INTRO ao CONTROLO. 1º semestre 2013/2014. Transparências de apoio às aulas teóricas. Critério de Nyquist. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal

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1 INTRO ao CONTROLO º semestre 3/4 Transparências de apoio às aulas teóricas Critério de Nyquist Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores /Cap.

2 Sumário Cap. Critério de Nyquist Introdução ao Critério de Nyquist Teorema de Cauchy Desenho do diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist e estabilidade Margem de Fase e Margem de Ganho Diagrama de Nyquist de sistemas com atraso Referências G. Franklin, J.david Powell, Abbas Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice Hall, 6 th Edition (Sections ) /Cap.

3 Introdução Cap. Critério de Nyquist O que é o Critério de Nyquist? Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a. Que tipo de análise? Da resposta em frequência da f.t.c.a. Resposta em frequência da f.t.c.a. Critério de Nyquist Estabilidade do sistema em cadeia fechada Localização dos pólos da f.t.c.f. relativa/ eio imaginário Analogia com Root- Locus Resposta transitória Erro em regime estacionário Localização dos pólos da f.t.c.a. Root-Locus Localização dos pólos da f.t.c.f. 3/Cap.

4 Introdução Cap. Critério de Nyquist O que é o Critério de Nyquist? Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a. Método gráfico Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem avaliar eplicitamente os pólos da f.t.c.f. Dá indicações sobre estabilidade relativa Margem de ganho Margem de fase Parte do conhecimento da f.t.c.a. Usa resultados da teoria das funções compleas (Teorema de Cauchy) para estudar a eistência de zeros de G(s)H(s) no semi-plano compleo direito ou sobre o eio imaginário. 4/Cap.

5 Nomenclatura Cap. Critério de Nyquist sistema de controlo em cadeia fechada R(s) G c (s) G(s) C(s) _ H(s) (s) G c função de transferência do compensador situação que irá ser tratada R(s) _ G(s) C(s) por redefinição de G(s) é sempre possível passar de um diagrama para outro H(s) Nomenclatura f.t.cadeia acção G(s) f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) G(s)H(s ) f.t.cadeia retroacção H(s) G(s) f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) G(s)H(s) equação característica G(s)H(s) 5/Cap.

6 Teorema de Cauchy Cap. Critério de Nyquist F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, ecepto num número finito de pontos. A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno. O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s). plano s s F (s ) plano F(s) s s 3 F(s) F(s ) v F(s 3 ) Contorno A Contorno B descrito num determinado sentido F(s) (s z (s p )(s z )(s p )... )... descrito no mesmo sentido ou em sentido contrário ao contorno A 6/Cap.

7 Teorema de Cauchy: eemplos clockwise zero no eterior do contorno A clockwise Contorno B não contém a origem pólo no eterior do contorno A counterclockwise Contorno B não contém a origem zero no interior do contorno A clockwise Contorno B contém a origem pólo no interior do contorno A pólo e zero no interior do contorno A counterclockwise Contorno B contém a origem 7/Cap. counterclockwise Contorno B não contém a origem

8 Teorema de Cauchy: enunciado Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio. P número de pólos de F(s) no interior do contorno A Z número de zeros de F(s) no interior do contorno A N número de voltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem. N Z P 8/Cap.

9 Teorema de Cauchy: interpretação plano s F(s) (s (s z)(s z) p )(s p )(s p 3 ) plano F(s) s F(s) F (s ) o o z z p p p 3 v Contorno A Contorno B Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros no eterior de A têm uma variação líquida de º o argumento dos vectores associados aos zeros no interior de A têm uma variação de 36º. o argumento dos vectores associados aos pólos no interior s a percorrer o contorno A de A têm uma variação de 36º. arg F(s) arg(s z arg(s p ) arg(s z ) arg(s p ) O argf(s) tem uma variação de (-)*36º voltas em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio ) arg(s p 3 9/Cap. )

10 Teorema de Cauchy: interpretação F(s) (s z (s p )(s z )(s p )...(s z )...(s p m n ) ) Z zeros de F(s) no interior do contorno A P pólos de F(s) no interior do contorno A Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio O argf(s) tem uma variação de (Z-P)*36º em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio N N nº de voltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio Z P /Cap.

11 Critério de Nyquist Cap. Critério de Nyquist Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da estabilidade da f.t.c.f.? avaliar da eistência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d. G(s) G(s)H(s) avaliar da eistência de raízes de G(s)H(s) no s.p.c.d. avaliar da eistência de zeros de G(s)H(s) no s.p.c.d. j plano s F (s) G(s)H(s) plano F(s) v raio contorno de Nyquist estabilidade em c.f. j Z P N inspecção P N N Z - P Teorema de Cauchy inspecção nº de voltas em torno da origem (contadas como positivas no sentido dos ponteiros do relógio) /Cap.

