Transformada de Laplace

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1 Transformada de aplace Nas aulas anteriores foi visto que as ferramentas matemáticas de Fourier (série e transformadas) são de extrema importância na análise de sinais e de sistemas IT. Isto deve-se ao facto de que uma vasta classe de sinais pode ser representada como sendo a combinação linear de exponenciais complexas periódicas e de estas exponenciais serem funções próprias de sistemas IT. A transformada de Fourier fornece uma representação de sinais como uma combinação linear de exponenciais complexas st periódicas na forma e onde s = jω, ou seja s é puramente imaginário. st No entanto a propriedade de e ser função própria mantém-se para valores arbitrários de s e não apenas para os puramente imaginários.

2 Transformada de aplace Assim, a transformada de aplace não é mais do que uma generalização da transformada de Fourier. As vantagens da transformada de aplace sobre a trasformada de Fourier: - fornece mais informação sobre sinais e sistemas que também podem ser analisados pela transformada de Fourier; - pode ser aplicada em contextos em que a transformada de Fourier não pode por exemplo na análise de sistemas instáveis.

3 Transformada de aplace A transformada inversa de Fourier era dada por: A transformada inversa de aplace limita-se a generalizar este resultado para a forma: x t 1 ω = ω ω π j t x t X e d Esta expressão indica que um sinal pode ser representado como uma combinação linear de exponenciais complexas periódicas, e st onde s = jω. c+ j = 1 π c j st X s e ds Onde s é um complexo genérico: s = σ + jω. A variável s deixou de ser imaginária pura para ser complexa com parte real.

4 Transformada de aplace x t c+ j = 1 π c j As exponenciais complexas, que foram as funções elementares com as quais construímos os sinais em Fourier, deixam agora de ser exponenciais complexas periódicas. ( j ) st X s e ds st σ+ ω t σt jωt e = e = e e ω O factor e j t foi já estudado e corresponde a uma exponencial complexa periódica. No entanto, ela está agora a ser pesada por σt uma exponencial real que lhe serve de módulo: e.

5 Transformada de aplace A expressão: x t c+ j = 1 π c j st X s e ds Indica que para sintetizar o sinal x(t) é necessário somar exponenciais complexas cada uma com um dado peso X(s). Devemos portanto tentar perceber o que são estas exponenciais e como se comportam no plano complexo com a evolução do tempo. O próximo slide ilustra esse comportamento, comparando-o com o comportamento de uma exponencial complexa periódica utilizada na transformada de Fourier.

6 Transformada de aplace ( j ) st σ+ ω t σt jωt e = e = e e Im para σ<0 Re

7 Transformada de aplace A expressão: x t c+ j = 1 π c j st X s e ds indica ainda que a soma dessas exponenciais deve ser realizada num eixo vertical do plano complexo Im{s} ω 0 st c+ jω t ct jωt e = e = e e c Re{s}

8 Transformada de aplace Verifiquemos em que resulta a soma de duas exponenciais complexas genéricas como complexo s de uma delas conjugado do da outra: st 1 σ+ jω t σt jωt e = e = e e Im{s} Somando estas expressões: st σ jω t σt jωt e = e = e e e st + e = st 1 ω σt jωt e e σ Re{s} -ω σt jωt e e e e + e e = σ t j ω t σ t j ω t σt jωt jωt e e + e = e σt cos ( ωt)

9 Transformada de aplace A soma de duas exponenciais complexas de expoentes st conjugados resulta então em: e σt cos ( ωt) Isto significa que enquanto a transformada de Fourier representava um sinal como sendo uma soma de sinusóides, a transformada de aplace representa os sinais como sendo a soma de sinusóides mas de amplitude exponencialmente variável. t t

10 Transformada de aplace Um sinal pode ser representado como sendo a combinação linear de exponenciais complexas na forma: x t c+ j = 1 π c j st X s e ds st O peso X(s) de cada uma das exponenciais e na construção do sinal x(t) é dado por: + st X s x t e = A primeira expressão recebe a designação de Transformada Inversa de aplace. A segunda expressão recebe a designação de Transformada (Directa) de aplace.

11 Propriedades da Transformada de Fourier de tempo discreto Para que a relação entre o sinal no tempo e a sua transformada seja unívoca, os limites de integração na expressão da transformada: + st X s x t e = alteram-se para: + st X s x t e = 0 Sendo então esta a expressão da transformada de aplace unilateral. Para a transformada de aplace unilateral existe apenas uma transformada inversa de X(s). Desta forma não há necessidade de especificar a região de convergência explicitamente.

