AULA 8 COMPENSAÇÃO POR ATRASO DE FASE. Universidade Federal do ABC UFABC ESTA003-17: SISTEMAS DE CONTROLE I PROF. DR. ALFREDO DEL SOLE LORDELO

Transcrição

1 Universidade Federal do ABC UFABC ESTA003-17: SISTEMAS DE CONTROLE I AULA 8 COMPENSAÇÃO POR ATRASO DE FASE PROF. DR. ALFREDO DEL SOLE LORDELO TELA CHEIA

2 A configuração do compensador eletrônico por atraso de fase com a utilização de amplificadores operacionais é a mesma que a do compensador por avanço de fase. Porém, agora, temos que R 2 C 2 > R 1 C 1. Figura 1: Circuito eletrônico que é uma rede de avanço de fase, se R 1 C 1 > R 2 C 2, e uma rede de atraso de fase, se R 1 C 1 < R 2 C 2. 2/24

3 A função de transferência do compensador por atraso de fase é dada por E o (s) E i (s) = ˆK c β Ts+1 βts+1 = ˆK s+ c 1 T s+ 1 βt na qual T = R 1 C 1, βt = R 2 C 2 e ˆK c = R 4C 1 R 3 C 2, implicando que β = R 2C 2 R 1 C 1 > 1. Considere o problema de determinar um compensador adequado para o caso em que o sistema apresente resposta transitória com características satisfatórias, mas as características em regime permanente sejam insatisfatórias. A compensação, neste caso, consiste essencialmente no aumento do ganho de malha aberta, sem alterar significamente as características da resposta transitória. Isso significa que o lugar das raízes nas proximidades dos pólos dominantes de malha fechada não devem ser modificados significativamente, mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado tanto quanto necessário. 3/24

4 Isso pode ser obtido colocando-se um compensador por atraso de fase em série com a função de transferência do ramo direto. Para evitar uma grande modificação no lugar das raízes, a contribuição angular do compensador por atraso de fase deve ser pequena ( 5 o ). Para isso, coloca-se o pólo e o zero do compensador por atraso de fase relativamente próximos da origem do plano complexo, de maneira que os pólos de malha fechada do sistema compensado sejam pouco deslocados de suas posições originais. Assim, altera-se pouco as características da resposta transitória. Considere um compensador por atraso de fase dado por G c (s) = ˆK c β Ts+1 βts+1 = ˆK s+ c 1 T s+ 1 βt 4/24

5 Se colocarmos o zero e o pólo do compensador por atraso de fase muito próximos um do outro (quase se cancelando), então s = s 1, na qual s 1 é um dos pólos dominantes de malha fechada, os módulos de s T e s serão quase iguais ou βt G c (s 1 ) = ˆK c s T s βt ˆK c Para fazer com que a contribuição angular da porção de atraso de fase do compensador seja pequena, será necessário que s o < T s βt < 0 o Desta forma, se o ganho ˆK c do compensador por atraso de fase for definido igual a 1, as características da resposta transitória não serão alteradas. 5/24

6 Isso significa que o ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado de um fator β > 1. Um aumento de ganho significa um aumento das constantes de erro estático. Se a função de transferência de malha aberta do sistema não compensado for G(s), então a constante de erro estático K v do sistema não compensado será K v = lim s 0 sg(s) Para o sistema compensado, com a função de transferência de malha abertag c (s)g(s), a constante de erro estático ˆK v será 1 s+ ˆK v = limsg c (s)g(s) = K v limg c (s) = K v lim T ˆKc s 0 s 0 s 0 s+ 1 βt = ˆK c βk v 6/24

7 Os procedimentos para o projeto de um compensador por atraso de fase para o seguinte sistema é dado a seguir Figura 2: Sistema de controle. 1- Desenhe o lugar das raízes para o sistema não compensado, cuja função de transferência de malha aberta é G(s). Com base nas especificações da resposta transitória, localize os pólos dominantes de malha fechada sobre o lugar das raízes. 7/24

8 2- Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja G c (s) = ˆK c β Ts+1 βts+1 = ˆK s+ c 1 T s+ 1 βt de maneira que a função de transferência de malha aberta do sistema compensado seja G c (s)g(s). 3- Calcule a constante de erro estático especificada no problema. 4- Determine o acréscimo no coeficiente de erro estático necessário para satisfazer as especificações. 8/24

9 5- Determine o pólo e o zero do compensador por atraso de fase que produzam o aumento necessário no valor da constante de erro estático, sem modificar consideravelmente o lugar das raízes. A relação entre o valor do ganho requerido pelas especificações e o ganho encontrado no sistema não compensado deve ser igual à relação entre a distância do zero à origem e a distância do pólo à origem. 6- Desenhe o novo gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado. Posicione os pólos dominantes de malha fechada desejados sobre o lugar das raízes. 7- Ajuste o ganho ˆK c do compensador a partir da condição de módulo, de modo que os pólos dominantes de malha fechada se situem na posição desejada ( ˆK c 1). 9/24

10 Considere o seguinte sistema Figura 3: Sistema de controle. cuja função de transferência do ramo direto é dada por G(s) = 1,06 s(s+1)(s+2) 10/24

11 O gráfico do lugar das raízes é dado por Figura 4: Gráfico do lugar das raízes. 11/24

12 A função de transferência de malha fechada é dada por C(s) R(s) = 1,06 s(s+1)(s+2)+1,06 = 1,06 (s+0,3307 j0,5864)(s+0,3307+j0,5864)(s+2,3386) cujos pólos dominantes de malha fechada são s = 0,3307±j0,5864 de maneira que, considerando a forma padrão s = ξω n ±jω n 1 ξ2, obtemos que ζ = 0,491 e ω n = 0,673rad/s, resultando em K v = lim s 0 sg(s) = lim s 0 s 1,06 s(s+1)(s+2) = 0,53s 1 Deseja-se que K v = 5s 1, sem que haja modificação significativa na posição dos pólos dominantes de malha fechada. Para atender a essa especificação, coloca-se um compensador por atraso de fase em série com a função de transferência, no ramo direto. Para aumentar a constante de erro estático por um fator em torno de 10, escolhemos β = 10 e posicionamos o zero e o pólo do compensador por atraso de fase em s = 0,05 e s = 0,005, respectivamente. (Próximos um do outro e próximos da origem, para que a contribuição angular seja pequena). 12/24

13 Assim, G c (s) = ˆK c s+0,05 s+0,005 A contribuição angular dessa rede de atraso de fase de um pólo de malha fechada dominante é de aproximadamente 4 o (3,47 o ). Como essa contribuição angular não é muito pequena, existe uma ligeira alteração do novo lugar das raízes, próximo dos pólos dominantes de malha fechada desejados. A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é dada por na qual K = 1,06 ˆK c. G c (s)g(s) = ˆK c s+0,05 s+0,005 1,06 s(s+1)(s+2) = K(s+0,05) s(s+0,005)(s+1)(s+2) 13/24

14 O gráfico do lugar das raízes para o sistema não compensado é dado por Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figura 5: Gráfico do lugar das raízes para o sistema não-compensado. 14/24

15 O gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado é dado por Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figura 6: Gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado. 15/24

16 O comparativo do gráfico do lugar das raízes para ambos os sistemas é dado por Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figura 7: Gráfico do lugar das raízes para ambos os sistemas. 16/24

17 O detalhe do gráfico do lugar das raízes próximo da origem para o sistema compensado é dado por Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figura 8: Detalhe próximo da origem do gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado. 17/24

18 Se o coeficiente de amortecimento dos novos pólos de malha fechada dominantes permanecer o mesmo, então os novos pólos serão dados pelo gráfico do lugar das raízes e serão s = 0,31±j0,55. e O ganho de malha aberta é dado por K = s(s+0,005)(s+1)(s+2) s+0,05 = 1,0235 s= 0,31±j0,55 ˆK c = K 1,06 = 1,0235 1,06 ˆK c = 0,9656 Logo G c (s) = 0,9656 s+0,05 20s+1 = 9,656 s+0, s+1 e o sistema compensado terá a seguinte função de transferência de malha aberta G c (s)g(s) = 1,0235(s+0,05) s(s+0,005)(s+1)(s+2) = 5,12(20s+1) s(200s+1)(s+1)(0,5s+1) 18/24

19 A constante de erro estático K v é dada por K v = lim s 0 sg c (s)g(s) = lim s 0 s 5,12(20s+1) s(200s+1)(s+1)(0,5s+1) = 5,12s 1 Desta forma, a constante de erro estático aumentou 5,12 0,53 foi alcançado. = 9,66 vezes o valor original e o objetivo Como o pólo e o zero do compensador por atraso de fase estão muito próximos entre si e posicionados muito perto da origem, o efeito sobre a forma do lugar das raízes original é pequeno. Exceto pela presença de uma pequena região do lugar das raízes próxima da origem, os lugares das raízes dos sistemas não-compensado e compensado são muito semelhantes. Entretanto, o valor da constante de erro estático do sistema é 9,66 vezes maior que o do sistema não compensado. 19/24

20 Além dos dois pólos dominantes de malha fechada em s = 0,31±j0,55, os outros dois pólos de malha fechada do sistema compensado estão em s = 2,326 e s = 0,0549, que fica muito próximo do zero em s = 0,05. Esse par de zero e pólo próximos produz uma cauda longa, de pequena amplitude na resposta transitória da resposta ao degrau unitário. A frequência natural dos pólos dominantes de malha fechada do sistema compensado é ω n = 0,631rad/s, ou seja, 6% menor que o valor original ω n = 0,673rad/s. Isso implica que a resposta transitória do sistema compensado fica mais lenta do que a resposta do sistema original. O máximo sobressinal será maior no sistema compensado. Se esses efeitos adversos puderem ser tolerados, a compensação por atraso de fase pode ser considerada satisfatória nesse caso. Caso contrário, deve-se utilizar um compensador por avanço e atraso de fase. 20/24

21 A função de transferência do sistema em malha fechada do sistema não compensado é dada por C(s) R(s) = 1+ 1,06 s(s+1)(s+2) 1,06 s(s+1)(s+2) e do sistema compensado é dada por = 1,06 s(s+1)(s+2)+1,06 = 1,06 s 3 +3s 2 +2s+1,06 C(s) R(s) = 1,0235(s+0,05) s(s+0,005)(s+1)(s+2) 1+ 1,0235(s+0,05) s(s+0,005)(s+1)(s+2) = = 1,0235(s+0,05) s(s+0,005)(s+1)(s+2)+1,0235(s+0,05) 1,0235s+0,0512 s 4 +3,005s 3 +2,015s 2 +1,0335s+0,0512. As Figuras 9 e 10, apresentam as comparações entre as respostas à rampa unitária e ao degrau unitário para os dois sistemas, respectivamente. 21/24

22 c1(t) e c2(t) Rampa unitária Sistema não compensado Sistema compensado t(s) Figura 9: Respostas a rampa unitária dos sistemas não compensado e compensado. 22/24

23 Sistema compensado 1 c1(t) e c2(t) 0.5 Sistema não compensado t(s) Figura 10: Respostas ao degrau unitário dos sistemas não compensado e compensado. 23/24

24 Referência principal Ogata, K.; Engenharia de controle moderno ; 4 a edição; Pearson & Prentice Hall; /24