12 Critério de Nyquist Cap. Critério de Nyquist Contorno de Nyquist abarca todo o s.p.c.d. F (s) G(s)H(s) N Z - P nº de voltas de G(s)H(s) em torno da origem nº de zeros de G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist nº de pólos de G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist nº de voltas de G(s)H(s) em torno de - nº de pólos de Y(s)/ R(s) (f.t.c.f.) no interior do contorno de Nyquist nº de pólos de G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist j G(s)H(s) v raio contorno de Nyquist - j inspecção P N Z N P inspecção diagrama de Nyquist nº de voltas em torno de - /Cap.

13 Critério de Nyquist: enunciado Estabilidade em cadeia fechada Z - N P Enunciado do critério de Nyquist Um sistema causal com f.t.c.a. G(s)H(s) é estável em cadeia fechada sse, quando o afio de s percorre o contorno de Nyquist num determinado sentido, o número de voltas que o afio de G(s)H(s) percorre em torno do ponto em sentido contrário é igual ao número de pólos da G(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist. 3/Cap.

14 Diagrama de Nyquist Cap. Critério de Nyquist Como esboçar o diagrama de Nyquist? contorno de Nyquist G(s)H(s) j v raio s jw, w [, [ G(jw)H(jw) j v s jw, w ],] função resposta em frequência da f.t.c.a. com representação polar pode obter-se por análise do diagrama de Bode e sua representação na forma polar G(jw)H(jw) s jw, w [, [ G( jw)h( jw) G(jw)H(jw) arg(g(jw)h(jw)) função par função ímpar Simétrico, relativamente ao eio real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eio imaginário positivo O contorno de Nyquist deve ser tal que: Abarque todo o s.p.c.d. A função G(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno 4/Cap.

15 Diagrama de Nyquist Cap. Critério de Nyquist Como esboçar o diagrama de Nyquist? contorno de Nyquist G(s)H(s) j v raio s re jθ θ [ π r, π ] G (s)h(s)? j v G(s)H(s) (s z)(s z (s p )(s p )...(s z )...(s p m n ) ) n > n m G(s)H(s) A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem m G(s)H(s) valor finito O contorno de Nyquist deve ser tal que: Abarque todo o s.p.c.d. A função G(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno 5/Cap.

16 Diagrama de Nyquist: Eemplo j R(s) _ contorno de Nyquist > P s a a a > C(s) f.t.c.a. a s a a v A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist db j a lim r re j θ a N v ZNP - O sistema em c.f. é estável para qualquer valor de > - v 6/Cap.

17 Diagrama de Nyquist: Eemplo j R(s) _ contorno de Nyquist < P s a a a > C(s) f.t.c.a. a s a a v A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist j v a lim r re j θ a - v Se >- N Z sistema em c.f. estável Se <- N ZPN sistema em c.f. instável 7/Cap.

18 Diagrama de Nyquist: Eemplo G(s)H(s) (s a)(s b)(s c) a >, b >, c > s jw, w G(s)H(s) j e abc s re jθ w, r G(s)H(s) 3π arg(g(s)h(s)) G(s)H(s) zoom w w w w w abc 8/Cap.

19 Diagrama de Nyquist: Eemplo Código Matlab ; num[ ]; den[ 6 6]; systf(num,den); nyquist(sys) G( s) H( s) ( s )( s )( s 3) 9/Cap.

20 Diagrama de Nyquist: Eemplo G(s)H(s) (s a)(s b)(s c) a >, b >, c > P - w w w w abc N ZPN Para sistema em c.f. é estável - > abc N ZPN Para o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instável /Cap.

21 Diagrama de Nyquist: Eemplo G(s)H(s) (s a)(s b)(s c) a >, b >, c > P - Qual o valor de para o qual este ponto se torna igual a? Que ponto é este? É o ponto com fase de 8º Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade /Cap.

22 Diagrama de Nyquist: Eemplo 3 R(s) _ > s C(s) P 3 - N- ZPN Sistema em cadeia fechada estável para este valor de /Cap.

23 Critério de Nyquist:Eemplo 4 R(s) _ s(s ) C(s) O contorno de Nyquist deve ser tal que: Abarque todo o s.p.c.d. A função G(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno G(s)H(s) sistema tipo > s(s ) Contorno de Nyquist duas hipóteses semi-circunferência raio ε ε w ε < < A C B r w w B < < A C ε P P r w 3/Cap.

24 Critério de Nyquist: Eemplo 4 contorno de Nyquist G(s)H(s) s(s ) contorno de Nyquist w < < ε A C B w r w C ε B < < A w r v v diagrama de Nyquist não desenhados à escala 4/Cap.

