Análise de Circuitos 2
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- Nicholas Gesser Beretta
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1 Análise de Circuitos 2 Introdução (revisão) Prof. César M. Vargas Benítez Departamento Acadêmico de Eletrônica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 1
2 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 2 Sumário 1 Números complexos e fasores Definição Formas de representação Plano complexo Conversão entre formas Retangular Polar Polar Retangular Operações com números complexos Relações úteis A onda sinusoidal e seus valores notáveis Representação matemática Definições Relações úteis Simbologia de fontes independentes Valores característicos de ondas periódicas Valor médio Valor eficaz Fasores Resposta dos componentes R, L e C em corrente alternada Notação fasorial, Impedância e admitância Notação fasorial Impedância Admitância Associação de impedâncias
3 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 3 1 Números complexos e fasores 1.1 Definição Número complexo é todo número que pode ser representado pela forma: z = a+jb onde a e b são números reais e j é a unidade imaginária (j = 1, definição de Euler). O número a é a parte real do número complexo z e o número b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por: a = Re(z) b = Im(z) 1.2 Formas de representação Forma exponencial: e (jθ) = cosθ+jsenθ Forma retangular: z = a+jb Forma trigonométrica: r = z = a 2 +b 2 a = rcosθ b = rsenθ z = r(cosθ+jsenθ) Forma polar: Z = r θ 1.3 Plano complexo O plano complexo (plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand) é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. A Figura 1 apresenta o plano complexo. Onde, Im representa o eixo imaginário; Re representa o eixo real.
4 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 4 Figura 1: Plano complexo 1.4 Conversão entre formas Retangular Polar z = a+jb Z = r θ r = z = a 2 +b 2 θ = arctg b a Polar Retangular Z = r θ z = a+jb a = rcosθ b = rsenθ 1.5 Operações com números complexos z 1 = a 1 +jb 1 z 2 = a 2 +jb 2 Adição: z T = z 1 +z 2 = a 1 +jb 1 +a 2 +jb 2 = (a 1 +a 2 )+j(b 1 +b 2 ) Multiplicação: Na forma retangular: z T = z 1 z 2 = (a 1 +jb 1 )(a 2 +jb 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 )+j(b 1 a 2 +b 2 a 1 ) Na forma polar: z T = z 1 z 2 = r 1 θ 1 r 2 θ 2 = r 1 r 2 (θ 1 +θ 2 ) Divisão: Na forma retangular: z T = z 1 z 2 = z 1 z2 z 2 = a 1+jb 1 a 2 jb 2 z2 a 2 +jb 2 a 2 jb 2 = (a 1a 2 +b 1 b 2 )+j(b 1 a 2 b 2 a 1 ) a 2 2 +b2 2 Na forma polar: z T = z 1 z 2 = r 1 r 2 (θ 1 θ 2 )
5 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez Relações úteis Complexo conjugado (z ): Para z = a±jb z = a jb Outras relações: z z = r 2 z +z = 2Re(z) z z = j2im(z) (z 1 +z 2 ) = z 1 +z 2 (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 cosθ = ejθ +e jθ 2 senθ = ejθ e jθ j2 j = 1 j j 2 = 1 2 A onda sinusoidal e seus valores notáveis 2.1 Representação matemática Expressão matemática geral para a onda sinusoidal: y(t) = y M sen(ωt±θ) Onde, y M representa a amplitude da onda; α representa ω representa a frequência angular da onda [ rad]; s ω = 2πf f frequência [Hz] θ é a fase da onda [rad] ou [ o ] 2.2 Definições Forma de onda: representação gráfica da forma com que uma onda evolui ao longo do tempo. Amplitude: distância entre o valor médio e o valor de pico. O valor médio de uma onda senoidal é zero.
6 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 6 Valor pico (Y M, Y p ou A m ): valor máximo da onda em relação ao zero. Tensão pico: V p ou E p Corrente pico: I p Valor pico-a-pico (Y pp ): O valor pico-a-pico é a medida entre os picos máximo e mínimo. Y pp = 2Y p Tensão pico-a-pico: V pp ou E pp Corrente pico-a-pico: I pp Valor instantâneo: magnitude da forma de onda em um instante de tempo. y 1 = y(t = k) Por exemplo, e 1 = v(t = 1ms) = v(1ms) i 1 = i(t = 1ms) = i(1ms) Exemplo: Dado v(t) = 10sen(377t)V. Qual o valor de v(t) para t = 2ms? v(2ms) = 10sen(377 rad s.2ms)v = v(2ms) = 10sen(0,754rad)V = 10sen(43,2 o )V = 6,84V v(2ms) = 6,84V Forma de onda periodica: Frequência (f):número de ciclos por segundo. Unidade: [Hz] Período (T): duração temporal de um ciclo. Intervalo de tempo entre duas repetições sucessivas. O período é o inverso da frequência. T = 1 f Unidade: [s] (segundos) Exemplo: qual é o período de um sinal com frequência de 1MHz? T = 1 = 1 = 1 = 1µs f 1MHz Hz Fase (θ): deslocamento da forma de onda no eixo horizontal à esquerda ou direita de 0 o
7 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 7 Unidade: [rad] ou [ o ] Fase positiva: sinal deslocado para a esquerda do 0 o. O sinal está adiantado em relação a 0 o. O sinal cresce antes de 0 o. y(t) = y M sen(ωt+θ) Fase negativa: sinal deslocado para a direita do 0 o. O sinal está atrasado em relação a 0 o. O sinal cresce depois de 0 o. y(t) = y M sen(ωt θ) As Figuras 2(a) e 2(b) apresentam a definição de fase positiva e negativa, respectivamente. (a) (b) Figura 2: Fase positiva e negativa 2.3 Relações úteis sen(ωt) = cos(ωt 90 o ) cos(ωt) = sen(ωt+90 o ) sen(ωt) = sen(ωt±180 o ) cos(ωt) = sen(ωt+270 o ) = sen(ωt 90 o ) sen( ωt) = sen(ωt) cos( ωt) = cos(ωt)
8 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez Simbologia de fontes independentes As Figuras 3(a) e 3(b) apresentam a simbologia para as fontes independentes de tensão e corrente, respectivamente. (a) (b) Figura 3: Simbologia de fontes independentes 3 Valores característicos de ondas periódicas 3.1 Valor médio O valor médio de uma onda y(t) é calculado sobre um intervalo da função correspondente a um período fundamental completo T, desde qualquer instante t 0. ȳ = y medio = 1 T t0 +T t 0 y(t)dt. 3.2 Valor eficaz O valor eficaz (raíz quadratica média ou root mean square-rms ) é uma medida estatística sobre a magnitude de uma variável e é calculado sobre o intervalo da função correspondente a um período fundamental completo T, desde qualquer instante t 0. y ef = y rms = 1 T t0 +T t 0 y(t) 2 dt A Tabela 1 apresenta a fórmula matemática para calcular o valor eficaz das formas de onda senoidal, quadrada e dente de serra. Onde, Y p representa a amplitude da onda (valor pico).
9 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 9 Tabela 1: Fórmulas para calcular o valor RMS Forma de onda Valor RMS Senoidal Quadrada Dente de serra Y p 2 Y p Y p Fasores Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma onda senoidal. A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no tempo. Por exemplo, Dado y(t) = y M cos(ωt+θ) = 12cos(377t+45 o ) Notação fasorial: Y = y M θ = o 3.4 Resposta dos componentes R, L e C em corrente alternada A resposta dos componentes básicos R, L e C ao sinal senoidal (corrente/tensão) será apresentada nesta seção. Resistor: em um circuito puramente resistivo, a tensão e a corrente estão em fase. Os valores picos da tensão e da corrente estão relacionados através da Lei de Ohm. v = V m sen(ωt) i = v/r = Vm R sen(ωt) Figura 4: Circuito puramente resistivo
10 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 10 i = I m sen(ωt) A Figura 5 apresenta as formas de onda de corrente e tensão em um circuito puramente resistivo. Figura 5: Circuito puramente resistivo: formas de onda Indutor: em um circuito puramente indutivo, a tensão v L (t). está adiantada de 90 o em relação à i L (t). Em outras palavras, a corrente no indutor i L (t)está atrasada de 90 o em relação à v L (t). Figura 6: Circuito puramente indutivo A Figura 7 apresenta as formas de onda de corrente e tensão em um circuito puramente resistivo. A tensão no indutor pode ser representada pela seguinte equação (conforme visto na disciplina de Introdução à Eletricidade): v L (t) = L di L dt = L d(imsen(ωt)) d t = ωli m cos(ωt) v L (t) = ωli m cos(ωt) = V m sen(ωt+90 o )
11 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 11 Figura 7: Circuito puramente indutivo: formas de onda Oposição = Vm ω = 2πfL I m = ωlim I m = ωl A oposição é chamada de reatância indutiva e depende da frequência do sinal e da indutância do indutor. A reatância indutiva é representada por X L e é medida em ohms (Ω). X L = Vm I m = ωl = 2πfL Capacitor: em um circuito puramente capacitivo, a tensão v L (t). está atrasada de 90 o em relação à i L (t). Figura 8: Circuito puramente capacitivo A corrente no capacitor pode ser representada pela seguinte equação (conforme visto na disciplina de Introdução à Eletricidade): i c (t) = C dvc d t = C d(vmsen(ωt)) d t = ωcv m cos(ωt) i c (t) = ωcv m cos(ωt) = I m sen(ωt+90 o )
12 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 12 Oposição = Vm I m = Vm ωcv m = 1 ωc ω = 1 2πfC A oposição é chamada de reatância capacitiva e depende da frequência do sinal e da capacitância do capacitor. A reatância capacitiva é representada por X C e é medida em ohms (Ω). X C = Vm I m = 1 ωc Comportamento de indutores e capacitores em baixa e alta frequência: Indutor: f X L f X L Capacitor: f X C f X C Componente f = 0Hz (CC) f (CA) Indutor (L) X L = 2πf = 0Ω(curto) X L = 2πf = Ω(aberto) Capacitor (C) X C = 1 2πfC C = 1 2πfC 4 Notação fasorial, Impedância e admitância 4.1 Notação fasorial *Para traçar o diagrama fasorial, veja a subseção 1.3. Exemplos serão apresentados em sala de aula. 4.2 Impedância A impedância é caracterizada como o impedimento ao fluxo de cargas elétricas em um material devido a uma perturbação externa alternada. A impedância de um elemento em certa frequência é definida como a relação entre a tensão e a corrente de entrada nesta frequência. Esta relação pode ser dividida em duas componentes: relação das amplitudes (ou magnitude, módulo): representada pela parte real da impedância e caracteriza a resistência do elemento (R);
13 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 13 relação entre fases: atraso entre os sinais de tensão e corrente. Representa a parte imaginária da impedância e que caracteriza a reatância do elemento (X); A impedância é expressa em Ohms e designada pelo símbolo Z. A reatância representa a oposição oferecida ao fluxo de corrente elétrica alternada causada por capacitância ou indutância em um circuito. Unidade: Ω A relação entre impedância, resistência e reatância é dada por: Z = R+jX Onde, Z representa a impedância; R é a resistência; X é a reatância. X < 0: reatância capacitiva X > 0: reatância indutiva Conforme apresentado na seção 3.4, o valor das reatâncias é dado por: X L = 2πfL X C = 1 2πfC Impedância na forma polar: Onde, r = z = R 2 +X 2 R = rcosθ X = rsenθ z = r(cosθ+jsenθ) Z = r θ Ângulo de fase (θ): mede a relação entre resistência e reatância em circuitos elétricos. O ângulo de fase é zero graus se o circuito é puramente resistivo e noventa graus se o circuito é puramente capacitivo ou indutivo. Um ângulo de fase de 45 graus representa um circuito com magnitudes iguais de reatância e resistência. Impedância puramente resistiva:
14 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 14 Z = R 0 o = R Impedância puramente capacitiva: Z = X C 90 o = jx C Impedância puramente indutiva: 4.3 Admitância Z = X L +90 o = +jx L Em circuitos de corrente alternada, a admitância é definida como Y = 1 Z. Unidade no sistema internacional: Siemens Admitância na forma retangular: Y = G+jB Onde, a parte real G representa a condutância (inverso da resistência) [Siemens]; a parte imaginária B representa a susceptância(inverso da reatância)[siemens]. B = 1 X G = 1 R A admitância do circuito apresentado na Figura 9 pode ser obtida através da soma das admitâncias de cada elemento: Y T = Y 1 +Y 2 +Y Y N A impedância total do circuito é o inverso da admitância total: Z T = 1 Y T = Y 1 Y 2 Y 3 Y N Exemplos: Figura 9: Circuito paralelo
15 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 15 Duas impedâncias em paralelo: Z T = Z 1Z 2 Z 1 +Z 2 Usando o conceito de admitância: Y T = Y 1 +Y 2 Onde, Y 1 = 1 Z 1 Y 2 = 1 Z 2 Dado o circuito apresentado na Figura 10, determine: Y R, Y L, Y C, Y T, Z T. Solução: Y R = G 0 o = R 1 0 o = 5Ω 1 0 o Y R = 0,2 0 o S = 0,2+j0 S Y L = B L 90 o = 1 X L 90 o = 1 Y L = 0, o = 0 j0,125 S Y C = B C 90 o = 1 X C 90 o = 1 Y C = 0, o = 0+j0,050 S Figura 10: Exemplo 20Ω 90 o 8Ω 90 o Y T = Y R +Y L +Y C = 0,2 j0,125+j0,050 = 0,2 j0,075 S Y T = 0, ,56 o S Z T = 1 Y T = 1 0, ,56 o = 4,68+20,56 o Ω Tarefa: esboce o diagrama fasorial de impedâncias e admitâncias (separadamente). Não sabe como fazer? Então, veja a subseção 1.3.
16 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez Associação de impedâncias Série: A Figura 11 apresenta um circuito série composto por três elementos: resistor, indutor e capacitor. Figura 11: Circuito série: exemplo A impedância total de um circuito série pode ser calculada da seguinte maneira: Z T = Z 1 +Z 2 +Z Z N Aplicando a fórmula no circuito exemplo: Z T = Z 1 +Z 2 +Z 3 Z T = R 0 o +X L 90 o +X C 90 o Z T = R+jX L jx C Z T = R+j(X L X C ) Observação: analisando Z T = R+j(X L X C ), podemos concluir que o circuito é puramente resistivo para X L = X C. Z T = 6+j(10 12) = 6 j12 Z T = 6 j12ω = 6,33 18,43 o Ω A corrente total do circuito pode ser obtida através da Lei de Ohm: I T = E Z T A diferença de potencial nos elementos R, L e C pode ser obtida aplicando a Lei de Ohm: V Z1 = V R = I T Z 1 = I T R V Z2 = V L = I T Z 2 = I T X L V Z3 = V C = I T Z 3 = I T X C Ou aplicando divisor de tensão: V Z1 = EZ 1 Z T
17 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 17 V Z2 = EZ 2 Z T V Z3 = EZ 3 Z T Sugestão: efetue as operações de multiplicação e divisão na forma polar. Paralelo: A Figura 12 apresenta um circuito paralelo composto por dois elementos: resistor e indutor. Figura 12: Circuito paralelo: exemplo A impedância total de um circuito paralelo pode ser calculada da seguinte maneira: 1 Z T = 1 Z Z Z Z N Fórmula para duas impedâncias: Z T = Z 1Z 2 Z 1 +Z 2 ou a partir da admitância total: Y T = Y 1 +Y 2 +Y Y N Z T = 1 Y T Aplicando a fórmula no circuito exemplo: 1 Z T = 1 Z Z 2 1 Z T = R o X L 90 o Finalize os cálculos e esboce o diagrama fasorial de impedâncias. Calculando a corrente que atravessa cada impedância: I 1 = I R = E R
18 Análise de Circuitos 2 - Prof. César M. Vargas Benítez 18 I 2 = I R = E X L Ou aplicando divisor de corrente: I 1 = I R = I TZ 2 Z T I 2 = I L = I TZ 1 Z T I R = I TZ L Z R +Z L I L = I TZ R Z R +Z L I L = I T R 0 o R 0 o +X L 90 o I L = 20A 0 o 3 0 o 3 0 o o I L = 16 36,87 o A I R = 20A 0 o 4 90 o 3 0 o o I R = 12 53,13 o A
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