RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) OGATA

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1 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) OGATA CCL Profa. Mariana Cavalca Retirado de OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, c1982.

2 Compensação Avanço-Atraso Compensação Avanço Melhora o transitório. Compensação Atraso Melhora o regime permanente. Compensação Avanço-Atraso União das duas características. Questão: Como projetar????

3 Compensação Avanço-Atraso Duas principais formas: 1. Quebrar em dois problemas separados: projetar uma malha primeiro e depois projetar a segunda malha; 2. Projetar uma estrutura conjunta (método proposto no Ogata) mais econômico!

4 Redes Avanço-Atraso E o (s) E i (s) = Z 2 Z 1 + Z 2 = (R 1 C 1 s + 1)(R 2 C 2 s + 1) R 1 C 1 s + 1 R 2 C 2 s R 1 C 2 s E o (s) E i (s) = (T 1s + 1)(T 2 s + 1) ( T 1 β s + 1)(T 2 βs + 1) = (s + 1 T 1 )(s + 1 T 2 ) (s + β T 1 )(s + 1 βt 2 ) (β > 1)

5 Redes Avanço-Atraso Exemplo com β = 10, T 2 = 10T 1 0 < ω < ω 1 Rede Atraso ω 1 < ω Rede Avanço ω 1 = 1 T 1 T 2

6 Projeto baseado em resposta em frequência A parte do avanço de fase altera a curva de resposta em frequência, adicionando um ângulo de fase e aumentando a margem de fase na frequência de cruzamento do ganho; A parte do atraso de fase acarreta atenuação, próximo e acima da frequência de cruzamento do ganho, além de permitir um aumento do ganho na faixa de baixas frequências e, consequentemente, melhorar o desempenho em regime estacionário.

7 Exemplo 10.7 (Ogata, 1982, página 585) Considere o sistema com realimentação unitária negativa, cuja função de transferência em malha aberta é: G s = K s(s + 1)(s + 2) Deseja-se que o coeficiente de erro de velocidade estático seja 10, margem de fase de 50º e a margem de ganho de 10 db ou mais.

8 Primeiro calculamos o ganho K necessário para atender o requisito de K v = 10: K K v = lim s s 0 s(s + 1)(s + 2) = K = 10 K = 20 2 Em seguida, traçamos o diagrama de Bode de Malha aberta para tal ganho. 100 Bode Diagram Gm = db (at 1.41 rad/sec), Pm = deg (at 2.43 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

9 Nota-se que as margens são negativas, logo o sistema é instável sem compensação. O próximo passo é escolher uma nova frequência para cruzamento de ganho (ou seja, a nova frequência na qual determinaremos a margem de fase, ou seja, a frequência que cruza o 0 db). Segundo Ogata (1982), é razoável verificar um ponto em que o avanço necessário seja cerca de 50.

10 Neste caso, é sugerido fazer com que a nova frequência de cruzamento de ganho seja em 1,4 rad/sec, ou seja, no ponto onde a FT sem compensação cruza o 180. Neste caso será necessário avançar 50º para atender o requisito de projeto. 100 Bode Diagram Gm = db (at 1.41 rad/sec), Pm = deg (at 2.43 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) System: untitled1 Frequency (rad/sec): 1.41 Phase (deg): Frequency (rad/sec)

11 Logo desejamos mover a frequência onde cruza o 0db para a esquerda (diminuir o valor). Logo iremos primeiramente projetar o controlador atraso de fase. 100 Bode Diagram Gm = db (at 1.41 rad/sec), Pm = deg (at 2.43 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) System: untitled1 Frequency (rad/sec): 1.41 Phase (deg): Frequency (rad/sec)

12 Podemos então ajustar o zero do atraso uma década abaixo da frequência de cruzamento de ganho desejada, ou seja em ω z = 0,15 rad = 1 T Bode Diagram Gm = db (at 1.41 rad/sec), Pm = deg (at 2.43 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) System: untitled1 Frequency (rad/sec): 1.41 Phase (deg): Frequency (rad/sec)

13 O polo da rede atraso ω p = 1 βt 2 < ω z. Neste ponto, devemos escolher o valor de β. Ogata (1982) sugere β = 10 > 1. Tal variável está relacionada com a inclinação da curva de módulo. Portanto, a parte atraso do compensador será dada por: s + 0,14 s + 0,014 = 10 7,143s ,429s + 1

14 Para o projeto do avanço, devemos verificar qual é a atenuação necessária em G(s) para que a nova frequência de cruzamento de ganho seja 1,4 rad/sec. 100 Bode Diagram Gm = db (at 1.41 rad/sec), Pm = deg (at 2.43 rad/sec) Magnitude (db) System: untitled1 Frequency (rad/sec): 1.41 Magnitude (db): 10.5 Phase (deg) System: untitled1 Frequency (rad/sec): 1.41 Phase (deg): Frequency (rad/sec)

15 Nesta situação é necessário atenuar 10,5 db para que a nova frequência de cruzamento seja atendida. Portanto, devemos adicionar um polo e zero ao redor de 1,4 rad/sec de maneira que a atenuação em 1,4 rad/sec seja de 10,5 db. Lembrando ainda que β = 10 > 1.

16 Ogata (1982) sugere um método para solução de tal problema: 1. Marque o ponto 1,4 rad/sec, 10,5 db 2. Você deve forçar que uma reta com inclinação de 20db/ década passa nesse ponto. 3. Neste caso, tal reta cruza com a reta em 20 db e termina na reta de 0 db.

17 Os dois pontos de cruzamento definem o zero e o polo da parte avanço do compensador. Neste caso, aproximadamente: s + 0,7 s + 7 = 1 1,43s ,143s + 1

18 Combinando as duas componentes, temos o controlador Avanço-Atraso: C s = s + 0,7 s + 7 s + 0,14 s + 0,014 C(s) = 7,143s ,429s + 1 1,43s + 1 0,143s + 1

19 Diagrama de Bode de Malha Aberta do Sistema Resultante: 20 C s G(s) 150 Bode Diagram Gm = 17 db (at 3.93 rad/sec), Pm = 55.7 deg (at 1.09 rad/sec) 100 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

20 Resposta da malha fechada para uma entrada do tipo rampa:

21 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) OGATA Bom estudo! Profa. Mariana Cavalca Retirado de OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, c1982.