25 contorno de Nyquist Cap. Critério de Nyquist Critério de Nyquist: Eemplo 4 G(s)H(s) s(s ) contorno de Nyquist w < < ε A C B w r w C ε B < < A w r contorno de Nyquist A B C ε semi-circunferência de raio infinitesimal contorno de Nyquist π π θ, π, θ,, G(s)H(s) jθ s εe jθ jθ jθ ε ε ε ε e e ( e ) e diagrama de Nyquist θ π,, π - A B C π π Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito argumento -θ π π θ, π, - jθ diagrama de Nyquist 5/Cap.

26 Critério de Nyquist: Eemplo 4 R(s) sistema tipo _ s(s ) C(s) G(s)H(s) s(s ) diagramas de Nyquist desenhados à escala /Cap.

27 Critério de Nyquist: Eemplo 4 análise de estabilidade G(s)H(s) Cap. Critério de Nyquist s(s ) v v ponto de intersecção com o eio real? G(jw)H(jw) arg( G(jw)H(jw)) jw(jw ) 8º arg(g(jw)h(jw)) arg() arg(jw) arg(jw ) 8º 9 º arctg(w) 8º arctg (w) 45º w tg(45º ) rad/ s G(jw)H(jw) w 7/Cap.

28 Critério de Nyquist: Eemplo 4 análise de estabilidade Cap. Critério de Nyquist G(s)H(s) s(s ) < < < < P P -/ v v -/ diagrama de Nyquist não desenhados à escala < N N- ZPN ZPN- sistema estável < N ZPN N ZPN sistema instável 8/Cap.

29 Critério de Nyquist: Eemplo 5 G(s)H(s) s (s ) < < C A B P qual é a imagem desta semi-circunferência? εe jθ G( εe jθ )H( εe jθ ε ) e ε jθ Dois pólos ecluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero A π θ - θ - π B C π π Só esta análise não chega para desambiguar duas semi-circunferências com raio a tender para infinito Qual é o correcto? 9/Cap.

30 Critério de Nyquist: Eemplo 5 C < < A B D G(s)H(s) s (s ) qual é a imagem desta semi-circunferência? G( εe jθ εe jθ ε )H( εe jθ ) e ε jθ P θ θ A π - - π D π - 4 π B C π π D N C A - v B ZPN A imagem de A < O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de Confirme com o Root-Locus 3/Cap.

31 Critério de Nyquist: Eemplo 6 R(s) _ (s )(s ) (s ) C(s) Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab.5.5 Nyquist Diagrams From: U() P N? Imaginary Ais To: Y() Real Ais Chegou a Z? Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o diagrama de Nyquist Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a..5 Imag Ais Real Ais 3/Cap.

32 Critério de Nyquist: Eemplo 6 R(s) _ (s )(s ) C(s) (s ) 4 3 Bode Diagrams From: U() Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() P Frequency (rad/sec) N? Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab.5.5 Nyquist Diagrams From: U() > P N Z Imaginary Ais To: Y() Real Ais Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instável para >/3 < 3/Cap.

33 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase Cap. Critério de Nyquist R(s) _ 6 (s )(s )(s 4) C(s).5 Nyquist Diagrams From: U().5 Imaginary Ais To: Y() Real Ais P, N, Z Para o sistema em cadeia fechada é estável Root-locus Pergunta: De quanto é possível aumentar o ganho sem que o sistema se torne instável? Imag Ais Real Ais Pergunta: O sistema torna-se instável com o aumento do ganho? Resposta Sim ver Root-Locus ou Diagrama de Nyquist 33/Cap.

34 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase Cap. Critério de Nyquist R(s) _ 6 (s )(s )(s 4) C(s) Imaginary Ais To: Y() Nyquist Diagrams From: U() P, N, Z c.f. estável Real Ais Nyquist Diagrams From: U() P, N, Z c.f. instável Imaginary Ais To: Y() Real Ais 34/Cap.

35 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase Cap. Critério de Nyquist Pergunta: De quanto é possível aumentar o ganho sem que o sistema se torne instável?.5 Nyquist Diagrams From: U().5 Imaginary Ais To: Y() -.5 qual é o ganho - quando a frequência8º? Real Ais -5dB qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário? O ganho pode aumentar de até que o sistema em c.f. se torne instável /Cap.

36 Critério de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase Cap. Critério de Nyquist Pergunta: De quanto é possível aumentar o ganho sem que o sistema se torne instável? 8 Nyquist Diagrams From: U() Imaginary Ais To: Y() Real Ais G(jw)H(jw) /Cap.

