CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

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1 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 4.. Introdução Pelo termo resposta em freqüência, entende-se a resposta em regime estacionário de um sistema com entrada senoidal. Nos métodos de resposta em freqüência, variamos a freqüência do sinal de entrada em uma faixa de interesse e estudamos a resposta em freqüência resultante. Os sistemas de controle industriais são muitas vezes projetados pelo uso de métodos de resposta em freqüência. Muitas técnicas estão disponíveis tanto para o projeto quanto para análise de tais sistemas. O critério da estabilidade de Nyquist, a ser estudado mais adiante, nos permite investigar tanto a estabilidade absoluta quanto à estabilidade relativa de sistemas lineares de malha fechada a partir de um conhecimento de suas características de resposta em freqüência em malha aberta. Ao usar este critério de estabilidade, não temos que determinar as raízes da equação característica. Esta é uma vantagem da técnica de resposta em freqüência. Uma outra vantagem desta técnica é que os testes da resposta em freqüência são, em geral, simples e podem ser feitos precisamente pelo uso de geradores de sinais senoidais prontamente disponíveis e de equipamentos de medida precisos. Muitas vezes as funções de transferência de componentes complicados podem ser determinadas experimentalmente pelos testes da resposta em freqüência. Além disso, plantas com incertezas ou plantas que são deficientemente conhecidas podem ser manipuladas pelos métodos de resposta em freqüência. Um sistema pode ser projetado pelo uso da técnica de resposta em freqüência de tal forma que os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis. Finalmente, as análises e os projetos de resposta em freqüência de um sistema de controle podem ser estendidos a certos sistemas de controle não lineares. Relação entre o tipo de sistema e a curva do log-módulo Os coeficientes de erro estático de posição, velocidade e aceleração descrevem o comportamento em baixa freqüência dos sistemas tipo (zero), tipo e tipo, respectivamente. Para um dado sistema, somente um dos coeficientes de

2 erro é finito e significativo ( ), o qual pode ser obtido analisando-se o diagrama de Bode (curva de módulo). O tipo do sistema determina a inclinação da curva do log-módulo em baixas freqüências. Portanto, a informação relativa à existência e amplitude do erro em regime estacionário de um sistema de controle, para uma dada entrada, pode ser determinada a partir da observação da região de baixa freqüência na curva de logmódulo (diagrama de Bode). a) Determinação da constante de erro de posição (p) Para um sistema tipo zero temos que Logo ( Ta s + )( Tb s + )... s) ( T s + )( T s )... + ( Ta jw + )( Tb jw + )... ( T jw + )( T jw )... + Em baixas freqüências temos logo p. lim w) w mas sabemos que limg ( s) H ( s), s p Como em baixas freqüências G ( temos que log p para w. Um exemplo de diagrama de Bode (módulo) para um sistema tipo zero é mostrado na Figura. -/década logp p -4/década w(log) Figura. Diagrama de Bode para sistema do tipo

3 Sendo assim, o valor de p pode ser obtido diretamente do diagrama de módulo de Bode e, a partir dele, pode ser determinado o erro de regime permanente para uma determinada entrada. b) Determinação do coeficiente de erro de velocidade ( v ) Para um sistema tipo temos que ( Tas + )( Tb s + )... s) H ( s) s ( T s + )( T s )... + E v é dado por lim s s) H ( s) s v. Assim, para baixas freqüências temos que v H ( e o módulo é jw v H (. Assim, se considerarmos o jw ponto cuja freqüência vale um (w) G ( H ( v log jw w log v Portanto o valor de v pode ser determinado através da análise do diagrama de Bode, conforme é mostrado na Figura. -/década -/década w W w(log) Figura. Diagrama de Bode para sistema do tipo Como foi considerado w (baixas freqüências) no desenvolvimento acima, devese verificar o ponto de interseção da reta w com o prolongamento da reta com declinação de /dec, conforme mostrado na figura acima.

4 4 Se considerarmos, no entanto, o ponto de intersecção desta mesma reta com a reta de, temos H ( v jw log No entanto, para que se obtenha tal resultado temos que v w (numericamente). Assim, o valor de v pode ser obtido mais facilmente através da determinação do valor da freqüência w. Exemplo : Considere o sistema tipo com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é s). s( Js + B) O gráfico de módulo do diagrama de Bode para um sistema tipo é mostrado na Figura. -/década w w w w(log) -4/déc Figura. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo B Observe que o sistema em malha aberta possui um pólo em s. Logo J B w J. Analisaremos agora. Para freqüências elevadas ( w >> w ) jw( jwj + B) temos mas B + jwj wj. jw( jwj + B) Logo G (. Assim, log Jw Jw. No ponto ww, temos: jw ) log, portanto Jw Jw e w J.

5 5 Sabemos ainda que w lim s s) H ( ). Note que w w w ou v s s w. w w w Como a escala de w é logarítmica, log w log w log w log w log w log w log w + log w + log w w B Portanto, o ponto w é o ponto médio entre w e w. log w c) Determinação da constante de erro de aceleração ( a ) Para um sistema tipo temos que Logo Em baixas freqüências temos s) H ( s) s H ( ( ( Ta s + )( Tb s + )... ( T s + )( T s + )... ( T ( T a jw + )( T jw + )( T lim H ( lim Assim, em baixas freqüências temos que E então w s ( H ( ( H ( a b log ( jw + )... jw + )... a Observe que para a freqüência w H ( log a

6 6 Na Figura 4 apresenta-se a forma de obtenção do coeficiente de erro de aceleração. -4/déc log a w w a w(log) Figura 4. Diagrama de Bode para um sistema do tipo No ponto ww a, temos a jw ) H ( jwa ) log ( jw ) a a a Portanto w ou ( wa ). a a Exercícios: ) Obtenha o diagrama de Bode para o sistema abaixo onde a) α c b) α, c s) c s + T s + αt ) A partir dos diagramas de Bode encontrados no exercício anterior, obtenha as funções de transferências para cada um dos sistemas. Nota: Observe que a determinação dos coeficientes de erro estático através do diagrama de Bode é feita a partir do gráfico de módulo (Bode) do sistema em MA uma vez que estes coeficientes são determinados a partir da função de transferência do sistema de malha aberta.

7 7 ) Para as curvas de log-módulo apresentadas abaixo, determine o tipo do sistema (sistema tipo,,,...) e o coeficiente de erro estático apropriado (indique no gráfico como se obtém o coeficiente). a) -/dec w w w(log) d) b) -4/dec -/dec w w w w(log) -6/dec -4/dec -/dec w w w(log) -4/dec e) c) -4/dec w w w(log) - - w w w(log) -/dec Análise da estabilidade através de diagramas de Bode O gráfico de Bode de uma função de transferência é uma ferramenta muito útil para análise e projeto de sistemas de controle lineares. Vantagens dos gráficos de Bode: - Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode ser obtido, de forma aproximada, através de suas propriedades assintóticas. - Ganho de cruzamento, fase de cruzamento, margem de ganho e margem de fase são mais facilmente determinados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist. - Para propósitos de projeto, os efeitos de adição de controladores e seus parâmetros são mais facilmente visualizados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist.

8 8 Desvantagem dos gráficos de Bode: - Estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima. Com referência às definições de margem de ganho e margem de fase apresentadas anteriormente, a interpretação destes parâmetros através do diagrama de Bode é ilustrada na figura apresentada a seguir. H( () H( (graus) Região estável para interseção da curva de magnitude na fase de cruzamento. M g positiva. Margem de ganho negativa w p Margem de fase negativa w s g w (rad/s) Região estável para interseção da curva de fase na freqüência de cruzamento. M p positiva. w (rad/s) Diagrama de Bode típico de um sistema de fase mínima As seguintes observações podem ser feitas com relação à análise da estabilidade de um sistema através de seu diagrama de Bode:. A margem de ganho é positiva e o sistema é estável se a magnitude de H( na fase de cruzamento é negativa em. Isto é, a margem de ganho é medida abaixo do eixo. Se a margem de ganho é medida acima do eixo, a margem de ganho é negativa e o sistema é instável.. A margem de fase é positiva e o sistema é estável se a fase de H( é maior que 8º no ganho de cruzamento. Isto é, a margem de fase é medida acima do eixo 8º. Se a margem de fase é medida abaixo do eixo 8º, a margem de fase é negativa, e o sistema é instável.

9 9 Portanto, para um sistema de fase mínima ser estável, tanto a margem de ganho quanto à margem de fase devem ser positivas. Se uma das margens for negativa, o sistema é instável. Análise da estabilidade de um sistema em malha fechada a partir de seu diagrama de Bode de malha aberta Margem de ganho: Indica quanto o ganho do sistema pode ser aumentado de forma que ele ainda seja estável em malha fechada. A margem de ganho é medida na freqüência em que a fase cruza por -8º. Margem de fase: Indica quanto a fase do sistema pode ser atrasada (na freqüência de cruzamento de ganho) de forma que o sistema ainda seja estável em malha fechada. A margem de fase é medida na freqüência em que o módulo cruza por (freqüência de cruzamento de ganho). Exemplo : Seja o diagrama de Bode mostrado abaixo. Sabe-se que o mesmo foi obtido para o sistema em malha aberta. 4 Phase (deg) Magnitude () Figura 5. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo

10 A freqüência para a qual o módulo é é w g rad. Neste ponto a fase cruza s em -6º. Pergunta-se: Quanto se pode atrasar a fase para que chegue a -8º? A resposta é φ 8º. Sendo a margem de fase positiva, então o sistema será estável mf em malha fechada. A curva de resposta deste sistema em malha fechada para uma entrada em degrau unitário é mostrada na Figura 6..8 Step Response.6.4. Amplitude Time (sec) Figura 5. Resposta ao degrau unitário para o sistema do Exemplo em malha fechada Exemplo : Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na Figura 6. num48; den[ 9 6 4]; [mag,fase,w]bode(num,den); margin(mag,fase,w) Exemplo 4: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na Figura 7. num48; den[ 9 6 4]; [mag,fase,w]bode(num,den); margin(mag,fase,w) Exemplo 5: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na Figura. num.5; den[.5]; [mag,fase,w]bode(num,den); margin(mag,fase,w);

11 Gm.878 (at 5.66 rad/sec), Pm deg (at.987 rad/sec) Phase (deg) Magnitude () Figura 6. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo 4 Gm -7.8 (at 5.66 rad/sec), Pm -.68 deg (at 7.96 rad/sec) Phase (deg) Magnitude () Figura 7. Diagrama de Bode para o sistema do Exemplo 4

12 Gm (at. rad/sec), Pm 49.5 deg (at.649 rad/sec) Phase (deg) Magnitude () Figura 8. Diagrama de Bode para o Exemplo 5 Exemplo 6: Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é mostrado na Figura 9. 5 Gm 5.58 (at.6 rad/sec), Pm 4.8 deg (at.7787 rad/sec) Phase (deg) Magnitude () Figura 9. Diagrama de Bode para o Exemplo 6

13 Seja um sistema com realimentação unitária. Considere que o diagrama de Bode mostrado abaixo foi obtido para este sistema em malha aberta e resolva os dois exercícios que seguem. Phase (deg) Magnitude () Exercício a) Determine as margens de ganho e de fase, indicando no gráfico a obtenção destes valores. Conclua sobre a estabilidade deste sistema explicando detalhadamente o que pode ou deve ser feito para que o sistema seja estável em malha fechada; b) Determine os valores dos coeficientes de erro. c) Esboce a curva de resposta deste sistema em malha fechada para uma entrada em degrau de amplitude (calcule todos os valores possíveis); d) Esboce a curva de resposta deste sistema em malha fechada para uma entrada em rampa de inclinação (calcule todos os valores possíveis); e) Considere agora que variando apenas o ganho do sistema deseja-se obter uma margem de fase de 6 o. Determine o ganho pelo qual deve ser multiplicado o módulo do sistema para obter tal margem de fase.

14 4 Exercício a) Determine a função de transferência para este sistema; b) A partir da função de transferência obtida, utilize o critério de Routh para analisar a estabilidade deste sistema em malha fechada. Compare o resultado com aquele obtido no item (a) do Exercício ; c) Ainda utilizando a FTMF, esboce a curva de resposta deste sistema em malha fechada para entradas em degrau de amplitude. Compare o resultado com aquele obtido no item (c) do Exercício. Exercício : Analise a estabilidade do sistema cujo diagrama de Bode é apresentado abaixo. -4 Phase (deg) Magnitude ()

15 5 Exercícios: Phase (deg) Magnitude () Step Response. Amplitude Time (sec)

16 6 6 5 Phase (deg) Magnitude () Step Response Amplitude Time (sec)

17 7 + _ 8( s + ) s( s + ) 6 Gm Inf, Pm 69.5 deg (at.8 rad/sec) 5 4 Phase (deg) Magnitude () Root Locus System: sys Gain: Pole: i Damping:.746 Overshoot (%):.97 :.4 Imag Axis.4 Step Response System: sys Time (sec):.75 Amplitude: Real Axis Amplitude Time (sec).6