R + b) Determine a função de transferência de malha fechada, Y (s)

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1 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS Considere o sistema da figura ao lado: a) Determine a função de transferência (s) (s). s () s () s () b) Determine a função de transferência (s) (s). Hs () AS 2 Simplifique os seguintes diagramas de blocos, do modo a obter a Função de Transferência (s) (s) : G a) G 2 G b) G 2 G c) G G 3 G 2 G 2 d) G G G G 5 3 AS 3 Considere o sistema da figura, em que (s) = s(s)(s2). a) Determine a função de transferência (s) (s). b) ecorrendo ao critério de outh-hurwitz, de- termine os valores de para os quais o sistema é estável.

2 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS Considere o sistema realimentado da figura, em que (s) = s s(s3). a) ecorrendo às constante de erro de posição e velocidade (respectivamente p e v ), determine os erros em regime permanente para uma entrada em degrau unitário e para uma entrada em rampa unitária. b) Determine a função de transferência de malha fechada, (s) (s). c) Determine a saída, y(t), quando a entrada é: i. Um degrau unitário. ii. Uma rampa unitária. d) A partir dos resultados obtidos na alínea anterior, confirme o valor dos erros em regime permanente. AS 5 A figura seguinte representa o traçado assintótico de Bode, para o ganho de um sistema de fase mínima com função de transferência G(s): 20log Gjω ( ) 0dB 20dB/dec 60dB/dec 0dB/dec dB/dec ω a) Faça um esboço do correspondente traçado de Nyquist. b) Quantos pólos na origem tem G(s)? c) Considere o sistema realimentado do problema AS, com (s) = G(s), e determine o erro, em regime permanente, às entradas degrau e rampa unitários. AS 6 Considere o sistema da figura, em que (s) = s3 s(s). Calcule a expressão da saída y(t), sabendo que r(t) = para t > 0, e que: a) r(0 ) = 0.5; y(0 ) = 0.5; ẏ(0 ) = 0. b) r(0 ) = ; y(0 ) = ; ẏ(0 ) = 0. 2

3 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS 7 Considere o sistema realimentado da figura: em que (s) tem um único pólo no interior do semi-plano direito e o traçado polar de (jω), ω > 0, é o seguinte: ( G p Im ( ) ω = 0 ω > 0 0 ω ( Gp e ( ) a) Quantos pólos na origem terá (s)? Porquê? b) Qual a diferença entre o número de pólos e o número de zeros de (s)? Porquê? c) ecorrendo ao critério de estabilidade de Nyquist, determine se a função de transferência de malha fechada (s) (s) é estável. AS 8 Considere o sistema realimentado da figura: em que > 0 e (s) não tem pólos no interior do semi-plano direito. O traçado polar de (jω), ω > 0, é o seguinte: ( G p Im ( ) ω ω > 0 0 ( Gp e ( ) ω = 0 a) ecorrendo ao critério de estabilidade de Nyquist, determine para que valores de o sistema realimentado é estável. b) Para os valores da alínea anterior, determine a margem de ganho do sistema realimentado. 3

4 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS 9 Considere o traçado de Nyquist apresentado na figura seguinte, correspondente a uma função de transferência G(s) = e T s D(s), onde D(s) é um polinómio sem raízes no interior do SPD do plano complexo: Im( G(jω) ) e( G(jω) ) a) G(s) terá pólos na origem? Porquê? b) ecorrendo ao critério de estabilidade de Nyquist, diga, justificadamente, se o sistema da figura ao lado é estável s () s () s () e, em caso positivo, qual a margem de ganho. AS 0 Considere o sistema realimentado da figura: s () s () s () sboce o traçado de Nyquist de G(jω) e determine quantos pólos do sistema realimentado estão no SPD, para os seguintes casos: a) G(s) = p s p, p > 0. b) G(s) = s s 0. c) G(s) = (s )(s 0). d) G(s) = e) G(s) = f) G(s) = s(s ) 2. s 2 (s ). s(s )(s 2). g) G(s) = s 2. h) G(s) = 0 s. i) G(s) = (s 2) 2. j) G(s) = s s 2. s ) G(s) = (s 2) 2. l) G(s) = s 2 s(s ).

5 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS Determine as margens de ganho e de fase (e as respectivas frequências de travessia) para os seguintes sistemas realimentados negativamente e com ganho em anel G(s): a) G(s) = 0 s. b) G(s) = s 2. c) G(s) = s(s 2). 0 d) G(s) = (s 2)(s ). e) G(s) = s(s ) 2. f) G(s) = s s 2 (s 2). g) G(s) = s 2 s 2 (s ). h) G(s) = (s 2) 3. AS 2 Considere o sistema realimentado da figura, em que G(s) = 8 (s2)(s8). s () s () s () a) Determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário. b) Determine as margens de ganho e de fase do sistema. AS 3 Considere um sistema com função de transferência G(s) = e T s s(s)(s2). a) Considerando nulo o atraso (T = 0), determine o valor de de modo que: i. A margem de ganho seja de 5.6 db. ii. A margem de fase seja de 25 o. b) Com o ganho obtido na alínea aii), calcule o atraso máximo que mantém o sistema estável. c) sboce os traçados de Bode e de Nyquist nas condições da alínea anterior. AS No sistema realimentado da figura tem-se = e (s) = s(s2) 2. a) Calcule as margens de ganho e de fase do sistema. b) Calcule a constante de erro de velocidade e o erro em regime permanente quando r(t) = t, t > 0. c) epita as alíneas anteriores com = 2. d) Determine o limite superior do conjunto dos valores de para os quais o sistema realimentado se mantém estável. 5

