Resposta dos Exercícios da Apostila

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1 Resposta dos Exercícios da Apostila Carlos Eduardo de Brito Novaes 5 de setembro de 0 Circuitos Elétricos. Passivos a) b) V o (s) V i (s) 64s s + 96s + 400, v o ( ) v i ( ) v i ( ) 0 (v o v i para t infinito e para todo v i que se torne constante no infinito, pois a derivada é nula) V o (s) V i (s) 5s + 504s s + 504s + 00, v o ( ) v i ( ) v i ( ) 0 c) V o (s) V i (s) 0s + 004s s + 004s + 00, v o ( ) v i ( ) v i ( ) 0 Z 0, 5s , 75s , 5s Z , 05s, 5s + 0, 05s I (s) V i (s) Z + Z V o I (s) Z V i (s) Z Z + Z V o Z V i Z + Z

2 . Ativos CIRCUITOS ELÉTRICOS d) V o (s) V i (s) V o V i V o V i V o V i V o V i V o V i, 5s + 0, 05s 8, 75s, 5s , 5s 0, 05s, 5s + 0, 05s 0, 975s + (, 5s + ) (75 + 0, 5s) 0, 05s (75 + 0, 5s) (, 5s + ) (75 + 0, 5s) 0, 975s + (, 5s + ) (75 + 0, 5s) 0, 65s + 87, 75s , 975s + 0, 65s + 87, 75s , 65s + 87, 75s + 75, 565s + 87, 75s V o 0s + 004s + 00 V i 5s + 004s s s + 00, v o ( ) v i ( ) v i ( ) 0. Ativos a) b) c) d) V o (s) V i (s) R 4R C R s + R R C R s + R s + 4C C R R C s + C R R 75.8 KΩ R 0. KΩ R 47 KΩ R 4 70 KΩ R 56 KΩ R 6.6 KΩ R KΩ R KΩ R 8 KΩ R 454 KΩ R KΩ R 4.4 KΩ R. MΩ R 0 MΩ R 8 KΩ R KΩ

3 . 4 REPRESENTAÇÃO POR BLOCOS. A F.T. V o (s) V i (s) R 6 R 5 R + R 4 + R + sc R + sc R 6R 4 C (R + R ) s + sc R + R 5 R sc R + C (R + R 4 ) s + R s + s + 6R 4 R (R + R ) R 5 R R (R + R 4 ) C (R + R ) C s + R s + C R C (R + R 4 ).4.5 Provão a) I (s) b) c) V o (s) V i (s) 5s + 0 s + 00s V i (s) 00s s + 000s V o (s) V i (s) 000 s + 00s + 000, Para entrada π 0 por π 5 j com j 0, 97 0, 046j ou 0, 5 6. O módulo da Função de Transferência será 0, 5. 4 Representação por Blocos 4. Dado o diagrama de blocos abaixo, obter sua redução. (pg 68) π Hz, pois existem π rad para cada ciclo. Substituimos s 5 a) Mera aplicação da formula para este tipo de bloco com realimentação negativa. A função de transferência será: F T MF (s) G + GH onde G (s) s + s (s + ) e H (s) 0, 5s +. Assim:

4 5 RESPOSTA TEMPORAL F T MF (s) s + s (s + ) + s + s (s + ) 0, 5s + s + s (s + ) s (s + ) (0, 5s + ) + s + s (s + ) (0, 5s + ) (s + ) (0, 5s + ) s (s + ) (0, 5s + ) + s + s +, 5s + 0, 5s +, 5s + s + s + 7s + 6 s + s + 6s + 6 b) Identico ao anterior, apenas observe que a realimentação agora é positiva (equivalendo a multiplicar H por -) ou: A solução é: F T MF (s) G GH F T MF (s) 0s + 4s + 0s + 04s + 6s 7 s + 6 c) Semelhante ao resolvido em aula, desloque o ponto de conexão da entrada do bloco superior para depois do s (s + 0.4) s + 6 s (s + 6) bloco central. A nova função do bloco superior deverá ser. A solução final será: s (s + 0.4) s b) G (s) 5 Resposta Temporal F T MF (s) 65s s + 500s s s s + 440s + 608s F T MF (s) 0s + 4s + 6 0s + 59s Para os sistemas abaixo, obtenha a equação que represente c (t). Determine também a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação para cada caso. (pg 88) Ambos são sistemas de primeira ordem. a) Polo em s 5, a constante de tempo é 5 0, seg. O tempo de subida é t r, 5 a 98% é t s 4 0, 8seg. 5 0, 44seg e o tempo de acomodação a) Polo em s 0, a constante de tempo é 0 0, 05seg. O tempo de subida é t r, 0 acomodação a 98% é t s seg. 0, seg e o tempo de 4

5 5. Ex do livro Ogata (pg 88 da apostila) 5 RESPOSTA TEMPORAL 5. Ex do livro Ogata (pg 88 da apostila) a) Acomodação a 98%, t s min 60seg 4 a. a e portanto, a constante de tempo é 5seg Respostas ao degrau (pg 88) a) É um sistema de primeira ordem (sem oscilação ou sobresinal, e além disso, a partida é imediata). O sistema atinge valor máximo de e 6% deste valor em aproximadamente 6 segundos, que é então a constante de tempo. A função de transferência é: G (s) 6s + b) É um sistema de segunda ordem, atinge o valor final de e tem um pico de aproximadamente, (0%0, de sobresinal) em aproximadamente 5 segundos. t p 5 π ω d ω d, 4 5 0, 09 ζ ln (0, ) ln (0, ) + π 5, 09 5, 75 0, 59 ζ 0, 8066 ω n ω d ζ 0, 595 G (s) ω n s + ζω n s + ωn 0, 067 s s + 0, 067 c) Idêntico ao anterior, com valor máximo de,4 em aproximadamente segundos. O valor final é e portanto o sobresinal,, 4 é de 40%. d) Imediatamente percebe-se que o sistema entra em oscilação com amplitude constante, portanto, não há amortecimento e ζ 0. O valor médio é e o sobresinal é de 00%. Observamos aproximadamente 7,5 ciclos em 50 segundos, portanto a frequencia em Hz é: 5

6 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE ω d 7, , 5Hz ω d π 7, , 945 rad seg ζ 0 ω n ω d G (s) ω n s + ζω n s + ωn 0, 888 s + 0, Critério de Estabilidade 6. Determine o número de polos no SPD, no SPE e sobre o eixo jω (pg 0) 6.. F (s) s 5 + s 4 + 5s + 4s + 6s Imediatamente verificamos a existencia de um polo na origem. Podemos prosseguir o arranjo de Routh eliminando este polo pois: F (s) s 5 + s 4 + 5s + 4s + 6s s (s 4 + s + 5s + 4s + 6) }{{} s s 4 + s + 5s + 4s + 6 }{{} polo na origem demais polos Então: s 4 : s : s : b b 0 0 s : c s 0 : d Calculando a linha dos coeficientes b: ( ) 5 4 b ( ) 6 0 b 6 ( 4 5 ) (4 0) 6

7 6. Determine o número de polos no SPD, no SPE e sobre o eixo jω (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE Calculando a linha dos coeficientes c: ( ) 4 6 c ( ) 0 0 c 0 s 4 : s : s : s : c s 0 : d ( 6 4 ) ( ) O coeficiente c resultou nulo, substituindo por um valor positivo e muito pequeno: 0 Calculando a linha dos coeficientes d: s 4 : s : s : s : s 0 : d d ( 6 0 ) 6 observamos então que a primeira coluna é: s 4 : s : s : s : s 0 : Não apresentando troca de sinal. Portanto as raízes de s 4 +s +5s +4s+6 não estão localizadas no SPD. Entretanto, se variarmos, tornando-o um número negativo mas ainda muito pequeno, ocorreriam duas trocas de sinal e portanto existiriam duas raízes no SPD. Para este caso, podemos concluir que duas das raízes de s 4 + s + 5s + 4s + 6 estão localizadas exatamente sobre o eixo jω. O denominador original é s 5 + s 4 + 5s + 4s + 6s s ( s 4 + s + 5s + 4s + 6 ), portanto possui as mesmas raízes já avaliada e mais uma raíz na origem. Nossa conclusão final para a função de transferência é: A função de transferência F (s) possui um polo na origem, dois polos sobre o eixo jω e os demais dois polos estão localizadas no SPE. De fato, utilizando o software MATLAB para obter os polos desta função de transferência encontramos: 7

