competição intraespecífica, ambos saem prejudicados, pois gastaram energia e tempo para vencer o concorrente e conquistar o recurso disputado. 115 Numa floresta habitam duas espécies A e B e elas competem pelos mesmos recursos. Sabendo que o crescimento populacional da espécie A é da forma f(t)=- 2t²+3t-17 e o da espécie B é g(t)=t²+5t+18 onde t representa o tempo em dias. Tomando o primeiro dia como dia 0 depois de quantos dias a população de A será igual a de B.

10 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. a 2. d 3. d 4. a) Sim, na 2ª semana b) 4ª e 5ª semanas 5. x = {0, 1, 100} 03. Questão contexto 7 dias 02. Exercícios para casa 1. d 2. d 3. c 4. b 5. e 6. e 7. a)0; 1 b)