Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia. Aluno (a): Aula Laboratório 07 Cap 9 Resposta no Domínio do Tempo

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1 Escola de Engenharia Laboratório ENG 3503 Sistemas de Controle Prof: Filipe Fraga 07 Aluno (a): Aula Laboratório 07 Cap 9 Resposta no Domínio do Tempo 1- Considerações teóricas: A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural. Embora muitas técnicas, como a solução de uma equação diferencial ou a aplicação da transformada inversa de Laplace, permitam que calculemos essa resposta de saída, essas técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo. A produtividade é auxiliada por técnicas de análise e projeto que fornecem resultados em um tempo mínimo. Se a técnica for tão rápida que sentimos que deduzimos os resultados desejados por inspeção, algumas vezes utilizamos o atributo qualitativo para descrever o método. A utilização dos polos e zeros e de sua relação com a resposta no domínio do tempo de um sistema é uma técnica deste tipo. O aprendizado dessa relação nos dá uma visão qualitativa dos problemas. O conceito de polos e zeros, fundamental para análise e projeto de sistema de controle, simplifica o cálculo da resposta de um sistema. 2- Problema, exemplo de códigos e atividade prática: A função step calcula a resposta de um sistema no domínio do tempo a uma entrada em degrau unitário. É considerado um estado inicial nulo quando o sistema está representado no espaço de estado. Quando o comando é utilizado sem argumentos, esta função gera o traçado da resposta ao degrau unitário na Janela Gráfica. A duração da simulação é determinada automaticamente baseada nos Pólos e Zeros do sistema. Considere a função de transferência de malha fechada do seguinte sistema : A resposta do sistema no domínio do tempo a uma entrada em degrau unitário (R(s)=1/s), consiste em : 'Resposta no domínio do tempo 2ª Ordem' %Título num = [ ] %Declaração do numerador den = [ ] %Declaração do Denominador step ( num, den ) %Resposta a uma entrada Degrau

2 Podemos usar o MATLAB para calcular características de um sistema de segunda ordem, como fator de amortecimento, ζ; frequência natural, ωn; ultrapassagem percentual, %UP; tempo de acomodação, Ts; e instante de pico, Tp. Problema 02: Dado o diagrama de polos mostrado na Figura abaixo, determine ζ, ωn, Tp, %UP e Ts. 'Resposta no domínio do tempo' p1=[1 3+7*i]; p2=[1 3-7*i]; deng=conv(p1,p2); omegan=sqrt(deng(3)/deng(1)) zeta=(deng(2)/deng(1))/(2*omegan) Ts=4/(zeta*omegan) Tp=pi/(omegan*sqrt(1-zeta^2)) up=100*exp(-zeta*pi/sqrt(1-zeta^2)) % Define o polinômio contendo o % primeiro polo. % Define o polinômio contendo o % segundo polo. % Multiplica os dois polinômios para % obter o polinômio de segunda ordem, % as^2+bs+c. % Calcula a frequência % natural, sqrt(c/a). % Calcula o fator de % amortecimento, ((b/a)/2*wn). % Calcula o tempo de acomodação, % (4/z*wn). % Calcula o instante de % pico, pi/wn*sqrt(1-z^2). % Calcula a ultrapassagem percentual, % (100*e^(-z*pi/sqrt(1-z^2)). Resposta ao degrau de sistemas. Essas respostas são particularmente valiosas quando o sistema não é um sistema com dois polos puro e possui polos ou zeros adicionais. Podemos obter um gráfico da resposta ao degrau de uma função de transferência, T(s) = num/den, usando

