Lista de Módulo Extensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda)

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1 Lista de Módulo Etensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda). (Pucpr 08) Considere os seguintes dados. Pode-se dizer que quando duas variáveis e y são tais que a cada valor de corresponde um único valor de y, segundo uma lei matemática, diz-se que y é função de. Considere uma função f: representada pelo gráfico a seguir. que é 4. (Uece 07) Se as raízes da equação são também raízes de a b 0, então, os valores dos números reais a e b são respectivamente a) e 6. b) 5 e 6. c) 0 e 6. d) 5 e (Uefs 07) Considerando-se a equação 5 6, tem-se que a soma de suas raízes é a) 0 b) c) d) e) 4 Analisando o gráfico, julgue as proposições a seguir. I. f é ímpar. II. f é injetora. III. A lei matemática de f é f(). IV. f é crescente se, e só se,. V. (f f)( ) (f f)(). a) Somente II é correta. b) Somente I é correta. c) Somente III e V são corretas. d) Todas as proposições são corretas. e) Todas as proposições são falsas.. (Ufu 08) Considere a função definida por y f() k, em que k é um número natural constante, uma variável assumindo valores reais e a representa o módulo do número real a. Representando, no sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de y f(), tem-se que esse gráfico e os eios coordenados delimitam um triângulo de área igual a 7 cm. 6. (Pucrj 06) Seja f(). a) Para quais valores reais de temos f()? b) Para quais valores reais de temos f()? 7. (Mackenzie 06) Os gráficos de g() ( ) se interceptam em a) apenas um ponto. b) dois pontos. c) três pontos. d) quatro pontos. e) nenhum ponto. f() 4 e 8. (Ueg 06) Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R Nas condições apresentadas, o valor de k, em cm, é um número a) quadrado perfeito. b) ímpar. c) múltiplo de. d) divisível por 5.. (Eear 07) Seja f() uma função. A soma dos valores de para os quais a função assume o valor é a) b) 4 c) 6 d) 7 A função f é dada por, se 0 a) f(), se 0, se b) f(), se e, se 0 c) f(), se 0

2 d), se f(), se e 9. (Unicamp 06) Considere a função f() 4 5, definida para todo número real.. (Unicamp 0) Considere a função f() p, definida para real. Esboce o gráfico de y 4 4. f() no plano cartesiano para 0. (Pucrj 06) Sejam f: e g: as funções definidas por f() e g(). a) Esboce os gráficos de f e g no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. b) Para quais valores de, temos f() g() 8? Justifique sua resposta. c) Determine a área do triângulo ABC, onde A (0, f(0)), B (, g()) e C (, f()), justificando sua resposta.. (Insper 0) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(). a) A figura acima mostra o gráfico de f() para um valor específico de p. Determine esse valor. b) Supondo, agora, que p =, determine os valores de que satisfazem a equação f() =.. (Ita 0) O produto das raízes reais da equação + = é igual a a) 5. b). c). d). e) (Uesc 0) Para fazer um estudo sobre certo polinômio P, um estudante recorreu ao gráfico da função polinomial y P, gerado por um software matemático. Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida para valores de, de 5 até,7. O número de elementos do conjunto solução da equação f(), resolvida em é igual a a) 6. b) 5. c) 4. d). e).

3 O número de raízes da equação 5,,7, é igual a a) b) c) 4 d) 5 e) 6 P, no intervalo

4 Gabarito Resposta da questão : [I] Falsa. A função é par, pois o gráfico é simétrico em relação ao eio y. [II] Falsa, pois f() f( ) 0. [III] Verdadeira. [IV] Falsa. f() também é crescente para valores de entre 0 e. [V] Verdadeira. f(f( )) f(0) e f(f()) f(0). Resposta da questão : [A] Se, então y k k. Daí, como essa reta intersecta o eio das ordenadas no ponto de ordenada k e o eio das abscissas no ponto de abscissa, temos k 7 k 6, que é um quadrado perfeito. É imediato que 6 não é ímpar, nem múltiplo de, nem múltiplo de 5. Resposta da questão : Queremos calcular de modo que se tenha f(). Desse modo, vem ou 5. O resultado é, portanto, 5 6. Resposta da questão 4: Sabendo que, para todo real, temos ( 6)( ) 0 6. Em consequência, das Relações de Girard, vem a 0 e b 6. Resposta da questão 5: [E] Se, temos a seguinte equação: (dupla) Se, temos a seguinte equação:

5 (não convém) Portanto, a soma de suas raízes será 4. Resposta da questão 6: a) Calculando: 6 b) Esboçando o gráfico: Assim: 6 ou 6. Resposta da questão 7: Para determinarmos os pontos de intersecção dos gráficos das funções devemos resolver um sistema com as suas equações. f() 4 4 ( ) g() ( ) Logo, ( 4) ( ) ou 6 ou ( 4) ( ) ou Como temos valores distintos para, os gráficos se interceptam em três pontos distintos. Resposta da questão 8: [A] Observando o gráfico percebe-se que a função pode ser descrita como:, se 0 f(), se 0 Substituindo os valores que cruzam os eios, percebe-se que eles conferem com o gráfico: Quando : 0 Quando 0 :

6 6 0 Quando : 0 Resposta da questão 9: Fazendo os cálculos, tem-se: f() 4 5 f( 4) ( 4,) f( ) (,0) f(0) 4 5 (0, ) f() (, ) f() (,0) f(4) (4,) Montando o gráfico: Resposta da questão 0:, se a) Desde que f(),, se pela figura abaio. temos f() g(), para. Assim, os gráficos de f e de g são dados b) De (a), sabemos que f() g() 8 para todo real menor do. Ademais, para, temos ( ) Portanto, a resposta é { 5}.

7 7 c) Sendo f(0), g() 8 e f() 8, temos (ABC) u.a. Resposta da questão : [B] De acordo com o gráfico, temos 5 pontos de Intersecção entre as funções f() e y =. Portanto, a equação dada possui 5 raízes. Resposta da questão : a) Tomando como referência o ponto (,) destacado no gráfico, temos:. p p 0 p. b) ou Û 5 ou 9. = 9 não convém, pois.9 < 0. Portanto, o valor de que satisfaz a equação é 5. Resposta da questão : [A] X + = = 0, temos o produto das raízes igual a 5. + = = 0, temos o produto das raízes igual a -. Logo, o produto total das raízes é -.5 = -5 Resposta da questão 4: [D] Definamos a função y P() e consideremos o seu gráfico: É fácil ver que a equação P() possui 5 raízes, indicadas pelos pontos de interseção do gráfico de y P() com a reta y.