Resistência dos Materiais 2 AULA 9-10 DEFLEXÕES DE VIGAS E EIXOS

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1 Resistência dos Materiais 2 AULA 9-10 DEFLEXÕES DE VIGAS E EIXOS PROF.: KAIO DUTRA

2 A Linha Elástica A deflexão de uma estrutura é causada por seu carregamento interno como a força normal, força cortante, ou momento fletor. Muitas vezes é interessante fazer um esboço da forma defletida da estrutura quando ela está carregada a fim de conferir parcialmente os resultados. Esse diagrama de deflexão representa a curva elástica ou lugar geométrico dos pontos que define a posição deslocada do centroide da seção transversal ao longo dos membros.

3 A Linha Elástica Normalmente é necessário, para facilitar a análise, que o diagrama de momento para a viga ou estrutura seja traçado primeiro. Para isto, relembramos que: Um momento positivo tende a flexionar uma viga ou membro horizontal côncavo para cima: Um momento negativo tende a flexionar a viga ou membro côncavo para baixo:

4 A Linha Elástica Na figura ao lado podemos observar algumas curvas de deflexão para duas situações.

5 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta

6 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Convenção de sinais. Ao aplicar a equação anterior, é importante usar o sinal apropriado para M como estabelecido pela convenção de sinais que foi usada na derivação dessa equação. Também, tendo em vista que o ângulo de inclinação será muito pequeno, o seu valor em radianos pode ser determinado diretamente:

7 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Além disso, lembre-se que a deflexão positiva, υ, é para cima, e como resultado, o ângulo de inclinação positivo θ será medido no sentido anti-horário do eixo x.

8 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta

9 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Exmplo 12.2

10 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Exmplo 12.2

11 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Exmplo 12.2

12 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Exmplo 12.2

13 Inclinação e Deslocamento Pelo Método da Integração Direta Exmplo 12.2

14 Funções de Descontinuidade Esta seção apresenta um método alternativo para encontrar a equação da linha elástica de uma viga com carregamentos múltiplos usando uma única expressão. A fim de informar a carga da viga ou seu momento interno em uma única expressão, usaremos dois tipos de operadores matemáticos conhecidos como funções de descontinuidade.

15 Funções de Descontinuidade Funções de Macaulay Estas funções podem ser usadas para descrever cargas distribuídas. Elas podem ser escritas da forma geral: Onde x representa a posição de um ponto ao longo da viga e a, o local da voga em que ocorre a descontinuidade, ou seja, o ponto em que a carga distribuída começa. A integração das funções de Macalay segue as mesmas regras das funções comuns.

16 Funções de Descontinuidade Funções de Macaulay

17 Funções de Descontinuidade Funções de Singularidade Essas funções são usadas apenas para descrever a localização do ponto de forças concentradas ou conjugados que atuam sobre a viga ou um eixo. De maneira similar, o conjugado Mo, considerado positivo no sentido antihorário é representado como: A integração das funções de singularidade não seguem as mesmas regras das funções comuns. Nesse caso apenas o expoente n aumenta uma unidade.

18 Funções de Descontinuidade Funções de Singularidade Como exemplo de aplicação das funções de descontinuidade para descrever a carrega ou o momento interno em uma viga, consideremos a viga carregada da Figura.

19 Funções de Descontinuidade Funções de Singularidade Como segundo exemplo, considere a Figura ao lado.

20 Funções de Descontinuidade Exemplo 12.5

21 Funções de Descontinuidade Exemplo 12.5

22 Funções de Descontinuidade Exemplo 12.5

23 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados Um elemento de qualquer tipo é classificado como estaticamente indeterminado se o número de reações desconhecidas excede o número de equações de equilíbrio disponíveis. As reações de apoio na viga ou no eixo que não são necessárias para mantê-los em equilíbrio estável são chamadas redundantes. O número de reações redundantes é denominado grau de indeterminação.

24 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados Método da Integral Direta O método da integração direta requer duas integrações da equação diferencial da deflexão. Se a viga for estaticamente indeterminada, M também poderá ser expresso em termos das equações redundantes desconhecidas. Depois de integrarmos essa equação, teremos duas constantes e as reações redundantes para determinar.

25 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados Método da Integral Direta No caso do exemplo ao lado, existem uma reação redundante, que pode ser Ay, Ma ou By. Deve-se escolher uma destas reações para encontrar a equação do momento em função dela. Desta forma, utilizando três condições de contorno é possível encontrar as duas constantes de integração e a reação redundante.

26 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados Método da Integral Direta Exemplo 12.17

27 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados Método da Integral Direta Exemplo 12.17

28 Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados Método da Integral Direta Exemplo 12.17

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