Estabilidade no Domínio da Freqüência

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1 Estabilidade no Domínio da Freqüência 1. Estabilidade relativa e o critério de Nyquist: margens de ganho e fase 2. Critérios de desempenho especificados no domínio da freqüência Resposta em freqüência em malha fechada 2.1 Carta de Nichols pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

2 Estabilidade Relativa e o Critério de Nyquist Por que estabilidade relativa? Imprecisão no modelo ou no sistema de controle... Um modelo pode indicar que um sistema é estável, enquanto de fato o sistema físico é instável... O que fazer? Pode-se exigir não apenas estabilidade do sistema mas também que seja estável dentro de alguma margem de segurança... pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

3 Estabilidade Relativa e o Critério de Nyquist Margens? Considere um traçado para o diagrama de Nyquist ilustrado abaixo G(jω 1 ) = m 1 φ G(jω 2 ) pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

4 Estabilidade Relativa e o Critério de Nyquist Margem de Ganho é o fator pelo qual o ganho em malha-aberta de um sistema estável deve ser alterado de modo a tornar o sistema marginalmente estável Do diagrama de Nyquist (anterior), veja que em obtém-se o valor de m. Cabe a pergunta: de quanto pode-se multiplicar m para cruzar o ponto 1, tal que o sistema em malha fechada seja marginalmente estável? Multiplicando pelo ganho K = 1 m... pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

5 Estabilidade Relativa e o Critério de Nyquist Margem de Ganho MG é o incremento recíproco, 1/m, no ganho do sistema quando a fase é 180 0, que resultará em um sistema marginalmente estável com a intersecção do ponto ( 1, 0) no diagram de Nyquist pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

6 Estabilidade Relativa e o Critério de Nyquist Margem de Fase MF é a magnitude do ângulo mínimo pelo qual o diagrama de Nyquist deve ser rotacionado a fim de interceptar o ponto 1 que resultará em um sistema marginalmente estável Na freqüência onde ocorre a margem de fase a magnitude do diagrama de Nyquist é 1, ie, onde G(jω 2 ) = 1, tal que MF = φ = G(jω 2 ) pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

7 Margens de Ganho e Fase 1/MG Plano -1 MF pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

8 Margens de Ganho e Fase Relação com diagrama de Bode? As margens são obtidas diretamente do diagrama de Nyquist, porém podem ser lidas também no diagrama de Bode? Claro, já que um diagrama de Bode é também o traçado da mesma função (ganho de malha) com coordenadas diferentes... Como lê-las em Bode? Veja que MG ocorre na freqüência, ω 1 tal que G(jω 1 ) = De Bode pode-se ler, ω 1 no diagrama de fase. Como o ganho é a recíproca da magnitude de G(jω), porém em escala logarítmica: 20 log 1 m = 20 log m = 20 log 1 MG = G db pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

9 Margens de Ganho e Fase A margem de fase, MF, ocorre na freqüência, ω 2, na qual a magnitude do ganho de malha é unitário, ou 0dB. Portanto MF pode ser lida do diagrama de Bode como sendo a diferença entre a fase de G(ω 2 ) e Na prática, utiliza-se mais o diagrama de Bode MATLAB: margim pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

10 Margens de Ganho e Fase Bode Diagrams 20 Gm= db (at rad/sec), Pm= deg. (at rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) 1 MG = 10 G 20 = = 0.59, logo MG = 1.7 pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

11 Margens de Ganho e Fase Sistemas de 2a. ordem ζ < 0.7, como A margem de fase pode ser aproximada, para MF 100ζ pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

12 MASTER Linear approximation 0.01 pm Phase margin, degrees Figure 9.21 Damping ratio versus phase margin for a second-order system Damping ratio, Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

13 Critério de Desempenho no Domínio da Freqüência Resposta transitória resposta em freqüência À malha aberta é aplicado Nyquist e Bode obtendo-se, eg, margem de fase ζ e característica de resposta temporal. Seria possível analisar resposta em freqüência em malha fechada? Resposta em freqüência em malha fechada FT em malha fechada T(jω) = Y (jω) R(jω) = G(jω) 1 + G(jω) Resposta em freqüência T(jω) = G(jω) ejφ = Mejφ 1 + G(jω) ejη sendo M a magnitude da resposta em freqüência em malha fechada, e φ a fase pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

14 Resposta em Freqüência em Malha Fechada Pode-se obter a relação entre T e G no plano G(jω) fazendo: Veja que da resposta em malha fechada G(jω) = u + jv M = G(jω) 1 + G(jω) = u + jv 1 + u + jv = u2 + v 2 (1 + u)2 + v 2 ou, ( 1 M 2 ) u 2 + ( 1 M 2) v 2 2M 2 u = M 2 Veja que se M = 1 então u = 1/2... pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

15 Resposta em Freqüência em Malha Fechada Para M 1, após dividir por (1 M 2 ) e adição do termo ( M 2 /(1 M 2 ) ) 2 a ambos os lados obtém-se ( u 2 + v 2 2M2 u M 2 ) 2 ( 1 M + = M2 M 2 ) M 2 1 M M 2 que re-arranjado pode ser expresso na relação abaixo (u M2 ) 2 + v 2 = ( M ) 2 1 M 2 1 M 2 ie, um círculo centrado em (M 2 /(1 M 2 ), 0) e raio M/(1 M 2 ) Portanto se M < 1, geram-se círculos à direita de u = 1/2 e para M > 1, geram-se círculos à esquerda de u = 1/2 pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

16 Resposta em Freqüência em Malha Fechada 2 2 db Diagrama de Nyquist 0 db 2 db db 4 db 6 db 6 db Eixo Imaginario db 10 db 20 db 20 db Eixo Real pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

17 Resposta em Freqüência em Malha Fechada De forma similar, círculos de ângulos de fase constantes podem ser obtidos: φ = u + jv ( ) ( ) v 1 + u + jv = tan 1 tan 1 v u (1 + u) Usando a relação, para N = tan φ N = tan(θ β) = tan θ tan β 1 + tan θ tan β ou ou N = v u v 1+u v 1+u 1 + v u = v u(1+u) 1 + v2 u(1+u) = u 2 + v 2 + u v N = 0 v u 2 + u + v 2 pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

18 Resposta em Freqüência em Malha Fechada Adicionando-se o termo (1 + 1/N 2 )/4 a ambos os lados obtém-se ( u + 1 2) 2 + ( v 1 2N ) 2 = 1 4 ( ) N 2 que é a equação de um círculo centrado em u 1/2 e v = 1/2N, com raio de (1/2) 1 + 1/N 2 Normalmente, estes círculos podem ser representados sobre conjuntos diferentes de eixos chamado carta de Nichols MATLAB: nichols pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

19 Resposta em Freqüência em Malha Fechada Carta de Nichols db 20 1 db 1 db db Ganho em Malha Aberta (db) db 3 db 6 db db db Fase em Malha Aberta (deg) pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

20 Nichols Exemplo Considere o sistema realimentado como FT de malha G(jω) = 1 jω(jω + 1)(0.2jω + 1) A carta de Nichols é traçada na próxima tela Magnitude máxima, M pω? é de +2.5dB e ocorre na freqüência ω r = 0.8rad/s Ângulo de fase em malha fechada em ω r? 72 0 Largura de banda, ω B, em -3dB? ω B = 1.35rad/s Ângulo de fase em malha fechada em ω B? pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 18

21 MASTER db 0.5 db db 3 db db Loop gain G, in decibels db 5 db 6 db 9 db 12 db db 3 db 4 db 5 db 6 db Magnitude of G 1 G 18 db Loop phase, (G), in degrees Figure 9.27 Nichols diagram for G(j ) + 1/j (j + 1)(0.2j + 1) Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

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