12 Transformada de aplace inversa A determinação da transformada inversa de aplace recorrendo à definição: x t c+ j = 1 π c j Requer a integração no plano complexo. st X s e ds É possível evitar essa operação por recurso a tabelas de transformadas de aplace, onde os pares de transformadas de aplace mais comuns estão já indicados. Assim, a determinação de transformadas inversas será feita através de tabelas, bastando para isso exprimir o sinal em questão como uma combinação de funções mais simples cuja transformada está tabelada. Esta operação será vista nas aulas teórico-práticas.

13 Tabela de transformadas de aplace

14 Propriedades da Transformada de aplace inearidade: Se 1 1 x t X s x t X s então ax t ax t ax s ax s Onde a 1 e a são coeficientes reais.

15 Propriedades da Transformada de aplace Escalonamento: Se 1 1 x t X s Então, para a > 0: Compressão no tempo Expansão na tempo 1 s x1( at) X1 a a Expansão na frequência Compressão na frequência Note-se que a é restrito apenas a valores positivos porque se x(t) é um sinal causal, então x(at) seria anti-causal (existiria apenas para t<0) se a<0. Isto não é permitido na transformada unilateral de aplace.

16 Propriedades da transformada de aplace Deslocamento temporal Se 1 1 x t X s então st0 1( 0) 1 x t t X s e Esta propriedade enuncia que um sinal sofrer um atraso de t 0 segundos corresponde a multiplicar a sua transformada por e st 0.

17 Propriedades da transformada de aplace Deslocamento na frequência Se 1 1 x t X s então st o ( ) x t e X s s Esta propriedade mostra claramente uma relação de dualidade entre o que ocorre no tempo e o que ocorre na frequência.

18 Propriedades da transformada de aplace Convolução no tempo e na frequência: Se então 1 1 x t X s x t X s * 1 1 x t x t X s X s (Convolução no tempo) 1 x 1 t x t X1 s * X s πj (Convolução na frequência) Mais uma vez se nota uma relação de simetria ou dualidade entre as duas propriedades.

19 Propriedades da transformada de aplace A propriedade da convolução no tempo da transformada de aplace é extremamente importante pois simplifica o estudo dos sinais de saída devidos a uma dada entrada num sistema IT. Sendo a propriedade da convolução no tempo dada por: * x t x t X s X s 1 1 E sendo a resposta a estado-nulo de um sistema dada por: y( t) = x( t) * h( t) Então, este cálculo poderá ser realizado no domínio de aplace sem necessidade de utilizar a convolução: = * = y t x t h t Y s X s H s

20 Propriedades da transformada de aplace Assim, um método possível para o cálculo da resposta a estadonulo passa a ser o seguinte: Tendo já o sinal de entrada e a resposta a impulso do sistema em causa: x ( t ) e h( t) Calcula-se a transformada de aplace de cada um deles: X ( s) x t H( s) h t Bastando multiplicá-las para determinar a transformada da resposta a estado-nulo. = X ( s) H( s) Y s A expressão da resposta a estado-nulo no tempo obtém-se por transformação inversa de Y(s) (recorrendo a tabelas). 1 y( t) Y s

21 Propriedades da transformada de aplace Diferenciação temporal: Se x ( t) X ( s) então dx ( t ) x sx s 0 A aplicação repetida desta propriedade conduz a: d x t sx s sx0 x0 E para uma diferenciação de ordem n: n d x t n ( r) x 0 n 1 ( 0 ) ( 0 )... ( 0 ) n n n s X s s x s x ( x 1) r dxt r onde é em t=0 -.

22 Solução de equações integro-diferenciais recorrendo à transformada de aplace Dado que: n dyt n n sy s +... A transformada de aplace de uma equação diferencial é uma equação algébrica que pode ser resolvida em ordem a Y(s). O exemplo seguinte demonstra o procedimento para resolver equações diferenciais lineares de coeficientes constantes por recurso à transformada de aplace.

23 Exemplo de utilização da transformada de aplace Resolva a equação diferencial de segunda ordem seguinte: ( D + 5D + 6) y( t) = ( D + 1) x( t) y ( 0 ) = y Se as condições iniciais são:, 4t e a entrada: x ( t) = e u( t) A equação diferencial no operador d/ é: Sendo: dy t dy t dx t y( t) = + Y ( s) y t Pela propriedade da derivação no tempo: 0 = 1 x t dy t sy ( s) y ( 0 ) = sy ( s) dy( t) sy( s) sy( 0 ) y( 0 ) = sy( s) s1

24 Exemplo de utilização da transformada de aplace dy t + dy ( t 5 ) + 6y( t) = dx ( t ) + x ( t ) Transformada de aplace da equação diferencial sy s s 1 5 sy s 6Y ( s)?????? Falta portanto determinar a transformada do segundo membro da equação diferencial que descreve o comportamento do sistema.

25 Exemplo de utilização da transformada de aplace A transformada de x(t) é dada por: 4 1 t x t = e u t X s = s + 4 Este resultado é determinado por recurso a tabelas de transformadas ou por transformação analítica: + st X s e u t e 4t = Quanto à derivada de primeira ordem do sinal de entrada, tem como transformada: dx t 1 s sx ( s) x ( 0 ) = s 0 = s + 4 s + 4

26 Exemplo de utilização da transformada de aplace dy t + dy ( t 5 ) + 6y( t) = dx ( t ) + x ( t ) Transformada de aplace da equação diferencial sy s s 1 s sy s 6Y ( s) Assim, a transformada de aplace de toda a equação diferencial assume a forma: s s + 4 s 1 sy( s) s 1+ 5 sy ( s) + 6Y( s) = + s + 4 s + 4

27 Exemplo de utilização da transformada de aplace Reunindo todos os termos em Y(s) no primeiro membro e todos os outros no segundo, obtém-se: ( s 5s 6) Y ( s) ( s 11) s = + + s + 4 s + 0s + 45 s + 5s + 6 Y s = s + 4 s + 0s + 45 Y ( s) = s + 4 s + 5s + 6 Y s = s + 0s + 45 ( s + )( s + 3)( s + 4) Expandindo o segundo membro em fracções parciais: s + s + 3 s + 4 = Y s e pela transformada inversa, a resposta total do sistema: = 13 t 3t t y t e e e u t y(t) é determinado pela transformada inversa de Y(s).

28 Componentes de entrada-nula nula e de estado-nulo da resposta O método da transformada de aplace utilizado no exemplo anterior permite determinar a resposta total que inclui as componentes de entrada-nula e de estado-nulo. É no entanto possível ao longo do processo de determinação da resposta total separar as duas componentes. No exemplo anterior os termos que surgem devido às condições iniciais 0 = e formam a resposta a entrada-nula. y y 0 = 1 Os restantes termos corresponderão à componente de estadonulo.

29 Componentes de entrada-nula nula e de estado-nulo da resposta sy s s 1 5 sy s 6Y ( s) dy t + dy ( t 5 ) + 6y( t) = dx ( t ) + x ( t ) dy t sy( s) sy( 0 ) y( 0 ) = sy( s) s1 dy ( t ) sy ( s) y ( 0 ) = sy ( s) Parcelas relativas a condições iniciais: s s s + 4 s sy( s) s 1+ 5 sy ( s) + 6Y( s) = + s + 4 s + 4 1

30 Componentes de entrada-nula nula e de estado-nulo da resposta s 1 sy( s) s 1+ 5 sy ( s) + 6Y( s) = + s + 4 s + 4 ( s 5s 6) Y ( s) ( s 11) s = + + Termos relativos a condições iniciais + s + 4 Termos relativos ao sinal de entrada Mantendo estas parcelas separadas na determinação da transformada da resposta Y(s): Y s ( s ) + 11 s + 1 = + ( s + 5s + 6) ( s + 4)( s + 5s + 6) Componente de entrada-nula Componente de estado-nulo Determinando a transformada inversa de cada parcela: t 3t = + 1 t 3t t y t e e u t e e e u t Resposta a entrada-nula Resposta a estado-nulo

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32 Resposta a estado-nulo nulo: : função de transferência de um sistema ITC Considere-se um sistema de ordem n especificado pela equação: ou de outra forma: ( ) QD. yt = PD. xt D a D... ad a y( t) ( b D b D... bd b ) x( t) N N 1 N N1 + N = N + N A resposta a estado-nulo por definição é a resposta de um sistema a uma entrada quando o sistema tem condições iniciais nulas. Assim, y(t) satisfaz a equação de sistema anterior com condições iniciais nulas tais que: y ( 0 ) = 0 y ( 0 ) = 0 y ( 0 ) = 0... ( n1) y 0 = 0

