Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia. Aluno (a): Aula Laboratório 07 Cap 10 Método de Resposta em Frequência

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Laboratório ENG 3503 Sistemas de Controle Prof: Marcos Lajovic Carneiro 07 Aluno (a): Aula Laboratório 07 Cap 10 Método de Resposta em Frequência 1- Considerações teóricas: Este capítulo e o Cap. 11 apresentam o projeto de sistemas de controle com retroação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir da perspectiva da resposta de frequência. Os resultados das técnicas de compensação por meio de resposta de frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas de lugar das raízes. Os métodos de resposta de frequência, desenvolvidos por Nyquist e Bode nos anos de 1930, são mais antigos que o método do lugar das raízes, descoberto por Evans em 1948 (Nyquist, 1932; Bode, 1945). O método mais antigo, tratado neste capítulo, não é tão intuitivo quanto o do lugar das raízes. Contudo, a resposta de frequência produz um novo enfoque vantajoso a partir do qual podemos tratar os sistemas de controle com retroação. Esta técnica tem vantagens distintas nas seguintes situações: 1. Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos, conforme mostrado na Fig. 10.1; 2. Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida; 3. Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares; 4. Na remoção de ambiguidades ao se esboçar o lugar das raízes.

2 2- Descrição e códigos de exemplo: 2.1 Plotando Diagramas de Bode Podemos usar o MATLAB para construir diagramas de Bode usando bode (G), em que G(s) = numg/deng e G é um objeto função de transferência LTI. Informações sobre os diagramas criados com bode (G) podem ser obtidas clicando-se com o botão esquerdo do mouse sobre a curva. Você pode obter o rótulo da curva, bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou. Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido, caso os ícones da barra de menu não estejam selecionados. A partir deste menu você pode selecionar: (1) Respostas dos sistemas a serem apresentadas; (2) As características da curva, como o pico da resposta. Quando selecionado um ponto aparece na curva na posição apropriada. Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica. Você também pode selecionar: (3) Quais curvas visualizar; (4) Opção de grade ativada ou desativada; (5) Retornar para vista total depois de ampliar; (6) Propriedades, como rótulos, limites, unidades, estilo e características. Podemos obter pontos do diagrama usando [mag, fase, w]=bode (G), onde magnitude, fase e frequência são armazenadas em mag, fase e w, respectivamente. A magnitude e a fase são armazenadas como arranjos 3D. Utilizamos mag(:,:)' e fase(:,:)' para converter os arranjos em vetores coluna, onde os apóstrofos significam transposição matricial. O exemplo abaixo plota o diagrama de Bode para o sistema: G(s) = s + 3 [(s + 2)(s 2 + 2s + 25)] clf numg=[1 3]; deng=conv([1 2],[1 2 25]); 'G(s)' G=tf(numg,deng) bode(g) grid on % Apaga o gráfico na tela. % Define o numerador de G(s). % Define o denominador de G(s). % Cria e exibe G(s). % Constrói um diagrama de Bode. % Ativa a grade para o % diagrama de Bode. title('resposta em Frequência em Malha Aberta') % Adiciona um título ao % diagrama de Bode. [mag,fase,w]=bode(g); % Armazena pontos do diagrama de Bode. pontos=[20*log10(mag(:,:))',fase(:,:)',w] % Lista pontos do diagrama de Bode % com magnitude em db.

3 2.2 Plotando Diagramas de Nyquist Podemos usar o MATLAB para construir diagramas de Nyquist usando nyquist (G), onde G(s) = numg/deng e G é um objeto função de transferência LTI. Informações sobre os diagramas construídos com nyquist (G) podem ser obtidas clicando-se com o botão esquerdo do mouse sobre a curva. Você pode obter o rótulo da curva, bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou e a frequência. Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido, caso os ícones da barra de menu não estejam selecionados. A partir deste menu você pode selecionar: (1) Respostas dos sistemas a serem apresentadas; (2) As características da curva, como o pico da resposta. Quando selecionado um ponto aparece na curva na posição apropriada. Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica. Você também pode selecionar: (3) Mostrar ou não mostrar frequências negativas; (4) Opção de grade ativada ou desativada; (5) Opção para ampliar para visualizar a região próxima de ( 1, 0); (6) Retornar para vista total depois de ampliar; (7) Propriedades, como rótulos, limites, unidades, estilo e características. Podemos obter pontos do diagrama usando [re, im, w]=nyquist (G), onde parte real, parte imaginária e frequência são armazenadas em re, im e w, respectivamente, e re e im são arranjos 3D. Podemos especificar uma faixa para w usando [re, im]=nyquist (G,w). Usamos re(:,:)' e im(:,:)' para converter os arranjos em vetores coluna.

4 Vamos examinar o sistema: clf numg=[1 2]; deng=[1 0 0]; 'G(s)' G=tf(numg,deng) nyquist(g) grid on G(s) = s+2 s 2 % Apaga o gráfico na tela. % Define o numerador de G(s). % Define o denominador de G(s). % Cria e exibe G(s). % Constrói um diagrama de Nyquist. % Ativa a grade para o % diagrama de Nyquist. title('resposta em Frequência em Malha Aberta') % Adiciona um título ao diagrama % de Nyquist. w=0:0.5:10; % Faz 0 < w < 10 em incrementos de 0,5. [re,im]=nyquist(g,w); pontos=[re(:,:)',im(:,:)',w'] % Obtém pontos do diagrama de % Nyquist para uma faixa de w. % Lista os pontos do diagrama % de Nyquist da faixa especificada. 2.3 Determinando margens de ganho e de fase ch10p3 (Exemplo 10.8) Podemos usar o MATLAB para obter a margem de ganho (Gm), a margem de fase (Pm), a frequência de margem de ganho, onde o diagrama de fase passa por 180 graus (Wcg), e a frequência de margem de fase, onde o diagrama de magnitude passa por zero db (Wcp). Para obter esses valores usamos [Gm, Pm, Wcg, Wcp]=margin (G), onde G(s)=numg/deng e G é um objeto função de transferência LTI.

5 Vamos examinar o seguinte sistema com K=6: G(s) = K (s 2 + 2s + 2)(s + 2) clf numg=6; deng=conv([1 2],[1 2 2]); 'G(s)' G=tf(numg,deng) nyquist(g) grid on % Apaga o gráfico na tela. % Define o numerador de G(s). % Define o denominador de G(s). % Cria e exibe G(s). % Constrói o diagrama de Nyquist. % Ativa a grade para o % diagrama de Nyquist. title('resposta em Frequência em Malha Aberta') % Atribui um título ao diagrama de % Nyquist. [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G); % Obtém margens e % frequências de margens. 'GM(dB); PM(graus); freq. 180 graus(r/s); freq. de 0 db(r/s)' margens=[20*log10(gm),pm,wcg,wcp] % Exibe os dados de margens.

6 3- Problemas: 3.1) Gráficos de Bode de funções racionais com fatores de primeira e de segunda ordem Problema 1 Esboce os gráficos logarítmicos de magnitude e fase de G(s) para o sistema com retroação unitária mostrado na Fig , onde G(s) = (s + 3)/[(s + 2)(s 2 + 2s + 25)]. Exercício de Avaliação Construir os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase de Bode para o sistema mostrado na Fig onde: 3.2) Diagrama de Nyquist para função de malha aberta com pólos no contorno Problema 2 Esboçar o diagrama de Nyquist do sistema com retroação unitária da Fig , onde G(s) = (s + 2)/s 2. Exercício de Avaliação 10.3: Esboçar o diagrama de Nyquist para o sistema mostrado na Fig onde 3.3) Determinando as margens de ganho e de fase por intermédio do Diagrama de Nyquist Problema Determinar a margem de ganho e de fase para o sistema com retroação unitária com G(s) apresentado abaixo se K = 6. G(s) = K (s 2 + 2s + 2)(s + 2)

7 Exercício de Avaliação Determinar a margem de ganho e a frequência de 180 para o sistema com retroação unitária com G(s) apresentado abaixo se se K = 100.