T7 - Oscilações forçadas. sen (3)

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1 Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa T7 FÍSICA EXPERIMENTAL I /08 OSCILAÇÕES FORÇADAS NUM CIRCUITO RLC 1. Objectivo Estudar um circuito RLC série ao qual é aplicada uma força electromotriz sinusoidal; Determinar as amplitudes e diferenças de fase entre as tensões e correntes eléctricas nos vários elementos do circuito; Determinar a potência dissipada no circuito. 2. Introdução 1 Recorde-se que os vários elementos passivos ideais presentes neste circuito apresentam relações entre a diferença de potencial aos seus terminais e a corrente que através deles flui em cada instante que podem ser traduzidas pelas seguintes expressões: Resistência: Indutor: Condensador: (1) O circuito ideal do qual se pretende estudar o funcionamento em regime de corrente estacionária é um circuito RLC que apresenta os três elementos associados em série, conforme se esquematiza na fig.1. i Figura 1: Esquema do circuito RLC de parâmetros ideais utilizado neste trabalho experimental. forma Aos terminais desta associação aplica-se uma força electromotriz alternada sinusoidal, da 1 Estas notas reproduzem as apresentadas em 1995 na disciplina de Física Experimental II sob a coordenação do Prof. António Melo e colaboração do Prof. Edgar Cravo.

2 sen (2) em que é a amplitude (constante) da f.e.m., e ω a frequência angular da oscilação aplicada ao circuito (, sendo T o período da sinusóide). Uma vez que este circuito é constituído por uma única malha (não possui nós) existe apenas uma corrente eléctrica no circuito, que tem o mesmo valor em todos os pontos. Uma análise muito simples do circuito permite supor que a corrente eléctrica deverá ter uma forma sinusoidal, tal como a f.e.m., e com a mesma frequência angular desta. A corrente poderá, no entanto, apresentar uma diferença de fase relativamente à f.e.m., pelo que a sua forma se representa através da seguinte expressão sen (3) em que é a amplitude da corrente e traduz a diferença de fase constante entre as duas sinusóides a da corrente e a da força electromotriz. As grandezas e dependem do circuito (R, L e C) e ainda das características da f.e.m. (ε 0 e ω). A determinação desta dependência é efectuada por aplicação da lei das malhas ao circuito considerado. Note-se que tanto a corrente eléctrica como a força electromotriz, sendo alternadas não possuem um sinal definido ao longo do tempo, ao contrário do que acontece no caso das correntes e f.e.m. constantes. Assim sendo, o sentido da corrente eléctrica i indicada na fig.1 considera-se como sendo o sentido da corrente num determinado instante. A colocação de uma seta junto ao símbolo da f.e.m. alternada destina-se a indicar o sentido positivo desta no instante considerado. Efectuando a circulação ao longo da malha no sentido indicado na fig.1, resulta da 2ª lei de Kirchhoff a relação entre os valores instantâneos das seguintes grandezas: ε 0 (4) Supondo que a corrente no circuito tem, de facto, a forma sugerida na equação (3), é possível usar as relações (1), no caso particular de correntes e tensões sinusoidais, para exprimir a diferença de potencial aos extremos dos elementos passivos do circuito em função desta corrente. Com efeito, nesta situação particular, de corrente eléctrica sinusoidal, as relações (1) tomam a seguinte forma: 2(12)

