Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia. Aluno (a): Aula Laboratório 11 Cap 6 Estabilidade

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Laboratório ENG 3503 Sistemas de Controle Prof: Filipe Fraga 11 Aluno (a): Aula Laboratório 11 Cap 6 Estabilidade 1- Considerações teóricas: A estabilidade é a especificação de sistema mais importante. Caso um sistema seja instável, a resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante. Um sistema instável não pode ser projetado para ter uma resposta transitória específica ou para atender um requisito de erro em regime permanente. Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada. Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada.

2 1. Regiões de estabilidade no plano complexo das raízes da equação característica Contudo, em certas condições, podemos tirar algumas conclusões sobre a estabilidade do sistema. Primeiro, se a função de transferência em malha fechada possuir apenas polos no semiplano da esquerda, então os fatores do denominador da função de transferência em malha fechada consistirão em produtos de termos como (s + ai), em que ai é real e positivo, ou complexo com parte real positiva. O produto desses termos é um polinômio com todos os coeficientes positivos. Nenhum termo do polinômio pode estar faltando, uma vez que isso implicaria o cancelamento entre coeficientes positivos e negativos ou fatores de raízes sobre o eixo imaginário, o que não é o caso. Portanto, uma condição suficiente para que um sistema seja instável é que nem todos os sinais dos coeficientes do denominador da função de transferência em malha fechada sejam iguais. Se potências de s estiverem faltando, o sistema é instável ou, na melhor das hipóteses, marginalmente estável. Infelizmente, se todos os coeficientes do denominador estiverem presentes e forem positivos, não temos informações definitivas sobre as posições dos polos do sistema. É possível verificar quantos polos estão fora do semipleno direito do plano de s, utilizando o comando roots: roots[ ]

3 2. Contribuições dos polos na resposta malha fechada 3. Critério de Routh-Hurwitz O método requer dois passos: (1) gerar uma tabela de dados chamada de tabela de Routh e (2) interpretar a tabela de Routh para dizer quantos polos de sistema em malha fechada estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e sobre o eixo jω.

4 Se a função de transferência em malha fechada possui todos os polos na metade esquerda do plano s, o sistema é estável. Assim, um sistema é estável se não houver mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. Problema 01: Utilizando a tabela de Routh, diga quantos polos da função a seguir estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω: clear all clc %-det([si() si(); sj() sj()])/sj() %Gabarito para uso em cada célula syms e %Constroi o objeto simbólico para cada epsilon s5=[ ] %Constroi a linha s5 da tabela Routh s4=[ ] %Constroi a linha s4 da tabela Routh if -det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)==0 s3=[e... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0]; %Constroi a linha s3 da tabela de Routh %Se o primeiro elemento for 0. else s3=[-det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0] %Constroi a linha s3 da tabela de Routh %Se o primeiro elemento não for 0. end if -det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1)==0 s2=[e... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0]; %Constroi a linha s2 da tabela de Routh %Se o primeiro elemento for 0. else s2=[-det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1)... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0] ; %Constroi a linha s2 da tabela de Routh %Se o primeiro elemento não for 0. end if -det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1)==0 s1=[e... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0]; %Constroi a linha s1 da tabela de Routh %Se o primeiro elemento for 0. else s1=[-det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1)... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0]; %Constroi a linha s1 da tabela de Routh %Se o primeiro elemento não for 0. end

5 s0=[-det([s2(1) s2(2); s1(1) s1(2)])/s1(1)... -det([s2(1) s2(3);s1(1) s1(3)])/s1(1) 0 0]; %Constroi a linha s0 da tabela de Routh 's3' s3=simplify(s3) pretty(s3) 's2' s2=simplify(s2) pretty(s2) 's1' s1=simplify(s1) pretty(s1) 's0' s0=simplify(s0) pretty(s0) Problema 02: O MATLAB pode calcular os polos de uma função de transferência para determinar a estabilidade. Para resolver para os polos de T(s) use o comando pole (T). Vamos ao problema: Determine o número de polos no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da figura abaixo: 'Estabilidade de sistemas' numg=1; deng=conv([1 0],[ ]); G=tf (numg,deng); 'T(s)' T=feedback (G,1) polos=pole(t) pause % Exibe o título. % Define o numerador de G(s). % Define o denominador de G(s). % Cria o objeto G(s). % Exibe o título. % Calcula o objeto em malha fechada % T(s). % Realimentação negativa é assumida % como padrão quando o parâmetro % sinal é omitido. % Obtém os polos de T(s).

6 Exercícios: 1. Determine o número de polos no semiplano da esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da figura abaixo: Figura 1 - Letra A Figura 2 - Letra B Figura 3 - Letra C 2. Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para gerar uma tabela de Routh para resolver a FT em malha aberta: