Controle. Transformada Laplace básico

Transcrição

1 Controle Transformada Laplace básico

2 REQUISITOS Para perfeita compreensão do conteúdo desta aula é desejável o entendimento dos seguintes assuntos (eventualmente disponíveis em outros vídeos neste canal): Números complexos Fundamentos de integração e derivação

3 Introdução

4 Transformada de Laplace A transformada de Laplace é um método operacional (matemático) que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares (associadas, por exemplo, à dinâmica de sistemas). Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, funções senoidais amortecidas, funções exponenciais, rampa, degrau, impulso, em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. Permite prever o desempenho de um sistema sem a necessidade de solucionar sistemas de equações diferenciais. Outra vantagem é que, quando solucionamos uma equação diferencial, tanto a componente transitória quanto a componente estacionária da solução podem ser obtidas simultaneamente.

5 Transformada de Laplace

6 Variáveis complexas Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, temos o que denominamos variável complexa. Na teoria de Transformadas de Laplace, utilizamos a notação s para representar uma variável complexa. Assim: s = σ + jω

7 Variáveis complexas s = σ + jω σ é a parte real. ω é a parte imaginária.

8 Função complexa Uma função complexa G(s) é uma função de s que possui uma parte real e uma parte imaginária: G(s) = G x + jg y G x e G y são quantidades reais. Uma função complexa G(s) é dita analítica em uma região se G(s) e todas as suas derivadas existirem nessa região.

9 Definições f(t) uma função de tempo em que f(t) = 0 para t < 0. s uma variável complexa L um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser transformado por meio da integral de Laplace. F(s) Transformada de Laplace de f(t)

10 Transformada de Laplace

11 Transformada de Laplace Observe a equação: Como o termo e -st é adimensional e a unidade de tempo é segundo, então, a unidade de s deve ser segundo -1, que é a unidade de frequência.

12 Transformada de Laplace Assumimos na equação que f(t) é ignorado para t < 0. Para assegurar isso, normalmente multiplicamos a função pelo degrau unitário. Desse modo, podemos escrever f(t).u(t) ou f(t), t 0.

13 Algumas definições Uma função é chamada seccionalmente contínua (ou contínua por partes) em um intervalo α t β se o intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais a função é contínua e possui limites esquerdo e direito finitos. A figura traz um exemplo deste tipo de função.

14 Algumas definições Uma função f(t) é chamada de ordem exponencial se existir um número real positivo σ tal que: Isto quer dizer que a função f(t) deve apresentar uma taxa de crescimento inferior à parcela exponencial da integral.

15 A função f(t) pode não ter uma transformada de Laplace. Para que f(t) tenha uma transformada, a integral deve convergir (o resultado da integração deve ser finito). Existência da Transformada de Laplace 1 ) ( ) ( cos ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( t sen t e t jsen t e dt t f e e dt t f e t j t j t j t t j

16 Existência da Transformada de Laplace Desde que e jwt = 1 para qualquer valor de t, esta integral irá convergir quando, para algum valor de σ = σ c :

17 Transformada de Laplace

18 Transformada de Laplace

19 Exemplo

20 Exemplo

21 Algumas definições

22 Existência da Transformada de Laplace Para compreendermos melhor as implicações da região de convergência, vamos considerar duas funções assim definidas:

23 Existência da Transformada de Laplace

24 Existência da Transformada de Laplace

25 Existência da Transformada de Laplace As duas funções são diferentes mas possuem a mesma transformada bilateral. Ocorre, porém, que as regiões de convergência são diferentes. Não é possível que duas funções diferentes tenham uma mesma transformada de Laplace e, ainda, possuam regiões de convergência idênticas.

26 Existência da Transformada de Laplace A forma de se garantir, por exemplo, que a função no domínio da frequência se refere a g(t) é garantirmos que operamos, no plano complexo, na região de convergência desta função. Se não operamos em sua região de convergência, nossas análises e/ou conclusões (no domínio da frequência) podem não ser aplicáveis à mesma.

27 Existência da Transformada de Laplace Na prática, o que se espera são sistemas (físicos) causais: saídas somente ocorrendo após a existência de alguma entrada. Por exemplo, se atuamos sobre o sistema em t = 0s, esperamos alguma alteração após este instante. Assim, fisicamente falando, a função h(t) utilizada como exemplo não poderia corresponder a um sistema causal, pois, neste caso, teríamos uma resposta antes da ação.

28 Existência da Transformada de Laplace Como na prática os sistemas são sabidamente causais, a análise preliminar de região de convergência não necessita ser realizada, pois, soluções para o modelos dos sistemas necessariamente ocorrerão somente na região de convergência da função.

29 Transformada de Laplace Inversa

30 Transformada de Laplace

31 Transformada de Laplace

32 Transformada de Laplace tabela de transformadas

33 Transformada de Laplace tabela de transformadas

34 Transformada de Laplace tabela de transformadas

35 Transformada de Laplace tabela de transformadas

36 Transformada de Laplace tabela de transformadas

37 Transformada de Laplace tabela de transformadas

38 Transformada de Laplace propriedades

39 Transformada de Laplace propriedades

40 Transformada de Laplace propriedades

41 Transformada de Laplace propriedades

42 Transformada de Laplace propriedades

43 Transformada de Laplace derivadas

44 Transformada de Laplace propriedades

45 Transformada de Laplace propriedades

46 Transformada de Laplace propriedades

47 Transformada de Laplace propriedades

48 Transformada de Laplace propriedades

49 Exemplo Transformada de Laplace propriedades

50 Transformada de Laplace teoremas dos valores inicial e final

51 Transformada de Laplace teorema do valor final

52 Transformada de Laplace teorema do valor inicial

53 Transformada de Laplace teorema do valor inicial

54 Transformada de Laplace teorema do valor final O teorema do valor final relaciona o comportamento de regime estacionário (permanente) de f(t) ao comportamento de sf(s) nas vizinhanças de s = 0

55 Exemplo Transformada de Laplace propriedades

56 Exemplo Transformada de Laplace propriedades

57 Exemplo Transformada de Laplace propriedades

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59 Transformada de Laplace propriedades

60 Transformada de Laplace

61 Transformada de Laplace propriedades

62 Transformada de Laplace propriedades

63 Exemplo Transformada de Laplace

64 Exemplo Transformada de Laplace

65 Transformada de Laplace - Exemplo

66 Transformada de Laplace - Exemplo

67 Transformada de Laplace - Exemplo

68 Transformada de Laplace - Exemplo

69 Transformada de Laplace Exemplo carga capacitor

70 Transformada de Laplace Exemplo carga capacitor

71 Transformada de Laplace Exemplo: Matlab

72 FIM