33 Resposta a estado-nulo nulo: : função de transferência de um sistema ITC A transformada das derivadas de várias ordens de x(t) e y(t) são: r dxt ( r r r 1 r sx s s x 0 s x 0... x 1) ( 0 r ) r dy ( t ) ( r r r 1 r sy s s y 0 s y 0... y 1) ( 0 r ) ( n1) Devido às condições iniciais nulas: y ( 0 ) = 0... y ( n1) A entrada x(t) é causal pelo que: x ( 0 ) = 0... x = Então: 0 0 Conclui-se então que a transformada de aplace da equação: ( ) D a D... ad a y( t) ( b D b D... bd b ) x( t) N N 1 N N1 + N = N + N será: r dy t ( ) r r sy s 0 = 0 s a s... a s a Y( s) ( b s b s... b s b ) X( s) N N 1 N N1 + N = N + N r dxt r r sx s

34 Resposta a estado-nulo nulo: : função de transferência de um sistema ITC ( ) D a D... ad a y( t) ( b D b D... bd b ) x( t) N N 1 N N1 + N = N + N Q(D) Q(s) ( ) s a s a s a Y s b s b s b s b X s N N + 1 N N = + 1 N ( N N ) N bs N b s bs b Y( s) = X( s) N s + a s + + a s + a N1 + N N1 N Note-se que o polinómio em s que está em numerador não é mais do que o polinómio P(D) com o operador D subsituído pela variável s. Ou seja, este polinómio pode ser designado por P(s). De forma semelhante pode notar-se que o polinómio em denominador se pode designar por Q(s). Então: Ps Y( s) = X( s) Qs P(D) P(s)

35 Resposta a estado-nulo nulo: : função de transferência de um sistema ITC É comum definir a função de transferência de um sistema, como sendo H(s), a razão entre Y(s) e X(s) quando todas as condições iniciais são nulas. { resposta a estado-nulo} { } Y( s) Hs = = X( s) sinal de entrada Dado que, como já vimos: Ps Y( s) = X( s) Qs Então, a função de transferência de um sistema é dado por: Ps Hs = Qs tendo-se Y( s) = H( s) X( s) Note-se que da descrição de um sistema através de uma equação diferencial se retiram imediatamente os polinómios P(D) e Q(D). Assim, a função de transferência de um sistema é extremamente simples de determinar.

36 Resposta a estado-nulo nulo: : função de transferência de um sistema ITC Pode então representar-se a versão transformada (para o domínio de aplace) do sistema da forma ilustrada a seguir: X ( s) H( s) Y ( s) = H( s) X ( s) onde Hs Ps = Qs A entrada X(s) é a transformada de aplace do sinal de entrada no tempo x(t) e a saída Y(s) é a transformada de aplace da saída no tempo y(t). O sistema é descrito pela função de transferência H(s).

37 Resposta a estado-nulo nulo: : função de transferência de um sistema ITC Note-se que tinha já sido visto que, dado que no tempo o sinal de saída de um sistema se determina a partir da expressão: = * y t x t h t Então pela propriedade da convolução no tempo, este cáculo passaria a ser realizado através de uma multiplicação no domínio de aplace: = * = y t x t h t Y s X s H s Conclui-se então que a função de transferência de um sistema não é mais do que a transformada de aplace da resposta a impulso desse sistema. A função de transferência de um sistema pode então ser calculada através de: ou H( s) h t Ps Hs = Qs

38 Estabil Estabiliade de um sistema em função da localização dos pólos da função de transferência idade de um sistema Observe-se que o denominador da função de transferência H(s): Ps Hs = Qs é Q(s), o polinómio característico do sistema na variável s. Assim sendo, os pólos de H(s) (zeros do denominador) são coincidentes com as raízes características do sistema. Consequentemente o critério de estabilidade de um sistema pode ser enunciado em termos dos pólos da função de transferência de um sistema.

39 Estabiliade de um sistema em função da localização dos pólos p da função de transferência Um sistema ITC é estável se e só se todos os pólos da sua função de transferência H(s) se localizam no semi-plano complexo esquerdo. Um sistema ITC será instável se e só uma ou ambas das seguintes condições se verificarem: - Pelo menos um dos pólos de H(s) se localiza no semi-plano complexo direito; - Existem pólos repetidos de H(s) no eixo imaginário; Um sistema ITC será marginalmente estável se e só não existem pólos no semiplano complexo direito e existem pólos simples no eixo imaginário.

40 Análise de circuitos eléctricos: método m do circuito transformado Utilizando os conceitos de transformada de aplace, é possível analisar circuitos eléctricos sem escrever equações integrodiferenciais. Este procedimento é consideravelmente mais simples pois permite tratar um circuito eléctrico (com condensadores e bobinas) como se se tratasse de um circuito resistivo. Para isso é necessário representar o circuito no domínio de aplace, onde todas as tensões e correntes são representadas pela sua transformada de aplace.

41 Análise de circuitos eléctricos: método m do circuito transformado Para uma indutância, a relação entre a corrente que a percorre e a tensão aos seus terminais é dada por: di t v( t) = Se transformarmos esta expressão para o domínio de aplace obtém-se: = ( 0 ) V s si s i assumindo uma corrente inicial nula: dx t = si( s) V s x sx s 0

42 Análise de circuitos eléctricos: método m do circuito transformado Similarmente para um condensador de capacidade C, a relação tensão/corrente é: dv t i( t) = C Se transformarmos esta expressão para o domínio de aplace obtém-se: = ( 0 ) I s C sv s v assumindo uma teñsão inicial nula: CsV ( s) = 1 I( s) I s V s = Cs dx t x sx s 0

43 Análise de circuitos eléctricos: método m do circuito transformado Assim, no domínio de aplace, a relação tensão/corrente de uma indutância e de um condensador são algébricas. = V s si s V = 1 C s I s Cs Notando que para uma resistência, a relação no tempo é dada por: vr ( t) = Ri( t ) V ( s) = RI( s) verifica-se que a indutância e o condensador se comportam como resistências de valor: Z ( s ) = s Z ( s) = Estas grandezas dos componentes são designadas de impedâncias e sendo determinadas pela razão V(s)/I(s) para cada elemento (mediante condições iniciais nulas). R C 1 Cs

44 Análise de circuitos eléctricos: método m do circuito transformado As equações de um sistema eléctrico (das malha ou dos nós), vulgarmente diferenciais, convertem-se assim em equações algébricas. Para além disso todas as técnicas de simplificação utilizadas para circuitos resistivos: - Resistência série equivalente; - Resistência paralela equivalente; - Divisor de corrente; - Divisor de tensão; - Teorema de Thévenin; - Teorema de Norton; podem ser aplicadas a redes eléctricas gerais transformadas para o domínio de aplace.

45 Exemplo de aplicação do método m do circuito transformado Determine a corrente de malha do circuito seguinte, i(t), assumindo que todas as condições iniciais são nulas.

46 Exemplo de aplicação do método m do circuito transformado O primeiro passo será transformar todo o circuito para o domínio de aplace: = = 10 s Fontes: x( t) 10u( t) X ( s) Componentes: R di t v( t) = V s = si s dv ( t ) i( t) = C V s = 1 I s Cs R Outras grandezas: i( t) I( s)

47 Exemplo de aplicação do método m do circuito transformado No domínio de aplace as relações entre tensões e correntes passam a ser lineares (deixam de existir derivações). A abordagem para determinar a corrente I(s) pode então ser a mesma que se utilizaria caso o circuito fosse totalmente resistivo. Podemos então calcular a impedância total da malha: s + 3s + Zs = s+ 3+ = s s

48 Exemplo de aplicação do método m do circuito transformado Impedância total: Zs = s + 3s + s A tensão que alimenta a malha é no domínio de aplace: V ( s) = 10 s A corrente que flui no circuito será naturalmente a teñsão que o alimenta sobre a impedância total: 10 V( s) Is = = s = = = Z( s) s + 3s + s + 3s + ( s + 1)( s + ) s + 1 s + s

49 Exemplo de aplicação do método m do circuito transformado A tensão que alimenta a malha é no domínio de aplace: Is = s + 1 s + A expressão pretendida da corrente que flui no circuito (no domínio do tempo) será agora determinada por uma simples operação de transformação inversa do resultado anterior. Esta operação é realizada por recurso a tabelas de transformadas: t t it () = 10e e u t