EXAME No.1 ; TESTE No.2 CONTROLO-MEEC PROVAS-TIPO, Jan. 2018

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1 COTAÇÕES TESTE N0.2 Q3-3.1 [3v], 3.2 [2v], 3.3 [2v], 3.4 [1v] Q4-4.1 [6v], 4.2 [2v], 4.3 [3v], 4.4 [1v] EXAME No.1 ; TESTE No.2 CONTROLO-MEEC PROVAS-TIPO, Jan valores 12 valores EXAME Q1-1.1 [1v], 1.2 [2v], ], 1.3 [2v] Q2-2.1[1v], 2.2 [1v], 2.3 [2v] Q3-3.1 [2v], 3.2 [3v] Q4-4.1 [4v], 4.2 [1v], 4.3 [1v] 5 valores 4 valores 5 valores 6 valores Q.1 A figura 1 ilustra o modelo físico simplificado de um manipulador robótico que roda no plano horizontal X-Y, em torno do eixo Z. O manipulador tem um único grau de liberdade e movimenta-se sob a acção de um binário externo T m gerado por um motor eléctrico. No seu movimento transporta uma massa M e está sujeito à acção da gravidade. O ângulo θ é medido em relação à vertical do lugar. Fig.1. Manipulador Robótico Q1.1 Modelação. Mostre que a dinâmica do manipulador com entrada T m e saída θ é descrita pela equação diferencial 2 d θ dθ J = D MgL sen( θ) + T 2 m dt dt onde J e L são respectivamente o momento de inércia e o comprimento do manipulador, -Ddθ/dt é o binário de atrito, e -MgLsen(θ) é o binário provocado pela força gravítica (despreza-se a massa do manipulador comparada com M). Os valores destes parâmetros são g=10 m s -2 ; J = 1 Kg m 2 ; D = 9 N m s ; M = 4 Kg ; L = 0.5 m Pretende-se controlar com grande precisão o manipulador em torno do ponto de equilíbrio correspondente a θ 0 = π/2 + π/6. Q1.2 Cálculo das condições de equilíbrio Calcule o binário de equilíbrio T m0 correspondente a θ 0 (isto é, o binário necessário para manter o manipulador parado em θ 0 ). 1

2 Q1.3 Sistema linearizado Considere agora o sistema não linerar P nl com entrada T m e saída θ. Deduza a equação diferencial linear que relaciona δθ com δτ m, que representam respectivamente pequenas variações de θ e Τ m em torno do ponto de equilíbrio determinado por θ 0 = π/2 + π/6. Mostre que a função de transferência P(s) do sistema linearizado correspondente é dada por ΔΘ() s 1 Ps () = = ΔT ( s) ( s 1)( s+ 10) m onde ΔΘ(s) e ΔT m(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de δθ e δτ m. Recorde que sen(π/6)=1/2 e que cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b). No processo de linearização, utilize a expansão em série de Taylor da função a aproximar em torno do ponto de equilíbrio adequado. Q1.4 Prove que o sistema linearizado é instável. Para isso, calcule explicitamente a resposta do sistema a um escalão unitário na entrada δt m e mostre que é ilimitada. Q2. Pretende-se controlar a velocidade angular ω de um objecto que roda sem atrito em torno de único eixo, sob a acção de um binário aplicado u. O sistema a controlar tem a função de transferência 1/s. O sistema de controlo proposto, com retroacção de posição K p>0, está esquematizado na Figura 2. A entrada r é o sinal de referência da velocidade angular. As variáveis d e n representam respectivamente uma perturbação aplicada na entrada do sistema e ruído no sensor de velocidade angular. Fig. 2. Sistema de controlo em malha fechada: ganho proporcional Q2.1 Mostre que o sistema em malha fechada é estável. Para isso, examine os pólos da função de transferência Ω(s)/R(s). Mostre também que a resposta ω(t) do sistema a uma entrada constante r(t)=c tende assimptoticamente para c, ou seja, o erro estacionário de seguimento de um sinal constante (o denominado erro estático de posição) é igual zero. Dê uma explicação intuitiva para este facto e comente acerca da sua importância prática. Q2.2 Mostre que a resposta ω(t) do sistema a uma entrada constante d(t)=d não tende assimptoticamente para 0, ou seja, o sistema não rejeita perturbações constantes. Comente acerca da importância prática deste resultado. Numa tentativa de ultrapassar a dificuldade mencionada em Q2.2, propõe-se o sistema de controlo reformulado da Fig. 3, onde se insere o ganho integral K I>0. Fig.3. Sistema de controlo em malha fechada: ganhos proporcional e integral 2