8 6. Determine o número de polos no SPD, no SPE e sobre o eixo jω (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE > roots ([ ]) comprovando a avaliação que realizamos. 6.. F (s) Fazendo o arranjo de Routh: s 4 + s + 5s + 5s + Calculando a linha dos coeficientes b: s 0 s +.44j s.44j s j s 0.44j s 4 : 5 0 s : s : b b 0 0 s : c s 0 : d ( ) 5 5 ( 5 5 ) b ( ) 0 b O coeficiente b resultou nulo. Substituimos por um valor muito pequeno Calculando a linha dos coeficientes c: ( ) 5 c ( ) 0 0 c 0 s 4 : 5 0 s : s : 0 0 s : c s 0 : d ( 5 ) s 4 : 5 0 s : s : 0 0 s : s 0 : d ( 5) (5 5)

9 6. Determine o número de polos no SPD, no SPE e sobre o eixo jω (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE Por fim, o coeficiente d será Neste caso, a primeira coluna será: s 4 : 5 0 s : s : 0 0 s : s 0 : Avaliando para um valor positivo mas muito pequeno de teremos: }{{} 5 >0 }{{} tende a verificamos duas trocas de sinal, indicando que existem duas raízes no SPD. Se tentamos a análise com um negativo e muito pequeno, encontramos: }{{} 5 <0 }{{} tende a + Novamente encontramos duas trocas de sinal e portanto duas raízes no SPD. Como o resulltado não se altera para positivo ou negativo, então concluímos que não existem raízes sobre o eixo jω. A função de transferência F (s) s 4 + s + 5s possui dois polos no SPD, e os demais dois polos estão localizadas + 5s + no SPE. De fato, utilizando o software MATLAB para obter os polos desta função de transferência encontramos: > roots ([ 5 5 ]) comprovando a avaliação que realizamos. 6.. F (s) Fazendo o arranjo de Routh: s 4 + s + 5s + s + 4 s j s j s j s j s 4 : s : 0 0 s : b b 0 0 s : c s 0 : d

10 6. Determine o número de polos no SPD, no SPE e sobre o eixo jω (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE Calculando a linha dos coeficientes b: ( ) 5 b ( ) 4 0 b 4 ( 5 ) ( 5) Calculando a linha dos coeficientes c: ( ) 4 c ( ) 0 0 c 0 s 4 : s : 0 0 s : s : c s 0 : d ( 4 ) (4 6) E calculando o coeficiente d s 4 : s : 0 0 s : s : s 0 : d s 4 : s : 0 0 s : s : s 0 : Não existem trocas de sinal na primeira coluna e portanto, todas as raízes estão localizadas no SPE. O software matlab nos retorna os seguintes polos para a função de transferência F (s) s 4 + s + 5s + s + 4 > roots ([ 5 4 ]) s j s j s j s j 0

11 6. Determine o número de polos no SPD, no SPE e sobre o eixo jω (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE 6..4 F (s) s 4 + s + s + 0, 5 Fazendo o arranjo de Routh: Calculando a linha dos coeficientes b s 4 : 0 0, 5 0 s : 0 0 s : b b 0 0 s : c s 0 : d Calculando a linha dos coeficientes c s 4 : 0 0, 5 0 s : 0 0 s : 0, s : c s 0 : d Calculando a linha dos coeficientes d s 4 : 0 0, 5 0 s : 0 0 s : 0, s :, s 0 : d s 4 : 0 0, 5 0 s : 0 0 s : 0, s :, s 0 : 0, Verificamos duas trocas de sinal na primeira coluna e portanto, a função de transferência tem dois polos no SPD e os demais dois polos restantes estão no SPE. O software MATLAB nos informa os seguintes polos: > roots ([ ]) 6..5 F (s) Fazendo o arranjo de Routh: s 4 + s + s + s + 5 s.467 s j s j s s 4 : 5 0 s : 0 0 s : b b 0 0 s : c s 0 : d 0 0 0

12 6. Determine a faixa de valores K que garante a estabilidade (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE Calculando a linha dos coeficientes b Calculando a linha dos coeficientes c s 4 : 5 0 s : 0 0 s : s : c s 0 : d Calculando a linha dos coeficientes d s 4 : 5 0 s : 0 0 s : s : s 0 : d s 4 : 5 0 s : 0 0 s : s : s 0 : Ocorrem duas trocas de sinal na primeira coluna. Portanto, a função de transferência possui dois polos no SPD e os restantes dois polos estão localizados no SPE. Os polos informados pelo software MATLAB são: > roots ([ 5 ]) s.5 +.0j s.5 +.0j s j s 0.5.0j 6. Determine a faixa de valores K que garante a estabilidade (pg 0) 6.. Item a) A função de transferência simplificada (utilizando álgebra de blocos) é: Utilizando o arranjo de Routh F (s) K s 4 + 9s + 6s + 4s + K s 4 : 6 K 0 s : s : 70 K 0 0 s : 4 97K s 0 : K 0 0 0

