MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS

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1 INTRODUÇÃO MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS O objetivo geral da modelagem matemática de sistemas é habilitar o aluno a aplicar métodos científicos de forma obter um modelo matemático que descreva o comportamento de um sistema físico, bem como a utilizar equipamentos e dispositivos usuais da área de Engenharia para determinar e reconhecer as propriedades dos modelos dinâmicos de parâmetros concentrados. A primeira etapa para desenvolver um modelo matemático consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia. Por exemplo, ao modelar circuitos elétricos, a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff que são as leis básicas de circuitos elétricos, serão aplicadas inicialmente. Somaremos tensões ao longo de uma malha ou corrente em um nó. Ao estudar sistemas mecânicos, utilizaremos as leis de Newton com princípios-guia fundamentais. Somaremos, neste caso, forças e torques. Com base nestas equações iremos obter a relação entre a saída e a entrada do sistema. APLICAÇÕES DOS MODELOS MATEMÁTICOS O modelo matemático é uma representação matemática de um processo real. Modelos matemáticos podem auxiliar na análise do processo e controle. As aplicações da modelagem na área de controle são as seguintes: 1. Aprimorar o entendimento do processo A simulação do processo pode ser usado para estudar o seu comportamento e explorar as regiões de operação. 2. Treinamento de operadores Os operadores podem ser treinados em várias regiões de operação do processo, inclusive em situações de emergência, através de simulação onde a interface é a própria plataforma de operação. 3. Projeto da estratégia de controle de um processo novo Os modelos de processo permitem que se teste diversas estratégias de controle, definindo inclusive a instrumentação necessária. Possibilita também testar estratégias de controle mais complexas.

2 4. Projeto do controlador Através de simulação ou análise direta do modelo dinâmico, podem-se encontrar os parâmetros do controlador ou até mesmo verificar e determinar se o controlador é aplicável ao caso. 5. Projeto da lei de controle As técnicas modernas de controle normalmente incluem o modelo do processo na lei de controle. Estas técnicas são comumente chamadas de controle preditivo ou controle baseado em modelo. 6. Otimização do processo Em muitos processos há a possibilidade de se operar uma planta em condições que maximize o lucro ou minimize os custos. Neste caso normalmente se utiliza modelo em estado-estacionário. CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS Os modelos matemáticos podem ser classificados em três tipos, em função da forma como é obtido: a ) Modelos teóricos - Desenvolvidos usando princípios físico-químicos. b ) Modelos empíricos - Obtidos através da análise matemática (estatística) do processo a partir de dados da operação. c ) Modelos semi-empíricos - É a combinação dos modelos teóricos e empíricos onde alguns parâmetros físico-químicos são determinados a partir dos dados da planta. 2

3 GRAUS DE LIBERDADE NA MODELAGEM O uso de modelos matemáticos para simulação de processo, deve nos fornecer uma única solução de todas as saídas em função das entradas, ou seja, o número de variáveis desconhecidas deve ser igual ao número de equações independentes do modelo. Uma forma equivalente é dizer que devemos ter grau de liberdade zero. Na forma de equação temos: N = N N f v e =0 Onde: Nf - grau de liberdade Nv - número total de variáveis desconhecidas (entradas não especificadas) Ne - número de equações independentes (diferenciais e algébricas) A análise do grau de liberdade separa os problemas de modelagem em três categorias: 1. Nf = 0 : Sistema exatamente determinado (exatamente especificado) O número de variáveis dependentes nas equações é igual ao número de equações, ou seja, o conjunto de equações fornece uma solução única. 2. Nf > 0 : Sistema subdeterminado (subespecificado) 3

4 O Nv > Ne, ou seja, tem mais variáveis dependentes do que equações. Conseqüentemente, as Ne equações tem infinitas soluções sendo que Nf variáveis podem ser especificadas arbitrariamente. O modelo do sistema é chamado de subespecificado. 3. Nf < 0 : Sistema sobredeterminado (sobrespecificado) Tem menos variáveis dependentes do que equações e conseqüentemente o conjunto de equações não tem solução.o modelo do sistema é chamado de sobrespecificado. Note que Nf = 0 é o único caso satisfatório. Se Nf > 0 então um certo número de variáveis tem que ser especificados. Se Nf < 0 então um conjunto de equações independentes adicionais tem de ser desenvolvida. Etapas da modelagem: 1) Estabelecer as constantes ou parâmetros conhecidos, tais como, dimensões de equipamentos, propriedades físico-químicas constantes, etc.. 2) Identificar o número de variáveis saída (Ne), obtido através da solução de equações diferenciais do modelo (por integração usando condições de contorno) e equações algébricas. 3) Identificar as variáveis especificadas, a entrada no modelo.por exemplo: Vazão de carga ou especificado como variável manipulada numa estratégia de controle. Note que t não é uma das Nv pois não é entrada ou saída do sistema. ESTUDOS DE SISTEMAS Etapas da construção de modelos Para estudos de sistemas, têm-se as seguintes etapas para obter os modelos dinâmicos: Etapa 1: Desenhar o diagrama esquemático do processo e nomear todas varáveis de processo. 4

5 Etapa 2 : Listar todas as hipóteses usadas no desenvolvimento do modelo. O modelo deve ser o mais simples possível para obter os objetivos da modelagem. Etapa 3 : Determinar se há outra variável independente que não seja o tempo. Se a variável espacial é importante, é necessário utilizar equações diferenciais parciais. Etapa 4 : Escrever os balanços dinâmicos adequados (balanço global de massa, balanço de componentes, balanço de energia, etc.). Etapa 5: Introduzir equações de equilíbrio, e outras relações algébricas (termodinâmicas, estequiometria de reação, geometria de equipamentos, etc...). Etapa 6: Identificar os parâmetros do sistema (constantes). Etapa 7: Identificar as variáveis do modelo. Etapa 8 : Calcular os graus de liberdade. Etapa 9 : Especificar as Nf entradas para utilizar o grau de liberdade disponíveis. Se esta etapa não for realizável, então retorne à etapa 2 e realize as hipóteses do modelo. Etapa 10 : Simplificar as equações do modelo se possível. Por exemplo: Arranjar as variáveis dependentes no lado esquerdo das equações e variáveis de entrada no lado direito. 5