3 o comando step (T), onde T é um objeto função de transferência LTI. Múltiplos gráficos também podem ser obtidos usando step (T1, T2,...). Informações sobre as curvas geradas com step (T) podem ser obtidas clicando com o botão esquerdo do mouse sobre a curva. Você pode obter o rótulo da curva, bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou. Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido. A partir desse menu você pode escolher (1) respostas dos sistemas a serem apresentadas, (2) características da resposta a serem apresentadas, como o pico da resposta. Quando selecionado, um ponto aparece sobre a curva na posição apropriada. Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica. Você também pode selecionar (3) opção de grade ativada ou desativada, (4) opção para normalizar a curva e (5) propriedades, como rótulos, limites, unidades, estilo e características. Caso acrescentemos o lado esquerdo, [y, t]=step (T), criamos vetores contendo os pontos do gráfico, onde y é o vetor de saída e t é o vetor de tempo. Neste caso, um gráfico não é criado até que o comando plot (t, y) seja dado, onde admitimos que desejamos representar graficamente a saída (y) em função do tempo (t). Podemos rotular o gráfico, o eixo x e o eixo y com title ('ab'), xlabel ('ab') e ylabel ('ab'), respectivamente. O comando clf limpa o gráfico antes de traçar a curva. Finalmente, texto pode ser colocado em qualquer lugar no gráfico utilizando o comando text (X, Y, 'text'), onde (X, Y) são as coordenadas do gráfico onde text será apresentado. Problema 03: Obtenha a resposta ao degrau de cada uma das funções de transferência apresentadas nas e compare-as. 'Execução de um teste' clf % Apaga o gráfico. numt1=[24.542]; % Define o numerador de T1. dent1=[ ]; % Define o denominador de T1. 'T1(s)' T1=tf(numt1,dent1) % Cria e exibe T1(s) step(t1) % Executa uma demonstração do gráfico % de resposta ao degrau. title('execução do teste de T1(s)') % Adiciona um título ao gráfico. 'Execução completa' [y1,t1]=step(t1); % Executa a resposta ao degrau de T1

4 numt2=[245.42]; % Define o numerador de T2. p1=[1 10]; % Define (s+10) no denominador de T2. p2=[ ]; % Define (s^2+4s+24,542) no % denominador de T2. dent2=conv(p1,p2); % Multiplica (s+10)(s^2+4s+24,542) % para o denominador de T2. 'T2(s)' T2=tf(numt2,dent2) % Cria e exibe T2. [y2,t2]=step(t2); % Executa a resposta ao degrau de T2 numt3=[73.626]; % Define o numerador de T3. p3=[1 3]; % Define (s+3) no denominador de T3. dent3=conv(p3,p2); % Multiplica (s+3)(s^2+4s+24,542) % para o denominador de T3. 'T3(s)' T3=tf(numt3,dent3) % Cria e exibe T3. [y3,t3]=step(t3); % Executa a resposta ao degrau de T3 clf % Apaga o gráfico. plot(t1,y1,t2,y2,t3,y3) % Apresenta os pontos coletados % com as três curvas % em um único gráfico. title('respostas ao degrau de T1(s), T2(s) e T3(s)') % Adiciona um título ao gráfico. xlabel('tempo (s)') % Adiciona um título ao eixo do tempo. ylabel('resposta Normalizada') % Adiciona um título % ao eixo da resposta. text(0.7,0.7,'c3(t)') % Rotula a resposta ao degrau de T1. text(0.7,1.1,'c2(t)') % Rotula a resposta ao degrau de T2. text(0.5,1.3,'c1(t)') % Rotula a resposta ao degrau de T3. step(t1,t2,t3) % Utiliza método alternativo de % apresentação das respostas ao degrau. title('respostas ao degrau de T1(s), T2(s) e T3(s)') % Adiciona um título ao gráfico. Exercícios: Questão 01: Verificar as raízes (polos e zeros), os tipos de resposta dos sistemas de segunda ordem e gerar os gráficos para a entrada degrau unitário usando o MATLAB. a) b) c) d) 9 s s 2 +2s+3 2 s 2 +3s+2 5 s 2 +4s+5

5 e) 9 s 2 +2s+9 Questão 02: Determine ζ, ωn, Ts, Tp, Tr e %UP para um sistema cuja função de transferência é: