AULA 3. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE Routh-Hurwitz. Universidade Federal do ABC UFABC ESTA003-17: SISTEMAS DE CONTROLE I

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1 Universidade Federal do ABC UFABC ESTA003-17: SISTEMAS DE CONTROLE I AULA 3 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE Routh-Hurwitz PROF. DR. ALFREDO DEL SOLE LORDELO TELA CHEIA

2 Critério de estabilidade de Routh A questão mais importante relacionada a sistemas de controle é a estabilidade, de maneira que deve-se determinar se o sistema é estável e, se não for estável, sob quais condições o sistema se tornará estável. Um sistema de controle só será estável, se todos os pólos da função de transferência de malha fechada estiverem localizados no semiplano esquerdo do plano complexo, ou seja, se todos os pólos tiverem parte real negativa. Considere o sistema descrito pela seguinte função de transferência de malha fechada C(s) R(s) = b 0s m +b 1 s m b m 1 s+b m = B(s) a 0 s n +a 1 s n a n 1 s+a n A(s) na qual a i para i = 0,...,n e b j para j = 0,...,m são constantes e m n. 2/33

3 Critério de estabilidade de Routh O critério de estabilidade de Routh possibilita determinar o número de pólos de malha fechada que se situam no semiplano direito do plano complexo, sem a necessidade de fatorar o polinômio denominador. Este critério determina se existem ou não raízes com parte real positiva em uma equação polinomial, sem a necessidade de calculá-los. Assim, as informações sobre a estabilidade absoluta são obtidas diretamente dos coeficientes da equação característica. Procedimento: 1- Escreva a equação polinomial em s da seguinte maneira: cujos coeficientes são grandezas reais e suponha que a n 0; a 0 s n +a 1 s n a n 1 s+a n = 0 (1) 2- Se algum dos coeficientes for nulo ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo, então existirá uma ou mais raízes puramente imaginárias ou que tenham partes reais positivas e, portanto, o sistema não será assintoticamente estável, encerrando o procedimento. Logo, uma condição necessária para a estabilidade assintótica é que todos os coeficientes sejam positivos. 3/33

4 Critério de estabilidade de Routh Um polinômio em s que tenha coeficientes reais sempre poderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticos, tais como (s+a) e (s 2 +bs+c), nos quais a, b e c são números reais. Os fatores lineares resultam em raízes reais e os fatores quadráticos resultam em raízes complexas conjugadas. O fator (s 2 + bs + c) terá raízes com parte real negativa somente se b e c forem ambos positivos. Logo, para que todas as raízes tenham parte real negativa e, portanto, o sistema seja assintoticamente estável, as constantes a, b, c, etc, devem ser positivas em todos os fatores. O produto de todos os fatores lineares e quadráticos que contêm somente coeficientes positivos resulta sempre em um polinômio com coeficientes positivos. A condição de que todos os coeficientes da equação (1) sejam positivos é necessária, mas não suficiente para determinar a estabilidade do sistema, pois se todos os coeficientes forem negativos, basta multiplicar ambos os lados por -1 para torná-los positivos. 4/33

5 Critério de estabilidade de Routh 3- Se todos os coeficientes forem positivos, deve-se organizar os coeficientes do polinômio em linhas e colunas de acordo com o seguinte padrão: s n a 0 a 2 a 4 a 6... s n 1 a 1 a 3 a 5 a 7... s n 2 b 1 b 2 b 3 b 4... s n 3 c 1 c 2 c 3 c 4... s n 4 d 1 d 2 d 3 d s 2 e 1 e 2 s 1 f 1 s 0 g 1 O processo de formação das linhas continua até que se esgotem todos os elementos, num total de n+1 linhas. 5/33

6 Critério de estabilidade de Routh Os coeficientes b 1, b 2, b 3, etc, são calculados na forma b 1 = a 1a 2 a 0 a 3 a 1 b 2 = a 1a 4 a 0 a 5 a 1 b 3 = a 1a 6 a 0 a 7 a 1. até que os elementos restantes sejam todos nulos. O mesmo padrão é seguido para o cálculo de c, d, e, etc, ou seja c 1 = b 1a 3 a 1 b 2 b 1 d 1 = c 1b 2 b 1 c 2 c 1 c 2 = b 1a 5 a 1 b 3 b 1 d 2 = c 1b 3 b 1 c 3 c 1 c 3 = b 1a 7 a 1 b 4 b 1.. e o processo continua até que a n ésima linha seja completada. 6/33

7 Critério de estabilidade de Routh A matriz completa de coeficientes é triangular. Uma linha inteira pode ser multiplicada ou dividida por um número positivo, de maneira a simplificar os cálculos subsequentes, sem alterar a conclusão sobre a estabilidade. O critério de estabilidade de Routh afirma que o número de raízes da equação (1) com parte real positiva é igual ao número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz. Os valores exatos dos termos da primeira coluna não precisam ser conhecidos. Apenas os sinais são necessários. Portanto, a condição necessária e suficiente para que todas as raízes da equação (1) se situem no semiplano esquerdo do plano complexo é que todos os coeficientes sejam positivos e que todos os elementos da primeira coluna da matriz tenham sinais positivos. 7/33

8 Exemplo Considere a seguinte equação polinomial cuja matriz dos coeficientes é dada por a 0 s 3 +a 1 s 2 +a 2 s+a 3 = 0 s 3 a 0 a 2 s 2 a 1 a 3 s 1 a 1a 2 a 0 a 3 a 1 s 0 a 3 A condição para que todas as raízes tenham parte real negativa é que a i > 0, para i = 0,...,3 e a 1 a 2 a 0 a 3 a 1 > 0 a 1 a 2 a 0 a 3 > 0 a 1 a 2 > a 0 a 3 8/33

9 Exemplo Considere a seguinte equação polinomial cuja matriz dos coeficientes é dada por s 4 +2s 3 +3s 2 +4s+5 = 0 s s s s A segunda linha é dividida por 2. s s s 1 6 s 1 3 s 0 5 s 0 5 O número de mudanças de sinal dos coeficientes na primeira coluna é 2 e, portanto, existem duas raízes com parte real positiva. As raízes são s = 0,2878±j1,4161 e s = 1,2878±j0, /33

10 Critério de estabilidade de Routh: casos especiais Se um termo na primeira coluna de qualquer linha for nulo, mas os termos restantes não forem nulos ou não existirem, então o termo nulo é substituído por um número positivo muito pequeno (ǫ > 0) e o restante da matriz é calculado. Considere a seguinte equação polinomial s 3 +2s 2 +s+2 = (s+2)(s+j)(s j) = 0 cuja matriz dos coeficientes é dada por s s s 1 0 ǫ s 0 2 O sinal do coeficiente acima do zero (ǫ > 0) é o mesmo do coeficiente abaixo, indicando que exite um par de raízes imaginárias, que no caso, são s = ±j. 10/33

11 Critério de estabilidade de Routh: casos especiais Se o sinal do coeficiente acima do zero (ǫ > 0) for oposto ao do coeficiente abaixo, isso indica que há uma mudança de sinal. Considere a seguinte equação polinomial s 3 3s+2 = (s 1) 2 (s+2) = 0 cuja matriz dos coeficientes é dada por s s 2 0 ǫ 2 s ǫ s 0 2 Ocorrem duas mudanças de sinal nos coeficientes da primeira coluna, em concordância com o resultado exibido pela forma fatorada da equação polinomial. 11/33

12 Critério de estabilidade de Routh: casos especiais Se todos os coeficientes em uma linha calculada forem nulos, haverá raízes de mesmo valor, radialmente opostas, situadas no plano complexo. Ou seja, duas raízes reais, de valores iguais e sinais opostos ou duas raízes complexas conjugadas puramente imaginárias. Neste caso, pode-se continuar o cálculo do restante da matriz, formando-se um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e utilizando os coeficientes da derivada desse polinômio na próxima linha. Essas raízes de valores iguais, radialmente opostas no plano complexo podem ser determinadas resolvendo o polinômio auxiliar. Para um polinômio auxiliar de grau 2n, existem n pares de raízes de valores iguais e sinais opostos. 12/33

13 Critério de estabilidade de Routh: casos especiais Considere a seguinte equação polinomial cuja matriz dos coeficientes é dada por s 5 +2s 4 +24s 3 +48s 2 25s 50 = 0 s s Polinômio auxiliar s Os termos da linha s 3 são nulos. Este caso ocorre somente em uma linha de número ímpar. O polinômio auxiliar é formado pelos coeficientes da linha s 4, de maneira que P(s) = 2s 4 +48s 2 50 e indica que existem dois pares de raízes de valores iguais e de sinais opostos, ou seja, duas raízes reais de mesmo valor e sinais opostos ou duas raízes complexas conjugadas puramente imaginárias. Assim, 2s 4 +48s 2 50 = 0 de maneira que as raízes são s = ±1 e s = ±j5. 13/33

14 Critério de estabilidade de Routh: casos especiais A derivada de P(s) em relação a s é dada por dp(s) ds = 8s 3 +96s Os termos da linha s 3 são substituídos pelos coeficientes da última equação, de maneira que s s s Coeficientes de dp(s) ds s 2 s 1 112,7 s Ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna da nova matriz e, portanto, a equação polinomial original tem uma raiz com parte real positiva. A forma fatorada da equação polinomial é dada por evidenciando o fato. (s+1)(s 1)(s+j5)(s j5)(s+2) = 0 14/33

15 Critério de estabilidade de Routh: análise da estabilidade relativa O critério de estabilidade de Routh estabelece uma análise para a estabilidade absoluta. Porém, muitas vezes, é necessária uma análise da estabilidade relativa do sistema. Uma maneira eficiente para examinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo imaginário do plano complexo e aplicar o critério de estabilidade de Routh. Para isso, substitui-se s = ŝ σ na equação característica do sistema, na qual σ é uma constante. Então, escreve-se a equação polinomial em termos de ŝ e aplica-se o critério de estabilidade de Routh à nova equação polinomial em ŝ. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da matriz desenvolvida para o polinômio em ŝ é igual ao número de raízes que estão localizadas à direita da linha vertical s = σ. 15/33

16 Exemplo Considere um sistema mecânico massa-mola-amortecedor, linear e invariante no tempo, cuja entrada u(t) é a força externa aplicada na massa. A saída do sistema y(t) é o deslocamento da massa medido a partir da posição de equilíbrio. Descreva a função de transferência deste sistema e, considerando a massa m = 3, 0kg, determine a constante elástica da mola k e o valor do coeficiente de amortecimento b do amortecedor, de maneira que M p = 35% e t s = 2,0s para uma entrada degrau u(t) = kr(t) aplicada na massa m. A entrada u(t) passa por um ganho k, para que o sistema tenha erro de regime nulo. Aplicando-se a segunda lei de Newton, temos que 3 F i = m a ky(t) bẏ(t)+ku(t) = mÿ(t) i=1 mÿ(t)+bẏ(t)+ky(t) = ku(t) ÿ(t)+ b k mẏ(t)+ m y(t) = k u(t) (2) m 16/33

17 Exemplo Aplicando-se a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, de maneira que L{y(t)} = Y(s), L{ẏ(t)} = sy(s) y(0), L{ÿ(t)} = s 2 Y(s) sy(0) ẏ(0) e L{r(t)} = R(s) obtemos s 2 Y(s) sy(0) ẏ(0)+ b m [sy(s) y(0)]+ k m Y(s) = k m U(s) Para condições inicias nulas, ou seja, y(0) = ẏ(0) = 0, temos que s 2 Y(s)+ b m sy(s)+ k m Y(s) = k ( m R(s) Y(s) s 2 + b m s+ k ) m resultando na função de transferência = k m R(s) Y(s) R(s) = k m s 2 + b m s+ k m = ω 2 n s 2 +2ξω n s+ω 2 n Assim, ω 2 n = k m k = mω2 n e 2ξω n = b m b = 2mξω n 17/33

18 Exemplo O fator de amortecimento do sistema é dado por 1 ξ ξπ M p = e 2 ln(m p ) = ξπ (ln(m p)) 2 = 1 ξ 2 ( ξπ 1 ξ 2) 2 (ln(m p )) 2 = ξ2 π 2 1 ξ 2 (ln(m p)) 2 (1 ξ 2 ) = ξ 2 π 2 (ln(m p )) 2 (ln(m p )) 2 ξ 2 = ξ 2 π 2 (ln(m p )) 2 = (ln(m p )) 2 ξ 2 +ξ 2 π 2 (ln(m p )) 2 = ξ 2( (ln(m p )) 2 +π 2) ξ 2 = (ln(m p)) 2 (ln(m p )) 2 +π 2 (ln(m p )) 2 ξ = (ln(m p )) 2 +π ξ = (ln(0,35)) 2 2 (ln(0,35)) 2 +π ξ = 0,317 2 e a frequência natural é dada por t s = 4 ξω n ω n = 4 t s ξ ω n = 4 2 0,317 ω n = 6,31rad/s 18/33