3 Q2.3 Mostre que o sistema em malha fechada é estável para quaisquer valores positivos dos ganhos K p e K I. Para isso, examine os pólos da função de transferência Ω(s)/R(s). Examine também a estabilidade do sistema em malha fechada para o caso particular em que K p>0 varia e K I>0 varia também, mas de modo a manter sempre o quociente K I /K p =1. Recorra ao traçado do diagrama de Root-Locus e indique com clareza todos os passos (porções do diagrama sobre o eixo real, raízes múltiplas caso existam, assímptotas, e intersecções com o eixo imagináro em função de K p>0). ATENÇÃO: Começe por provar que a função de transferência do controlador é dada por K p+k I /s. Q2.4 Mostre agora que a resposta ω(t) do sistema a uma entrada constante d(t)=d tende assimptoticamente para 0, ou seja, o sistema rejeita perturbações constantes. Dê uma explicação intuitiva para este facto, que se prende com o facto de se ter introduzido acção integral antes do ponto de inserção da perturbação d. Q2.5 Mostre que a resposta ω(t) do sistema a uma entrada constante n(t)=n não tende assimptoticamente para 0, ou seja, o sistema não rejeita erros constantes de polarização introduzidos pelo sensor de medida da saída. Dê uma explicação intuitiva para este facto, e comente acerca dos requisitos exigidos para a escolha de um bom sensor. Q2.6 Suponha que se cometeu um erro na implementação do sistema de controlo da Fig. 3 e que o ganho K I se tornou negativo (mas K p se mantém positivo). Mostre, recorrendo ao traçado do diagrama de Root-Locus, que o sistema em malha fechada fica instável. À semelhança da Q2.3, examine o caso em que K p>0 varia e K I<0 varia também, de modo a manter o quociente K I /K p =-1. Q3. Pretende-se controlar o sistema com função de transferência P(s) = inserido na malha de retroação da figura 4. m(s +10) s(s 10) ; m > 0 Fig.4. Sistema de controlo em malha fechada. Q.3.1 Faça m=1. Repare que o sistema a controlar tem um polo em s=0 e outro em s=a=+10 rads -1, ou seja, o sistema em malha aberta é instável. Pretende-se projectar um controlador K(s) tal que o sistema em malha fechada seja estável. Verifique, utilizando o Teorema de Nyquist, que o controlador com estrutura simples K (s ) = k > 0 permite satisfazer o requisito indicados para k>k c>0, e calcule o valor de k c. ATENÇÃO: Justifique todos os passos. Em particular, trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e de Nyquist necessários. Traçados sem justificação não serão considerados. CUIDADO com: i) o traçado do diagrama de Bode correspondente a P(s)K(s), dado que este sistema é instável (tenha muita atenção no traçado da fase), ii) o traçado da porção do diagrama de Nyquist que se fecha por infinito, dado que P(s)K(s) é instável e tem um polo na origem. NÃO ESQUECER que a fase de -1/e jφ é igual a π φ! Q.3.2 Na alinea anterior adopte k=100 (ao qual corresponde um sistema estável em malha fechada). Suponha que m>0 é desconhecido (devido a variações não conhecidas das característica do sistema a controlar). Determine, a partir do cálculo das margens de ganho positiva e negativa do sistema em malha fechada (respectivamente G + M e G - M) qual o interval de variação de m>0 para o qual se consegue garantir que o sistema em malha fechada é estável (robustez de estabilidade 3

4 face a variações imprevistas do ganho do sistema a controlar). Calcule também a margem de fase do sistema em malha fechada. Q.3.3 Dê uma explicação intuitiva para o facto de na questão Q.3.2 a margem de ganho negativa G - M ser finita. Interprete esse facto recorrendo a uma regra muito simples do traçado do diagrama de Root-Locus. Q.3.4 O critério de Nyquist clássico enuncia condições necessárias e suficientes para que um sistema em malha fechada tenha todos os polos no semi-plano esquerdo (SPCE) aberto, isto é, na região D 0={s: Re(s)<0}. Deduza um critério de Nyquist mais geral sob a forma de condições necessárias e suficientes para que um sistema em malha fechada tenha todos os polos numa zona do plano complexo mais restrita D η ={s: Re(s)<-η, η >0}. Aplique o resultado obtido para provar que o sistema em malha fechada considerado em Q.3.1 tem os polos na região D η se e só o sistema auxiliar em malha fechada obtido com o ganho de malha kp * (s) =kp(s-η) for estável no sentido clássico. Ou seja, basta fazer uma mudança de variável que envolve a abscissa η para estudar a estabilidade na região D η desejada usando o critério clássico. Q.4 Considere o sistema de controlo da Figura 5, onde P(s) e K(s) representam respectivamente as funções de transferência do sistema a controlar e do controlador. Para além do sinal de referência r, o sistema está também sujeito à acção da perturbação d e do ruído n no sensor que mede a saída y. Fig. 5. Sistema de Controlo Q.4.1 Na figura 5, suponha que 10 P(s) = ( s 1)( s+ 10) Mostre que com um simples controlador K(s)=k >k c>0, com k c a determinar, o sistema em malha fechada é estável e satisfaz os seguintes requisitos: i) Módulo do erro estacionário de seguimento de sinais constantes de comando r (módulo do erro estático de posição) menor ou igual a 1/9. ii) Seguimento de sinais de referência r(.) na gama de frequências [0, 1] rad s -1 com erro menor ou igual a -20 db. iii) Atenuação do ruído n(.) na gama de frequências [100, 1000] rad s -1 de pelo menos -40 db iv) Margem de fase P M maior ou igual a 40 o v) Margem de ganho positiva G + M maior ou igual a +20 db. Justifique todos os passos. Em particular, trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e de Nyquist necessários. Traçados sem justificação não serão considerados. Q.4.2 Para o controlador determinado em Q.4.1, calcule a diminuição de ganho tolerável até que o sistema em malha fechada se torne instável. 4

5 Q.4.3 Suponha que existe um atraso τ>0 seg na transmissão de informação entre o controlador K(s) e o sistema a controlar P(s). Calcule o valor máximo de τ tolerado tal que o sistema de controlo determinado em Q.4.1 permaneça estável e exiba ainda uma margem de fase de pelo menos 20 0 Q.4.4 Investigue o comportamento do sistema de controlo (com o controlador determinado em Q.4.1) quando se insere um sensor com pequena largura de banda, com função de transferência p/(s+p); p=0.1 rads -1. Em particular, comente àcerca da capacidade do sistema em malha fechada de satisfazer a condição iii) da questão Q.4.1. Não esqueça de verificar se o sistema total permanece estável ou, pelo contrário, fica instável. Utilize para isso o critério de Nyquist. 5