13 6. Determine a faixa de valores K que garante a estabilidade (pg 0) 6 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE As condições para estabilidade são: e: 4 97K 5 > 0 97K 5 > 4 97K 5 < 4 K < K <, 88 K > 0 K > 0 Conclui-se que o sistema em malha fechada sera estável para 0 < K <, Item b) A função de transferência de malha fechada, simplificada (utilizando álgebra de blocos) é: Utilizando o arranjo de Routh F (s) 4s + (K + 4) s + K s + s + s + K s : 0 0 s : K 0 0 s : K s 0 : K E para garantir a estabilidade, 0 < K < 6.. Item c) A função de transferência de malha fechada, simplificada (utilizando álgebra de blocos) é: F (s) Ks + Ks + K s + s + (K + ) s K Utilizando o arranjo de Routh s : K s : K 0 0 s K : s 0 : K E para garantir a estabilidade: < K < 0. Note que para este sistema ser estável, K deve ser negativo.

14 7 ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO 6..4 Item d) A função de transferência de malha fechada, simplificada (utilizando álgebra de blocos) é: Utilizando o arranjo de Routh F (s) Ks + Ks + 0K (K + ) s + (K + 4) s + (0K + 40) s + 0K s : K + 0K s : K + 4 0K 0 0 s 0K + 0K : K + 4 s 0 : 0K As condições serão: 0K > 0 K > 0 e, K + > 0 K > e, K + 4 > 0 K > 4 K >.88 e finalmente: 0K + 0K K + 4 o numerador desta inequação é uma parábola com concavidade voltada para cima. Calculando suas raízes, verificamos que para 6, 4556 < K < , o numerador é negativo. como já verificamos antes que K > 0, tanto o numerador quanto o denominador desta última inequação serão sempre positivos. A condição para garantir a estabilidade é K > 0. 7 Erro de Estado Estacionário 7. Exercício (pg 9) > 0 Em malha fechada e com realimentação unitária e negativa, o sistema é estável. Então: K p K v 5, 89 K a 0 4

15 7. Exercício (pg 9) 7 ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO No domínio de Laplace, temos: 5u (t) 7tu (t) 47t u (t) O erro ao degrau será nulo. L 5 degrau de amplitude 5 s L 7 rampa de amplitude 7 s L 94 s parábola de amplitude 94, observe que a transformada de Laplace de t vale s O erro à rampa será erro % K v será erro abs 7 7 0, 0694 K v 5, 89 O erro à parábola será infinito. 7. Exercício (pg 9) 0, 009 ou 0, 9%. Considerando uma rampa 7tu (t), o erro absoluto 5, 89 Em malha fechada e com realimentação unitária e negativa, o sistema é estável. Então: K p K v K a 64 A entrada 0t u (t), no domínio de Laplace é representada por: O erro para a parábola unitária será: 0t u (t) L 60 parábola de amplitude 60 s Ou para a parábola 0t u (t), o erro absoluto será: erro % K a 64 0, 056, 56% erro abs , 975 5

16 7.. 7 ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO Exercício 0 Projetar K para que o erro de estado estacionário para uma entrada 00tu (t) seja 0,0 (Note que o texto da apostila esta incorreto, a entrada proposta é na realidade 00tu (t)) Utilizando álgebra de blocos: Pela simplificação de blocos, observamos que equivale a um sistema do tipo, com função de transferência de malha K aberta dada por G (s) s + s K e que será estável para qualquer K > 0. Neste caso, para uma entrada do s (s + ) tipo degrau o erro de estado estacionário é sempre nulo. 6

17 7.0 Exercício 0 7 ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO Considerando uma entrada do tipo rampa com amplitude 00, 00t u (t), podemos calcular a constante de erro estático de velocidade: desejamos que o erro absoluto seja 0, 0, portanto: K v lim s 0 sg (s) K lim s 0 s + K erro abs 00 K v 0, 0 00 K v 00 K K 00 0,