19 Exemplo e Assim, k = mω 2 n k = 3 6,312 k = 119,5N/m b = 2mξω n b = 2 3,0 0,317 6,3103 b = 12,0Ns/m Se a massa for reduzida para m = 1,0kg, o tempo de acomodação irá aumentar? Não, pois para esta situação k 119,5 Y(s) R(s) = m 1,0 s 2 + b m s+ k = m s ,0 119,5 1,0s+ 1,0 e se considerarmos σ = ξω n = 0,317 6,31 = 2,0, temos que s = ŝ 2,0, de modo que s 2 +12,0s+119,5 = (ŝ 2,0) 2 +12,0(ŝ 2,0)+119,5 = ŝ 2 4,0ŝ+4,0+12,0ŝ 24,0+119,5 = ŝ 2 +8,0ŝ+99,5 a matriz dos coeficientes é dada por ŝ ,5 ŝ 1 8,0 0 ŝ 0 99,5 não havendo mudança de sinal e, portanto, não havendo pólos à direita da reta s = 2,0. 19/33

20 Exemplo Se a massa for aumentada para m = 5,0kg, o tempo de acomodação irá aumentar? Sim, pois para esta situação e para s = ŝ 2,0, de modo que Y(s) R(s) = k m s 2 + b m s+ k m = s ,0 5,0 119,5 5,0 s+ 119,5 5 s ,0 119,5 s+ 5,0 5,0 = (ŝ 2,0)2 +2,4(ŝ 2,0)+23,9 = = ŝ 2 4,0ŝ+4,0+2,4ŝ 4,8+23,9 = ŝ 2 1,6ŝ+23,1 o polinômio tem um coeficiente negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo e, portanto, o sistema terá pólos à direita da reta s = 2,0, apresentando um desempenho pior. 20/33

21 clear clc close all mp=0.35 ts=2 xi=sqrt(log(mp)ˆ2/(log(mp)ˆ2+piˆ2)) omega_n=4/(xi*ts) sigma=xi*omega_n m=3 %m=1 %m=5 k=m*omega_nˆ2 b=2*m*xi*omega_n num=k/m; Exemplo MATLAB 21/33

22 Exemplo MATLAB den=([1 b/m k/m]); sys=tf(num,den) roots(den) step(sys) Resultado: mp = ts = 2 xi = omega_n = /33

23 Exemplo MATLAB sigma = 2 m = 3 k = b = Transfer function: sˆ2 + 4 s ans = i i 23/33

24 Exemplo MATLAB m = 1 Transfer function: sˆ s ans = i i m = 5 Transfer function: sˆ s ans = i i 24/33

25 Exemplo MATLAB 1.5 m 2 = 3kg m 1 = 1kg m 3 = 5kg 1 y(t)[m] t[s] Figura 1: Respostas ao degrau unitário do sistema massa-mola-amortecedor. 25/33

26 Critério de estabilidade de Routh: análise de sistemas de controle O critério de estabilidade de Routh é de utilidade limitada na análise de sistemas de controle lineares, pois não sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável. No entanto, é possível examinar o efeito da mudança de um ou dois parâmetros do sistema examinando os valores que causam a instabilidade. Considere a seguinte função de transferência de malha fechada, de maneira que se possa utilizar o critério de estabilidade de Routh para determinar o intervalo de K, para que este sistema seja assintoticamente estável C(s) R(s) = A equação característica é dada por K s(s 2 +s+1)(s+2)+k s 4 +3s 3 +3s 2 +2s+K = 0 26/33