6 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS 5 Considere o sistema realimentado da figura, em que G(s) = s 2 (s2)(s3) e H(s) = 2s. s () s () s () Hs () sboce o traçado de Nyquist de G(s)H(s) e determine as margens de ganho e de fase do sistema. AS 6 Considere o sistema realimentado da figura, em que > 0 e (s) = (s)(s3) : a) ecorrendo ao critério de estabilidade de Nyquist, mostre que o sistema realimentado tem margem de ganho infinita. b) Determine os pólos da função de transferência (s) (s). c) sboce, no plano complexo, a localização dos pólos obtidos na alínea anterior. d) Que conclusão pode retirar deste esboço relativamente à estabilidade? AS 7 sboce o LG (directo e inverso) para os seguintes sistemas com ganho directo G(s) e realimentação unitária negativa. Determine em cada caso a gama de valores de para a qual o sistema é estável. a) G(s) = (s )(s 0). b) G(s) = s(s )(s 2). (s 2) c) G(s) = s(s ). d) G(s) = (s 3) 2. e) G(s) = (s ) (s 3) 2. f) G(s) = (s ). (s 2) g) G(s) = s 2. (s ) h) G(s) = s 2 2s 5. (s ) i) G(s) = s(s 2 s 8). j) G(s) = (s ) s(s 2 s 8). AS 8 Considere o sistema realimentado da figura, em que o ganho em anel é G(s)H(s) = s3 s(s 2), com > 0. s () s () s () Hs () ecorrendo ao método do LG, estude a estabilidade do sistema e compare com os resultados obtidos pelo critério de estabilidade de Nyquist. 6

7 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados AS 9 Considere o sistema realimentado da figura, em que > 0 e (s) = 8 (s2) 3 : Determine os valores de para os quais o sistema realimentado é estável, recorrendo aos seguintes métodos: a) Critério de outh-hurwitz. b) Cálculo da margem de ganho. c) Lugar geométrico das raizes. AS 20 Considere o sistema realimentado da figura: em que > 0 e (s) não tem pólos no interior do semi-plano direito. O traçado polar de (jω), ω > 0, é o seguinte: ( G p Im ( ) ω = rad/s ω = 6 rad/s ω ω > 0 0 ( Gp e ( ) ω = 0 a) Com base neste traçado, determine os pontos de intersecção do lugar geométrico das raízes com o eixo imaginário. b) Para cada um dos pontos indicados na alínea anterior, indique em que sentido é que o eixo imaginário é atravessado pelo LG. AS 2 Considere o sistema realimentado da figura, em que (s) = s(s)(s5) : 7

8 FUP IC Teoria do Controlo xercícios Análise de Sistemas ealimentados a) sboce o LG directo para este sistema. b) Calcule o valor de correspondente ao limite de estabilidade. c) Qual o mínimo valor possível para o erro em regime permanente, quando a referência é uma rampa unitária? Justifique. AS 22 Considere o sistema realimentado da figura, em que > 0 e (s) = (s)(s0.5) (s )(s j0.25)(s j0.25) : a) sboce o LG directo para este sistema. b) Determine os valores de para os quais o sistema realimentado é estável. c) xistirá alguma possibilidade deste sistema realimentado oscilar de forma permanente? m que condições? AS 23 Considere o sistema mecânico representado na figura seguinte, em que x(t) representa o deslocamento da massa relativamente à posição de equilíbrio. Admita que o objectivo deste sistema mecânico é controlar a posição x(t), e que para isso é aplicada uma força f(t) dada por f(t) = A (x r (t) x(t)), onde x r (t) representa a posição pretendida. b xt () ft () a) screva a equação diferencial que relaciona o movimento da massa com a força aplicada e determine a função de transferência X(s) F (s). b) epresente o sistema de controlo de posição através de um diagrama de blocos. c) Admitindo que = g, = 2 N/m e A = 5 N/m, desenhe o LG deste sistema, em função do parâmetro b. d) Determine b de forma a que o sistema não apresente oscilações. AS 2 Considere a função de transferência normalizada ω 2 n T (s) = s 2 2ξω n s ωn 2 ecorrendo ao método do Lugar Geométrico das aízes, faça um esboço cotado da localização dos pólos de T (s) no plano complexo, para 0 < ξ <, com ω n constante. 8