Cálculo IV (A1. Prof. José Roberto Marques (todos os direitos reservados) Engenharia Elétrica. (Metaheuro Educacional)

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1 Prólogo: Cálculo IV (A1 Prof. José Roberto Marques (todos os direitos reservados) Engenharia Elétrica (Metaheuro Educacional) MODELAGEM MATEMÁTICA DOS SISTEMAS FÍSICOS Quando se constrói de sistemas de engenharia a maior preocupação é com o comportamento desse sistema no decorrer do tempo, sob condições esperadas de regime permanente, ou seja, em condições operacionais invariáveis no tempo e sob condições transitórias que decorrem de solicitações impostas ao sistema quando ocorrem variações dinâmicas de qualquer natureza. Essas previsões do comportamento do sistema são realizadas por simulações operacionais desse sistema. Essas simulações são baseadas em modelos matemáticos que permitem que os engenheiros estabelecer as condições operacionais de regime permanente e também as solicitações dinâmicas e com base nesses cálculos fazerem as especificações,dos componentes que devem constituir e/ou proteger os sistemas. Figura 1 A figura 1 mostra algumas interfaces sociais associadas a engenharia elétrica. A energia elétrica e a forma mais flexível de energia que a humanidade dispõe. Ela é de fácil transporte, de fácil transformação de nível (potencial) e para outros tipos de energia e muito prática na construção de vários tipos de equipamentos de uso geral. As demandas de vários tipos levam os engenheiros eletricistas a projetarem equipamentos com várias finalidades. O projeto de equipamentos elétricos lida

2 com componentes elétricos passivos e ativos. A figura 2 mostra os elementos de circuitos elétricos passivos e seus modelos matemáticos em função do tempo. Figura 2 Os componentes elétricos passivos e as relações matemáticas relativas a suas modelagens Os elementos elétricos ativos são as fontes de tensão de todos os tipos e também os elementos semicondutores tais como transistores de todos os tipos, SCRs, triacs, etc. Figura 3 Alguns componentes ativos dos circuitos elétricos A figura 3 mostra alguns tipos de geradores de tensão comumente utilizados nos sistemas de energia. A fonte de tensão CC (corrente contínua) é

3 largamente utilizada em veículos devido a portabilidade da geração e recarga das baterias automotivas. As fontes de CA (corrente alternada) largamente utilizada industrialmente e domesticamente tem uma tecnologia relacionada ao início da produção de energia elétrica oriunda do fim do século XIX. (Onda estacionária é uma onda cuja razão do valor instantâneo de um ponto para qualquer outro ponto da onda, não varia com o tempo) As leis físicas que se aplicam aos circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff e os teoremas de redes elétricas que são independentes da frequência operacional da rede e podem ser aplicados tanto em corrente contínua (CC) ou alternada (CA). Figura 4 Quando aplicadas às várias topologias de circuitos elétricos, a utilização das expressões em função do tempo podem levar a situações de difícil solução, impossibilitando muitas vezes uma análise mais clara do comportamento dos circuitos elétricos. O exemplo 1 mostra algumas das dificuldades para uma topologia específica. Figura 5 Circuito do exemplo 1 utilizando análise de nós A lei dos nós nos diz que:

4 De onde obtemos: Admitindo que Temos: Esse sistema de equação integro-diferenciais é de difícil análise nas condições em que está estabelecido. O mesmo circuito pode ser resolvido por análise de malhas como indicado abaixo. Figura 6 Circuito do exemplo 1 utilizando análise de malhas Utilizando a análise de malhas podemos escrever as equações de malha partindo da malha mais a esquerda do circuito.

5 A solução por esse método adquire u7m aspecto mais complicado que pela análise de nós. O USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA SOLUÇÂO DOS PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS A transformada de Laplace permite que utilizemos métodos algébricos para a solução de equações diferenciais como as mostradas acima. A conceituação da transformada permite que transformemos as expressões do domínio do tempo para o domínio da frequência as quais permitem manipulações algébricas simples e uma vez obtida a solução no domínio da frequência complexa s temos apenas o trabalho de normalizar a solução de modo a obtermos as contrapartes no domínio do tempo para realizar a transformação inversa. A realização da transformação inversa é facilitada enormemente quando temos uma tabela de conversão do domínio da frequência complexa para o domínio do tempo, assim como para a obtenção da transformação inicial do domínio do tempo pata o domínio da frequência complexa. A figura 7 demonstra como a tarefa é realizada. Figura 7 - Processo de solução das equações,utilizando a transformada de Laplace

6 A TRANSFORMADA DE LAPLACE A transformada de Laplace é um operador linear, ou seja, é uma transformação sujeita a uma série de condições que definem os sistemas lineares. A operação básica de transformação é: Assim F(s) é a transformada de Laplace da função f(t). Algumas condições que definem a linearidade são: Onde F 1 (s) e F 2 (s) sõ respectivamente as transformada de Laplace de f 1 (t) e f 2 (t). A transformada e algumas funções elementares: Função degrau unitário: A definição da transformada de função degrau é: Aplicando a transformada de Laplace: Se uma constante k estiver multiplicandoa função degrau termos: Função exponencial Se uma constante k estiver multiplicando a função exponencial:

7 A transformada de Laplace da função seno. Lembrando que a função seno pode escrita como: A transformada de Laplace da função coseno. Lembrando que a função coseno pode escrita como: A transformada de Laplace da derivada A transformada de Laplace da integral Uma função especial A função impulso Vamos definir a função impulso a groso modo porque a função é muito mais complexa do exporemos e isso é estudado no assunto de Distribuições Matemáticas que foge ao escopo de nosso estudo. A definição da função é a seguinte Porém a área da função impulso é definida como unitária, ou seja:

8 Existe um procedimento de cunho didático para demonstrar o comportamento da função impulso com a seguinte figura geométrica. =1 Figura 8 A função impulso De acordo com a figura a definição da função é dada por: Com isso a transformada de Laplace da função impulso é: Com esses resultados podemos montar uma pequena tabela de transformadas de Laplace Pequena tabela de transformadas de Laplace Função Transformada de Laplace 1 1/s 1/(s+a)

9 Exemplo 3: Circuito RL série com comutação de energização. A corrente inicial no circuito é zero, portanto. Aplicando a lei das malhas para obtemos: Aplicando a transformada de Laplace neste expressão utilizando a tabela de transformadas obtemos: Como. Portanto Quando verificamos a tabela vemos que o termo com denominador mais parecido não tem um fator multiplicativo constante, por isso dividimos o numerador e o denominador da equação por 0,5 de modo a obtermos: Obtivemos a solução do sistema no domínio da frequência, passamos agora a transformar o resultado de modo a normaliza-lo para formar soluções que

10 estejam contidas na tabela. O grau do polinômio do numerador deve sempre um grau menor que o do denominador. Assim se o denominador tiver apenas s, o numerador deverá ser um constante arbitrária k1, se o denominador for do tipo s+a, o numerador também devera ser uma constante arbitrária. Colocando o último termo sob um denominador comum obtemos: Comparando os numeradores verificamos que: e Devemos agora verificar a tabela para determinar a solução em função do tempo: Para. Note que se escrevermos (A) Automaticamente teremos a definição que o resultado é para. Exemplo 4: Vejamos agora a situação de um circuito RC série admitindo que o capacitor está inicialmente totalmente descarregado, ou que

11 Aplicando a lei das malhas para obtemos: Como o capacitor está sendo considerado totalmente descarregado temos, aplicando então a trtansformada de Laplace. Neste caso não é necessário fazer uso da expansão em frações parciais porque a solução obtida é prontamente inversível para o domínio do tempo, assim: Referências: Phillips, C. L. ; Parr, J. M. Signals, Systems, and Transforms, second edition, Prentice-Hall, 1999 Haykin, S. ; Van Veen, B.; Sinais e Sistemas, Bookman, 2005

12 Close M. C.; Frederock, D. K.; Modeling and Analysis of Dynamic Systems, Houghton Mifflinn Company, 1978