27 Critério de estabilidade de Routh: análise de sistemas de controle A matriz de coeficientes é determinada por s K s s 2 7 K 3 s K s 0 K Portanto, para que haja estabilidade assintotica, K e todos os coeficientes da primeira coluna devem ser positivos e K > K > > K > 0 de maneira que para K = 14, o sistema é oscilatório com amplitudes constantes. 9 27/33

28 Critério de estabilidade de Hurwitz Considere a equação característica dada por a 0 s n +a 1 s n 1 +a 2 s n a n 1 s+a n = 0 Pelo critério de estabilidade de Routh, para que todas as raízes tenham parte real negativa, todos os coeficientes do polinômio devem ser positivos. Essa condição é necessária, mas não suficiente. Se essa condição não for satisfeita, isso indicará que algumas das raízes têm parte real positiva ou são nulas ou são complexas conjugadas puramente imaginárias. A condição suficiente para que todas as raízes tenham parte real negativa pode ser dada pelo seguinte critério, denominado de critério de estabilidade de Hurwitz. O critério de estabilidade de Hurwitz fornece condições para que todas as raízes tenham parte real negativa em termos dos coeficientes dos polinômios. 28/33

29 Critério de estabilidade de Hurwitz Por este critério, se todos os coeficientes do polinômio forem positivos, eles serão organizados no determinante na qual, a s = 0 se s > n. n = a 1 a 3 a a 0 a 2 a a 1 a 3... a n a 0 a 2... a n a n 2 a n 0... a n 3 a n a n 4 a n 2 a n 29/33

30 Critério de estabilidade de Hurwitz Para que todas as raízes tenham parte real negativa, é necessário e suficiente que os menores principais sucessivos de n sejam positivos, de modo que a 1 a 3... a 2i 1 a 0 a 2... a 2i 2 i = 0 a 1... a 2i 3 para i = 1,...,n a i na qual, a s = 0 se s > n. Se todos esses determinantes forem positivos e a 0 > 0, o estado de equilíbrio do sistema, cuja equação característica é dada por será assintoticamente estável. a 0 s n +a 1 s n 1 +a 2 s n a n 1 s+a n = 0 30/33

31 Exemplo Obtenha as condições para estabilidade assintotica utilizando o critério de estabilidade de Hurwitz, para a seguinte equação característica a 0 s 4 +a 1 s 3 +a 2 s 2 +a 3 s+a 4 = 0 e As condições para que se tenha estabilidade são que a i > 0, para i = 1,...,n e que 2 = a 1 a 3 a 0 a 2 = a 1a 2 a 0 a 3 > 0 3 = a 1 a 3 0 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 = a 1(a 2 a 3 a 1 a 4 ) a 0 a 2 3 = a 3 (a 1 a 2 a 0 a 3 ) a 2 1a 4 > 0 a 3 (a 1 a 2 a 0 a 3 ) > a 2 1a 4 > 0 Verifica-se que, se a i > 0, para i = 1,...,n e se a condição 3 > 0 for satisfeita, então a condição 2 > 0 também será satisfeita. Portanto, para que todas as raízes da equação característica tenham parte real negativa, é necessário e suficiente que a i > 0, para i = 1,...,n e que 3 > 0. 31/33

32 Considere a equação característica Exemplo s 4 +2s 3 +(4+K)s 2 +9s+25 = 0 Utilizando o critério de estabilidade de Hurwitz, determine o intervalo de valores de K para que haja estabilidade assintótica. Comparando esta equação com a equação característica de quarta ordem, temos que s 4 +2s 3 +(4+K)s 2 +9s+25 = a 0 s 4 +a 1 s 3 +a 2 s 2 +a 3 s+a 4 = 0 e, portanto a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 4 + K, a 3 = 9 e a 4 = 25. Para que todas as raízes tenham parte real negativa, é necessário e suficiente que os menores sucessivos principais de 4 sejam positivos. Logo 1 = a 1 = 2 2 = a 1 a 3 a 0 a 2 = K = 2K 1 a 1 a = a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 = K 25 = 18K Para que todos os menores principais sejam positivos, é necessário que i > 0, para i = 1,...,3. Portanto, para que haja estabilidade assintótica, necessário e suficiente que 2K 1 > 0 e 18K 109 > 0 K > ou seja, que K > /33

33 Referência principal Ogata, K.; Engenharia de controle moderno ; 4 a edição; Pearson & Prentice Hall; /33