SC1 Sistemas de Controle 1. Cap. 2 - Estabilidade Prof. Tiago S Vítor

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1 SC1 Sistemas de Controle 1 Cap. 2 - Estabilidade Prof. Tiago S Vítor

2 Sumário 1. Introdução 2. Critério de Routh-Hurwitz 3. Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais 4. Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz 5. Fatoração via Routh-Hurwitz 6. Estabilidade no Espaço de Estados

3 1. Introdução 3 requisitos do projeto de sistemas de controle Resposta transiente Estabilidade Erros no Estado Estacionário Estabilidade Item mais importante Sistema instável não atende requisitos de resposta transiente erro de estado estacionário (em regime permanente) Trataremos de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)

4 1.1 Introdução - Conceito Resposta Total de um Sistema c t = c forçada (t) + c natural (t) Sistema Estável c natural (t) 0 quando t Sistema Instável c natural (t) aumenta sem limites quando t Sistema Marginalmente Estável c natural (t) não apresenta aumento nem atenuação, mas permanece constante ou oscila com amplitude constante quando t

5 1.1 Introdução - Conceito 1ª Definição de Estabilidade Implica permanência apenas de c forçada (t) quando c natural (t) 0 Verifica-se c natural (t) da seguinte forma Se a entrada for limitada e a resposta total c t não estiver tendendo a infinito, logo c natural (t) não estará tendendo a infinito Se a entrada for ilimitada e a resposta total c t também ilimitada, logo não se pode tirar conclusão da estabilidade 2ª Definição de Estabilidade Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada Bounded-Input, Bounded-Output

6 1.1 Introdução - Conceito 3ª Definição de Estabilidade (Instabilidade) Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada Estabilidade Marginal O sistema é estável para alguns tipos de entrada e instável para outros tipos É marginalmente estável segundo definições de resposta natural, mas instáveis segundo definições Bounded-Input, Bounded-Output

7 1.1 Introdução - Conceito Resumindo estabilidade quanto a resposta natural Sistema estável se resposta natural tender a zero quando o tempo tende a infinito Sistema instável se a resposta natural tender a infinito quando o tempo tende a infinito Sistema estável de forma marginal se a resposta natural não decair nem crescer, mas permanecer constante ou oscilar Resumindo estabilidade quanto a resposta total (BIBO) Sistema estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada Sistema instável de alguma entrada limitada gerar saída ilimitada

8 1.2 Introdução - Fisicamente Fisicamente Sistema instável poderia causar danos ao sistema, instalações ou à vida humana É possível projetar limites de parada para evitar a perda de controle Graficamente São transientes que crescem sem limites (resposta total não tende a um valor estacionário)

9 1.3 Introdução - Polos Como determinar que o sistema é estável? Verificar polos Analisando polos Polos no semiplano s da esquerda, i.e., possuem parte real negativa Produzem resposta natural do tipo: exponenciais decrescentes ou senóides amortecidas Essas respostas naturais tendem a zero quando t Portanto, Sistemas estáveis possuem FT em malha fechada com polos somente no semiplano da esquerda

10 1.3 Introdução - Polos Polos no semiplano da direita, i.e., possuem parte real positiva Conduzem a respostas naturais crescentes exponencialmente ou senoidais de amplitude exponencialmente crescente Essas respostas naturais tendem a infinito quando t Também polos de multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário produz At n cos ωt + φ, n = 1,2, Que tendem a infinito quando t Portanto, Sistemas instáveis possuem FT em malha fechada com pelo menos um polo no semiplano s da direita e/ou polos de multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário

11 1.3 Introdução - Polos Sistema que possua polos de multiplicidade 1 no eixo imaginário Produz como resposta natural oscilações senoidais puras Não aumenta e nem diminuem de amplitude Essas respostas naturais não tendem a zero quando t Portanto, Sistemas marginalmente estáveis apresentam FT em malha fechada somente com polos de multiplicidade 1 no eixo imaginário e polos no semiplano s da esqueda

12 Oscilações diminuem Erro nulo em regime permanente Oscilações aumentam sem limite

13 1.4 Introdução Inspeção Inspeção para verificação de estabilidade Apenas em certas circunstancias Observar polinômio característico da FT Se os sinais de todos os coeficientes do denominador da FT em MF não são iguais Sistema instável Se estiverem faltando potências de s Sistema instável ou marginalmente estável Se todos os coeficientes do denominador estiverem presentes e forem positivos Não se saberá sobre a localização dos polos do sistema

14 1.5 Introdução Teste de Estabilidade Programas computacionais e calculadoras manuais Calcular localizações das raízes do denominador da FT em malha fechada para determinar estabilidade Método para testar estabilidade sem ter que calcular raízes do denominador Critério de Rough-Hurwitz

15 2. Critério de Routh-Hurwitz Permite dizer Quantos polos do sistema em malha fechada estão no semipleno da esquerda, da direita e sobre o eixo jω Faixa de valores de parâmetro desconhecido do denominador da FT que propicia estabilidade Não permite dizer Coordenadas desses polos Duas etapas: (1) gerar tabela de Routh (2) interpretar tabela de Routh para saber onde polos se situam

16 2.1 Construção de uma Tabela de Routh Básica Atenção é dada ao denominador da FT Interesse na determinação dos polos

17 Leitura inicial da tabela de Routh Cada entrada é igual ao negativo dos determinantes formados com os elementos das 2 lin anteriores dividido pelo elemento da 1ª col diretamente acima da lin que está se calculando. A col à esquerda do determinante é sempre a 1ª col das 2 lin anteriores, e a col da direita são elementos da col acima à direita

18 Obs.: Realimentação Sistema de Controle com Realimentação FT em malha fechada

19 Obs.: Realimentação Modelo Simplificado FT equivalente

20 Exemplo Construção de uma Tabela de Routh Construa a tabela de Routh para o sistema abaixo

21 1º Obter malha fechada equivalente 2º Aplicar critério de Routh-Hurwitz ao denominador Qualquer linha pode ser multiplicada por uma constante positiva

22 2.2 Interpretação da Tabela de Routh Básica Tabela de Routh Básica Para polos nos semiplanos esquerdo e direito Não se aplica a polos imaginário Critério O número de raízes do polinômio que se situam no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna Portanto Sistema Estável se todos polos da FT MF estiverem no semiplano esquerdo Sistema Estável se não ocorrerem mudanças de sinal na 1ª coluna

23 Duas (2) mudanças de sinal na 1ª coluna Dois (2) polos no semiplano da direita Sistema Instável

24 Exercício 2.1 Construa a tabela de Routh e determine quantas raízes do polinômio estão no semiplano da direita e no semiplano da esquerda.

25 Exercício 2.1 Resposta: 4 spd e 3 spe

26 3. Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais 1) A tabela de Routh apresenta um (1) zero apenas na 1ª coluna de uma linha 2) A tabela de Routh apresenta uma linha inteira com valores nulos

27 3.1 Casos Especiais: Zero apenas na 1ª coluna 1º elemento de uma linha zero implica divisão por zero para formar próxima linha Atribuir valor ε (épsilon) substituindo zero na 1ª coluna Tender a zero por valores + ou -, logo após, determinar sinais dos elementos da primeira coluna

28 3.1 Casos Especiais: Zero apenas na 1ª coluna Determine a estabilidade da FT MF

29 Substituir 0 por ε Próximas linhas da 1ª coluna em função de ε

30 Sinais da 1ª coluna para ε 0 + e ε 0 Sistema Instável com 2 polos no semipleno da direita

31 3.1 Casos Especiais: Zero apenas na 1ª coluna Outro método, além do ε Um polinômio que apresenta raízes iguais ao inverso das raízes do polinômio original possui raízes distribuídas na mesma região (spd, spe ou eixo im) Ao se calcular o inverso do valor de uma raiz, ela não se move para outra região É possível que o novo polinômio não possua zero na 1ª coluna Método mais simples computacionalmente O polinômio com raízes inversas é simplesmente o polinômio original com seus coeficientes escritos em ordem inversa

32 d apresentará raízes ao inverso de s Polinômio com raízes inversas possui seu coeficientes na ordem inversa

33 3.1 Casos Especiais: Zero apenas na 1ª coluna Refazendo exemplo anterior Sistema Instável com 2 polos no semipleno da direita Mesmo resultado do método ε. Não possui um zero na 1ª coluna.

34 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros Determine número de polos no semiplano da direita 1 7 Linha Completa de Zeros

35 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros Procedimento Retornar a linha imediatamente acima da linha de zeros Formar polinômio auxiliar usando elemento desta linha como coeficientes O polinômio começa com potencia de s correspondente e continua salteando as demais potencias de s Derivar polinômio em relação a s, seus coeficientes irão substituir a linha de zeros Coeficientes substituem a linha de zero

36 Coeficientes substituem a linha de zero Todos elementos da 1ª coluna positivos Não existem polos no semiplano da direita E quanto a estabilidade? É preciso analisar mais.

37 3.2 Casos Especiais : Linha Completa de Zeros Linha completa de zeros ocorrerá Quando um polinômio estritamente par ou estritamente ímpar for um fator do polinômio original Exemplo de polinômio par: Possui apenas potências pares de s. Polinômios pares possuem apenas raízes simétricas em relação à origem (1) Raízes são simétricas e reais (2) Raízes são simétricas e imaginárias (3) Raízes são quadrantais Cada caso ou combinação gera polinômio par

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39 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros Linha de zeros Indica existência de polinômio par cujas raízes são simétricas em relação à origem A linha anterior contem tal polinômio e é um fator do polinômio original Todos os elementos a partir da linha do polinômio par até o final da tabela representam um teste apenas do polinômio par Ex.: Como raízes jω são simétricas em relação à origem, caso não existam linha de zeros não será possível ter raízes jω

40 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros Determinar número de polos no semipleno da direita, da esquerda e sobre o eixo jω

41 Linha anterior, polinômio par, dividirá polinômio original (fator) Linha de Zeros Substituir coluna de zeros 1 2

42 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros Interpretação da tabela Da linha s 4 a s 0 (teste do apenas do polinômio par) Não ocorrem mudanças de sinal Portanto, polinômio par não possui polos no semiplano da direita Devido ao requisito da simetria, também não ocorrerão polos no semiplano da esquerda Logo, todos os 4 polos do polinômio par estão sobre o eixo jω Da linha s 8 a s 4 (raízes remanescentes do polinômio total) Restante do polinômio original (não pode haver raízes jω) 2 mudanças de sinal Portanto, 2 raízes no semiplano da direita Portanto, instável por causa destes polos

43 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros para completar o total de 8 polos

44 3.2 Casos Especiais: Linha Completa de Zeros Lembrar que uma condição necessária para que haja estabilidade é que as raízes jω possuam multiplicidade 1 Raízes jω múltiplas conduziria a um polinômio de 4ª ordem na forma de quadrado perfeito, que não foi o caso do exemplo Portanto, são 4 raízes jω distintas

45 Exercício 2.2 Encontrar quantidade de polos no semiplano da direita, da esquerda e em sobre o eixo jω

46 Exercício 2.2 Spd = 2 Spe = 2 jω = 2

47 Exercício 2.3 Encontrar quantidade de polos no semiplano da direita, da esquerda e em sobre o eixo jω

48 Resposta spd: 2 spe: 2 jω: 0

49 Exercício 2.4 Encontrar quantidade de polos no semiplano da direita, da esquerda e em sobre o eixo jω

50 Resposta spd: 2 spe: 3 jω: 0

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52 Exercício 2.5 Encontrar quantidade de polos no semiplano da direita, da esquerda e em sobre o eixo jω