37 Margem de Ganho e Margem de Fase Até aqui o diagrama de Nyquist foi usado para avaliar a estabilidade absoluta Diagrama de Nyquist permite também avaliar estabilidade relativa o proimidade do sistema relativamente à situação de instabilidade o quão próimos do eio imaginário estão os pólos do sistema em cadeia fechada o Proimidade do diagrama de Nyquist do ponto - 37/Cap.

38 Margem de Ganho e Margem de Fase MG Margem de ganho (MG) - é a variação, epressa em db, do ganho da f.t.c.a., para a fase de 8º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instável Margem de fase (Φ M ) é a variação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instável. O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para P, i.e., para sistemas em cadeia aberta estáveis. 38/Cap.

39 Margem de Ganho e Margem de Fase Margem de Ganho é o inverso do módulo da f.t.c.a., G(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. introduz uma rotação de 8º MG G(jw)H(jw) w w π Margem de Fase é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e 8º quando G(jw)H(jw) β Φ 8º β M ( G( jw) H( jw) ) G( jw) H ( ) jw arg Determinação das margens de estabilidade Diagrama de Nyquist Diagrama de Bode 39/Cap.

40 Margem de Ganho e Margem de Fase R(s) _ 6 (s )(s )(s 4) C(s).5 Nyquist Diagrams From: U() Imaginary Ais To: Y() α Real Ais - MG db Φ M /Cap.

41 Margem de Ganho e Margem de Fase Valores convenientes para uma boa estabilidade relativa " 3º<FM<6º " MG>6dB 4/Cap.

42 Margem de Ganho e Margem de Fase G(s)H(s) s(s )(s ) P.5 Nyquist Diagrams From: U()..5 /MG. Imaginary Ais To: Y() Real Ais /MG Condições de estabilidade: Se MG> sistema em c.f. estável Se MG< sistema em c.f. instável Se MG sistema em c.f. marginalmente estável φ Μ < Se Φ M >º sistema em c.f. estável Se Φ M <º sistema em c.f. instável Se Φ M º sistema em c.f. marginalmente estável 4/Cap.

43 Margem de Ganho e Margem de Fase Eemplo Sistema com retroacção unitária. Qual é o valor de para o qual a margem de fase é de 45º? 4 G(jw) db w(rad/s) arg(g(jw)) (graus) w(rad/s) Desenhe o diagrama de Nyquist Calcule o valor da margem de ganho para esse valor de Identifique o sistema em cadeia aberta 43/Cap.

44 Margem de Ganho e Margem de Fase Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG> e Φ M >º É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e avaliar a estabilidade com base no envolvimento do ponto j. Caso Para sistemas de ª e ª ordem, em que não eiste cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eio real negativo, a MG é sempre infinita. Caso Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eio real negativo. Caso 3 Sistemas em c.a. de fase não mínima w π3 w π w π Há 3 valores de frequência para os quais a fase da f.t.c.a. é de 8º 44/Cap.

45 Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento Cap. Critério de Nyquist Para sistema de ª ordem, sem zeros, que valor deve ter a margem de fase (especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia fechada apresente uma certa sobreelevação (especificação no domínio do tempo) na resposta ao escalão? R(s) _ G(s) wn s(s ζw n ) C(s) f.t.cadeia fechada C(s) R(s) s w ζw n n s w n Margem de fase G (jw) 4 w wn ζ 4ζ Φ M arg G(jw 8º argg(jw w ) 9º arctg ζw ) 9º arctg ζ ζ n 4ζ 4 45/Cap.

46 Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento Cap. Critério de Nyquist Retirado de G.Franklin, J. Powell, A. Naeini Feedback Control of Dynamic Systems 46/Cap.

47 Sistemas com um atraso Cap. Critério de Nyquist Retirado de E. Morgado Controlo Teto de apoio produção de fibra óptica Ajuste do diâmetro do orifício da fieira d Em qualquer dos casos surge um atraso Condução do carro atraso tempo de reacção do condutor Produção fibra óptica atraso de transporte a acção de controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica Atraso τ traduzido por sτ e De que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na cadeia fechada? 47/Cap.

48 Sistemas com um atraso: Eemplo R(s) _ e sτ G(s) C(s) G (s) τ e sτ G(s) G(s) 5 s(s )(s ) G (jw) e jwτ G(jw) τ função resposta em frequência G τ(jw) G(jw) O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência arg( G (jw)) wτ arg(g(jw)) τ O atraso introduz na fase uma componente que varia linearmente com w A margem de fase diminui A margem ganho diminui 48/Cap.

49 Sistemas com um atraso: Eemplo R(s) e sτ G(s) C(s) _ G(s) s(s 5 )(s ), τ Para o mesmo valor de, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relativa, para o mesmo valor de 49/Cap.

50 Sistemas com um atraso: Eemplo R(s) _ e sτ G(s) C(s) G(s) 5 s(s )(s ) τ τ 5/Cap.