3 Resistência: sen Indutor: cos sen (5) Condensador: cos sen Substituindo estas expressões na equação (4), que traduz a lei das malhas, obtém-se a expressão que relaciona a amplitude e a fase da corrente com os parâmetros característicos do circuito e da força electromotriz: sen sen sen sen 0 (6) Esta equação pode ser resolvida efectuando o desenvolvimento das funções seno em funções que dependem de cada uma das parcelas dos seus argumentos. Este processo é, no entanto, pouco prático pois conduz a expressões muito complicadas, mesmo em situações simples como a presente. Justifica-se assim uma representação alternativa das correntes e tensões alternadas. O facto de estas correntes e tensões poderem ser sempre expressas como funções sinusoidais 2 sugere a sua representação como projecções de vectores girantes no plano complexo. Com efeito, usando a fórmula de Euler 3 : cossen (7) é possível exprimir o seno de um determinado ângulo θ como a parte imaginária da exponencial : sen Im (8) Ora, sobre o plano complexo esta exponencial é representada pelo vector unitário na direcção que faz um ângulo θ com o semi-eixo real positivo. O valor de sen é portanto simplesmente a projecção deste vector sobre o eixo imaginário (vertical). Nesta representação, por exemplo a corrente i, que tem a forma expressa na eq. (3), é traduzida pela projecção sobre o eixo imaginário de um vector girante, também designado por vector de fase, no plano complexo. Este vector tem um módulo cujo valor é dado pela amplitude da corrente, e roda sobre o plano complexo em torno da origem no sentido directo com uma velocidade angular ω, de tal modo que em qualquer instante t o ângulo que ele forma com a parte 2 O que resulta do facto de as suas relações algébricas ou diferenciais nos elementos passivos lineares preservarem esta característica (ver eq. (5)). 3 Nesta notação representa-se por j a unidade imaginária 1 pois a letra i já está atribuída à designação da corrente eléctrica. Evita-se assim a possibilidade de confusão que surgiria se fosse utilizado o mesmo símbolo com dois significados distintos. 3(12)

4 positiva do eixo real tem o valor. De forma idêntica se podem associar vectores de fase às restantes grandezas sinusoidais envolvidas no problema, não esquecendo que o valor instantâneo dessas grandezas é efectivamente traduzido pelas projecções desses vectores sobre o eixo imaginário. Na fig. 2 representam-se os vectores de fase correspondentes às tensões aos terminais da resistência, indutor e condensador do circuito RLC considerado, num mesmo instante. As suas projecções sobre o eixo vertical têm os valores dados pela eq. (5). Da observação dos diagramas da fig. 2 conclui-se de imediato que a tensão e a corrente na resistência estão em fase, enquanto nos restantes elementos existe uma diferença de fase de. No caso do condensador a tensão está atrasada relativamente à corrente (recorde que os vectores rodam no sentido directo) ao passo que no indutor a tensão encontra-se adiantada em relação à corrente. Os vectores de fase no plano complexo que traduzem a tensão nos três elementos passivos são dados por: Resistência: Indutor: Condensador: e e e e e (9) em que se faz uso da relação e. Im Im Im VR V L0 V L V R0 i i i 0 i i 0 i 0 Resistência Indutor Condensador Figura 2: Representação gráfica no plano complexo dos vectores de fase que traduzem a corrente e a tensão em três elementos passivos ideais. Junto a cada vector de fase encontra-se indicado o valor do seu módulo (comprimento do vector). V C V C0 Note-se que em todas estas relações surge a expressão da corrente i no segundo membro, ou seja, no plano complexo os vectores que representam a tensão e a corrente em cada um dos elementos passivos estão relacionados por um factor constante, diferente para cada caso. Este factor 4(12)

5 constante, que é real no caso da resistência e imaginário puro nos casos do condensador e indutor ideais, designa-se por impedância Z, e permite generalizar a proporcionalidade entre a tensão e a corrente, traduzida pela lei de Ohm para o caso das resistências, aos restantes elementos passivos lineares funcionando em regime de corrente estacionária alternada sinusoidal: (10) As impedâncias do condensador e indutor ideais dependem, para além dos parâmetros que estão associados a estes elementos, também da frequência angular da oscilação sinusoidal que se lhe encontra aplicada: Resistência: Indutor: Condensador: (11) Retomando a equação (4) que traduz a lei das malhas para o circuito RLC que tem vindo a ser considerado, podemos afirmar que, de acordo com a representação agora introduzida, é nula a soma das projecções sobre o eixo imaginário dos vectores de fase que representam as tensões nos três elementos passivos com o simétrico do vector correspondente à f.e.m. Repare-se porém que, em termos vectoriais, a soma algébrica das projecções de um certo número de vectores sobre uma determinada direcção é idêntica à projecção sobre essa direcção do vector que resulta da soma (vectorial) dos vectores considerados. A lei das malhas para este circuito toma então a forma de uma soma de quantidades complexas: 0 (12) Exprimindo a soma das impedâncias em coordenadas polares 4 no plano complexo obtém-se: (13) Substituindo esta expressão na equação (12), resultam as seguintes expressões para a amplitude e fase da corrente que circula na malha do circuito RLC série: arctg (14) 4 As coordenadas polares relacionam-se com as coordenadas cartesianas do seguinte modo:, com e arctg. 5(12)

6 Como se pode verificar a partir destas expressões, para valores fixos de L e C existe uma certa frequência angular ω 0 para a qual não só a corrente eléctrica no circuito tem um valor máximo como também está em fase com a f.e.m. aplicada. Essa frequência angular, que resulta da condição: 0 designa-se por frequência de ressonância tem o valor 5 (15) Na situação em que a f.e.m. aplicada ao circuito tem exactamente esta frequência sucede que as impedâncias do condensador e do indutor se anulam. Isto significa em termos dos diagramas no plano complexo, que os vectores correspondentes às tensões nestes elementos, que têm sempre a mesma direcção e sentidos opostos (estão em oposição de fase pois um está adiantado de e o outro está atrasado de relativamente à corrente), apresentam agora o mesmo módulo, e consequentemente a sua soma é nula em qualquer instante. Na situação de ressonância a associação em série do condensador e o indutor ideais comporta-se como um curto-circuito. O circuito comporta-se então como sendo equivalente a uma f.e.m. aplicada a uma resistência R, de onde resulta uma corrente. Diz-se que o circuito é puramente resistivo nesta situação particular. Para frequências angulares inferiores a a impedância do condensador torna-se maior (em módulo) do que a impedância do indutor e o circuito torna-se predominantemente capacitivo, isto é, a corrente apresenta um avanço de fase relativamente à f.e.m. (embora inferior a, como seria se o circuito fosse puramente capacitivo). Pelo contrário para frequências angulares superiores a a impedância do indutor torna-se dominante no conjunto LC, verificando-se que a f.e.m. precede a corrente em termos de fase, e o circuito diz-se predominantemente indutivo. Estas três situações encontram-se representadas em diagrama na fig.3. A potência instantânea absorvida 6 por um qualquer elemento (ou série de elementos) de um circuito é dada pela expressão: (16) 5 Esta frequência coincide com a frequência de oscilação livre do circuito LC. 6 Uma potência com valor positivo corresponde a uma absorção de potência por parte do elemento considerado, sendo essa potência retirada o circuito. Pelo contrário, um valor negativo indica que o elemento fornece potência ao circuito. 6(12)

7 em que V e i representam os valores instantâneos da tensão e da corrente no elemento considerado. Representando por φ a diferença de fase entre a tensão e a corrente no referido elemento, a potência por ele absorvida num dado instante tem a forma: Im Im sen cos sen cos sen (17) Im Im Im V L0 V R0 V L0 ϕ>0 V V R0 V R0 L0 i 0 ϕ<0 i0 i 0 V C0 V C0 V C0 ω < ω 0 ω = ω 0 ω > ω 0 (a) (b) (c) Figura 3: Diagrama de vectores de fase representando a relação entre a corrente, a f.e.m. e as tensões nos diferentes elementos do circuito RLC, nas situações em que este apresenta comportamento predominantemente: (a) capacitivo; (b) resistivo; (c) indutivo. Recorde-se que o comprimento de cada vector representa a amplitude da grandeza que lhe está associada, e que o valor instantâneo dessa grandeza é dado pela projecção desse vector sobre o eixo imaginário. Mais interessante do que a potência instantânea é, no entanto, a potência média absorvida ao longo de um intervalo de tempo muito grande, quando comparado com o período 2 da oscilação sinusoidal da tensão e da corrente. Mas uma vez que a potência absorvida durante cada período é sempre a mesma, calcular o valor médio da potência ao longo de um intervalo de tempo muito grande produz o mesmo resultado que calcular esse valor médio apenas durante um único período: lim (18) Usando a expressão da potência instantânea estabelecida anteriormente, do cálculo deste integral 7 resulta que a potência média absorvida por qualquer elemento passivo do circuito vem dada por: cos (19) O termo cos designa-se por factor de potência. No caso de uma resistência ele tem o valor máximo de 1, já que a corrente e a tensão se encontram em fase neste elemento. A potência 7 Ressume-se ao cálculo dos dois valores médios: sen e sen cos 0, durante um período de oscilação. 7(12)