53 Resposta spd: 2 spe: jω: 2

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55 4. Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz Variações de Ganho Movem polos em MF Acarretam diferenças na resposta transiente Podem mover de regiões estáveis para instáveis

56 4. Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz Determinar faixa de ganho K que fará com que o sistema seja estável, instável e marginalmente estável. K > 0. MF

57 K admitido positivo Todos elementos serão positivos na 1ª coluna exceto para linha s 1 Pode ser +, - ou 0: dependendo de K K < 1386 Todos termos da 1ª coluna serão positivos Sem mudança de sinal, 3 polos spe, estável K > 1386 Termo da 1ª coluna em s 1 será negativo 2 trocas de sinais, 2 polos spd, 1 spe, instável K = 1386 Linha completa de zeros Analisar

58 K = 1386 Linha completa de zeros Retornar a linha s 2, forma-se o polinômio par Substituir Do polinômio par para baixo (s 2 para s 0 ) Não possui polos spd. Por simetria, não possui no spe. Portanto, 2 polos sobre eixo jω Multiplicidade 1, não é quadrado perfeito. Do polinômio restante (s 3 para s 2 ) Não ocorre mudança de sinal Raiz remanescente situada spe Portanto, sistema marginalmente estável

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60 5. Fatoração via Routh-Hurwitz Linha de zeros em s 1. Polinômio par em s 2. Fator do polinômio original Substituir por derivada Outro Fator

61 Exercício 2.6 Para sistema com realimentação unitária, com FT, encontrar K que torne sistema estável

62 Exercício 6 Resposta: 0 < K < 2

63 6. Estabilidade no Espaço de Estados Polos do sistema = Autovalores da matriz de sistema, A Conversão do Espaço de Estados para Função de Transferência TL para c.i. nulas Função de Transferência.

64 Obs.: Autovetores e Autovalores Autovetores da matriz A São todos os vetores, x i 0, que através da transformação A se tornam múltiplos deles próprios Ax i = λ i x i Onde λ i são constantes Transformação Ax não colinear com x. Não é autovetor. Transformação Ax é colinear com x. É autovetor.

65 Obs.: Autovetores e Autovalores Autovalores da matriz A São os valores de λ i que satisfazem Ax i = λ i x i Para x i 0 Solução não-trivial (diferente de 0) para x

66 Rearranjando Multiplicando ambos lados por Como x i 0, existirá uma solução não-nula se: Todas as soluções de x conduzirão ao vetor nulo, exceto para zero no denominador. Única condição para elementos de x indeterminados, 0/0. Única solução não-nula possível. Da qual os autovalores λ i podem ser obtidos

67 Obs.: Autovetores e Autovalores Determine os autovetores da matriz Solução Autovalores λ i

68 Para o autovalor -2 Para o autovalor Uma escolha de autovetores

69 6. Estabilidade no Espaço de Estados Equação característica do sistema, onde polos são obtidos. Denominador da FT: polos Da qual os autovalores λ i podem ser obtidos Equações idênticas Autovalores da matriz A são idênticos aos polos da FT Portanto, pode-se determinar a estabilidade obtendo-se os autovalores e determinandose suas localização no plano s

70 Exercício 2.7 Obter Função de Transferência do sistema onde U(s) é a entrada e Y(s) é a saída

71 6. Estabilidade no Espaço de Estados Determinar quantidade de polos no semiplano da esquerda, da direita e sobre o eixo jω

72 Uma mudança de sinal, 1 polo spd, 2 polos spe. Sistema instável.

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74 Exercício 8 Determinar quantidade de polos no semiplano da esquerda, da direita e sobre o eixo jω

75 Exercício 8 Spd: 2 Spe: 1

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77 Bibliografia básica Engenharia de Sistemas de Controle, autor Norman S. Nise, 5ª ed., LTC.