8 instantânea é sempre positiva (não negativa, em rigor) ao longo de todo o período de oscilação, o que significa que a resistência se limita a consumir ou dissipar energia, retirando-a do circuito. Pelo contrário, o factor de potência é nulo no caso do elemento considerado ser um condensador ou indutor ideais, pois em qualquer destes elementos a diferença de fase entre a tensão e a corrente vale. Deste facto resulta que não é possível a dissipação de energia em nenhum destes elementos ideais. No conjunto dos três elementos que constituem o circuito RLC ideal a potência total dissipada é simplesmente a que se dissipa na resistência. Com efeito, é fácil verificar geometricamente em qualquer dos diagramas da fig. 3 que em termos vectoriais a projecção da f.e.m. sobre a direcção da corrente é igual à tensão na resistência: cos. Resulta portanto 8 : cos (20) Apesar de o indutor e o condensador, ao longo do período de oscilação, não extraírem ou fornecerem potência ao circuito, já instantaneamente a situação é diferente. Com efeito, o desfasamento de existente entre a tensão e a corrente conduz a que durante metade do ciclo de oscilação a potência instantânea (produto da tensão pela corrente) seja positiva enquanto na outra metade ela é negativa. Quer isto dizer que durante metade do ciclo de oscilação cada um destes elementos absorve potência do circuito e durante a outra metade fornece essa mesma potência ao circuito, resultando no final um balanço nulo. Para além disto é interessante notar que o facto de as tensões no condensador e no indutor ideais se encontrarem permanentemente em oposição de fase significa que enquanto um dos elementos se encontra a absorver potência do circuito o outro se encontra a fornecer (embora em geral uma quantidade diferente 9 ). Conclui-se, portanto, que durante cada ciclo de oscilação existe uma certa transferência de potência (e energia) nos dois sentidos entre o indutor e o condensador. 8 Note-se que a potência dissipada numa resistência no caso em que a tensão e a corrente são constantes (e não alternadas sinusoidais como se tem vindo a considerar) é definida pela expressão:. De forma a harmonizar a expressão com esta definição faz-se absorver o factor (resultante do cálculo do valor médio sen que surge no produto da tensão pela corrente ambas sinusoidais) na definição de novos valores de tensão e corrente ditos eficazes: f 2, f 2. Estes valores eficazes de tensão e corrente são por definição os valores constantes que produziriam uma dissipação de potência equivalente à potência média efectivamente dissipada pelas correspondentes tensão e corrente sinusoidais. Deste modo resulta que também para o caso de resistências percorridas por corrente alternada se tem a potência dada pelo produto da tensão pela corrente mas usando os valores eficazes: f f. 9 Apenas na situação de ressonância as potências transferidas entre o indutor e o circuito e entre o condensador e o circuito são iguais. 8(12)

9 A quantidade de energia que é absorvida ou fornecida pelo indutor ao circuito durante um período de oscilação, que é igual à energia máxima armazenada no campo magnético do indutor (correspondente ao instante em que a corrente atinge o seu valor máximo i 0 ), é dada por: (21) Na situação de ressonância esta é a quantidade transferida entre o indutor e o condensador ao longo de um período de oscilação. Por seu lado, a energia dissipada na resistência durante o mesmo período é: (22) Assim, da energia total no circuito, que é transferida entre o indutor e o condensador na situação de ressonância, a fracção que é dissipada é aproximadamente: (23) Define-se o valor Q ou qualidade do circuito oscilante como a grandeza: (24) Relacionada com a fracção da energia dissipada no circuito na situação de ressonância: ~. Portanto, um valor Q elevado significa uma pequena dissipação relativa de energia no circuito. 3. Para resolver antes da aula de realização do trabalho Considere um circuito RLC série percorrido por uma corrente alternada sinusoidal 5sen6000 ma em que a resistência tem o valor R = 100 Ω e a bobina é caracterizada por ter uma indutância L = 30 mh com uma resistência R L = 9 Ω. a. Qual é a amplitude e a frequência da tensão aos terminais da resistência de 100 Ω? b. Qual é o valor da capacidade do condensador que se deve associar neste circuito de modo que a frequência de ressonância seja 1.8 x 10 3 rad/s? c. Calcule a potência média dissipada no circuito. d. Calcule o módulo da impedância da bobina na situação de ressonância. 9(12)

10 4. Realização experimental e análise de resultados Na montagem do circuito RLC presente neste trabalho laboratorial utilizam-se elementos activos e passivos reais, os quais diferem naturalmente dos seus correspondentes ideais. Assim, pela sua eventual influência no funcionamento do presente circuito, poderá tornar-se necessário considerar as resistências internas do gerador e do indutor. De acordo com o modelo de parâmetros concentrados estas resistências podem ser representadas como associadas em série com os elementos a que correspondem. 1. Utilize o material disponível para efectuar a montagem esquematizada na fig. 4. Ligue os dois canais do osciloscópio aos locais indicados no esquema tendo o cuidado de verificar se os terminais de terra do gerador e do osciloscópio foram ligados correctamente ao mesmo ponto do circuito. Procure inteirar-se dos valores da resistência R g e determine o valor das resistências R L e R I. Para esta última deve ser usada a resistência disponível de valor mais baixo. Osc. (canal 2) Osc. (canal 1) Figura 4: Representação esquemática da montagem do circuito RLC utilizado na observação experimental da relação entre a corrente e a tensão no condensador num regime estacionário de oscilação forçada alternada sinusoidal. 2. Aplique ao circuito uma tensão sinusoidal com uma frequência à sua escolha da ordem dos 10 khz. Mantenha fixas a amplitude e a frequência da tensão aplicada. Determine com precisão o valor do período da corrente sinusoidal que flui no circuito. Calcule o valor da frequência angular correspondente. Determine com precisão o valor da amplitude da tensão na resistência. Calcule a amplitude da corrente i Observe o sinal que é aplicado ao sinal 2 do osciloscópio. Determine com precisão a amplitude deste sinal e a sua diferença de fase relativamente à corrente i (por comparação com o sinal presente no canal 1 do osciloscópio). 10(12)

11 4. Represente num diagrama de vectores de fase as grandezas determinadas anteriormente. Com o auxílio deste diagrama calcule o valor da amplitude da tensão no condensador. Calcule o valor da capacitância C usando a definição de impedância. 5. Na montagem do circuito RLC que foi utilizado proceda à troca entre si das posições do condensador e do indutor de forma a obter a disposição esquematizada na fig. 5. Aplique ao circuito uma tensão sinusoidal com uma frequência da ordem de 2 khz. Proceda à determinação de i 0 e ω. 6. O sinal agora aplicado ao canal 2 do osciloscópio representa a soma das tensões na resistência e no indutor:. Determine com precisão a amplitude deste sinal e a sua diferença de fase relativamente à corrente i. 7. Obtenha o valor da amplitude da tensão no indutor e calcule o valor da indutância L. 8. Com base nos valores experimentais obtidos anteriormente calcule a potência que foi dissipada em cada um dos circuitos utilizados, durante o seu funcionamento. 9. Calcule a frequência de ressonância do circuito. Variando a frequência da tensão aplicada ao circuito pelo gerador de sinais observe experimentalmente a situação de ressonância (Máxima amplitude da corrente) e determine com precisão a frequência angular ω 0 da corrente que se verifica nessa situação. Compare o valor agora obtido com o valor calculado inicialmente. Osc. (canal 2) Osc. (canal 1) Figura 5: Representação esquemática da montagem do circuito RLC utilizado na observação experimental da relação entre a corrente e a tensão no indutor e da ressonância do circuito num regime estacionário de oscilação forçada alternada sinusoidal. 10. Fazendo variar a frequência da tensão aplicada pelo gerador ao circuito quer para valores inferiores quer para valores superiores a ω 0, determine um número suficiente de pontos 11(12)

12 experimentais que lhe permita traçar a curva de variação da amplitude da corrente em função da frequência i 0 (ω), chamada curva de ressonância. 11. Substitua a resistência R I usada por um valor superior, e determine a nova curva de ressonância do circuito. Compare as duas curvas obtidas. 12. Determine graficamente a largura Δω das curvas de ressonância a meia altura do seu valor máximo. Calcule os valores Q do circuito. Verifique se estes valores satisfazem a relação teórica: Δω que traduz o facto da largura relativa da curva de ressonância ser menor (o pico de ressonância torna-se mais estreito) quanto maior for a qualidade do circuito. 12(12)