Método do lugar das Raízes

Transcrição

1 Guilherme Luiz Moritz 1 1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná 03 de 2013

2 Objetivos Entender os objetivos do método do lugar das raízes Aprender a traçar o lugar das raízes Interpretar o gráfico traçado

3 Objetivos Entender os objetivos do método do lugar das raízes Aprender a traçar o lugar das raízes Interpretar o gráfico traçado

4 Objetivos Entender os objetivos do método do lugar das raízes Aprender a traçar o lugar das raízes Interpretar o gráfico traçado

5 Apresentação Criado em 1953 por W.R. Evans Vale tanto para sistemas contínuos quanto para sistemas discretos (transformada de laplace e Z) Estuda a evolução das raízes de uma malha de controle quando um parametro é variado Figura : Walter Evans

6 Apresentação Criado em 1953 por W.R. Evans Vale tanto para sistemas contínuos quanto para sistemas discretos (transformada de laplace e Z) Estuda a evolução das raízes de uma malha de controle quando um parametro é variado Figura : Walter Evans

7 Apresentação Criado em 1953 por W.R. Evans Vale tanto para sistemas contínuos quanto para sistemas discretos (transformada de laplace e Z) Estuda a evolução das raízes de uma malha de controle quando um parametro é variado Figura : Walter Evans

8 Parametros Qual parametro?? Qualquer um, mas geralmente se trabalha com o ganho de malha.

9 Parametros Qual parametro?? Qualquer um, mas geralmente se trabalha com o ganho de malha.

10 Apresentação do gráfico Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

11 U(S) + - K G(S) Y(S) H(S) Método Determinar a influencia de K sobre os pólos (0 < K < ) Y (S) U(S) = KG(S) 1+KG(S)H(S)

12 Método 1 + KG(S)H(S) = 0, (0 < K < ) U(S) + - K 5 S(S+20) Y(S) 1 Figura : Sistema de exemplo

13 Método 1 + KG(S)H(S) = 0, (0 < K < ) Determinar a equação de malha fechada do sistema cujos pólos são: Y (S) U(s) = 5K a S S + 5K a (1) 10 ± 100 5K a (2)

14 Método 1 + KG(S)H(S) = 0, (0 < K < ) Determinar a equação de malha fechada do sistema cujos pólos são: Y (S) U(s) = 5K a S S + 5K a (1) 10 ± 100 5K a (2)

15 Método 1 + KG(S)H(S) = 0, (0 < K < ) Determinar a equação de malha fechada do sistema cujos pólos são: Y (S) U(s) = 5K a S S + 5K a (1) 10 ± 100 5K a (2)

16 Exemplo K a s 1 s ,75-0, ,66-1, ,07-2, j7,07-10-j7, j14,14-10-j14, j 10 j

17 15 Root Locus 10 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

18 15 Root Locus 10 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 0

19 15 Root Locus 10 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 1

20 15 Root Locus 10 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 5

21 15 Root Locus 10 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 10

22 15 Root Locus 10 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 20

23 15 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 30

24 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a = 40

25 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) inf inf Real Axis (seconds 1 ) Figura : K a =

26 Não é necessário resolver a equação, basta seguir as regras de construção!!

27 Regra 1 Regra 1 Os ramos do root-locus começam nos pólos de G(S)H(S), com K = 0. Os ramos terminam nos zeros de G(S)H(S), inclusive em zeros no infinito. O número de zeros no infinito é: N z = N p N z (3) Exemplo: Suponha G(S) = s+2 s 2 e H(S) = S+5 S+4

28 Regra 1 Regra 1 Os ramos do root-locus começam nos pólos de G(S)H(S), com K = 0. Os ramos terminam nos zeros de G(S)H(S), inclusive em zeros no infinito. O número de zeros no infinito é: N z = N p N z (3) Exemplo: Suponha G(S) = s+2 s 2 e H(S) = S+5 S+4

29 Regra 1 Para encontrar os pólos, achar as raízes de 1 + K (S+2)(S+5) = 0, com K = 0 S 2 (S+4), com K = 0, então: S 2 (S + 4) = 0 e Pólos de G(S)H(S) s 1 = s 2 = 0; s 3 = 4 S 2 (S + 4) + K (S + 2)(S + 5) = 0 (4)

30 Regra 1 Para encontrar os zeros, encontrar s tal que K, reescrevendo 4: K = S2 (S + 4) (S + 2)(S + 5) (5) Para K, temos: Zeros de G(S)H(S) S 2 S 5 S

31 Regra 2 Regra 2 As regiões do eixo real à esquerda de um número ímpar de pólos mais zeros pertence ao lugar das raízes.

32 Regra 2 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

33 Regra 2 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

34 Regra 2 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

35 Regra 3 Regra 3 Quando K se aproxima de +, os ramos do root locus assintotam retas com inclinação: sendo i = 0, ±0, ±1, ±2,... (2i + 1) 180 o N p N z (6)

36 Regra 3 Exemplo: θ = (2i + 1) 180o 3 0 KG(S)H(S) = K S(S + 1)(S + 4) (7) N p N z = 3 (8) = (2i + 1)60 o, i = 0, i = ±1, ±2,... (9) i θ 0 60 o o o o o o

37 Regra 4 Regra 4 O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.) da configuração de pólos e zeros, ou seja: polos C.G. = zeros (10) N p N z

38 Regra 4 Exemplo: C.G. = K KG(S)H(S) = S(S + 1)(S + 4) polos zeros (0 1 4) 0 = = 5 N p N z (11) (12)

39 Regra 4 Root Locus /3 5 Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 )

40 Regra 5 Regra 5 Os pontos nos quais os ramos do root locus deixam ou entram o eixo real são determinados utilizando-se a seguinte relação d [ (G(S)H(S) 1] = 0 (13) dt

41 Regra 5 Exemplo: G(S)H(S) = 1 S(S + 1)(S + 4) (14) (G(S)H(S)) 1 = S(S + 1)(S + 4) = S 3 + 5S 2 + 4S (15) d [ (G(S)H(S) 1] = d [ ] S 3 + 5S 2 + 4S = 3S S + 4 = 0 dt dt (16) s 1 = 0, 4648 e s 2 = (não pertence ao root locus)

42 Regra 5 Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Figura : Exemplo de root locus para a regra 5

43 Regra 6-7 Regra 6 As ramificações do root locus deixam ou entram no eixo real com ângulos de ±90 o Regra 7 O root locus é simétrico em relação ao eixo real porque as raízes são complexos conjugados

44 Regra 8 Regra 8 Para se determinar o ganho K associado a um ponto p do root locus deve-se utilizar a condição de módulo da equação: KG(S)H(S) = 1 (17)

45 Regra 8 Exemplo: Considere a função de transferencia: 1 G(S)H(S) = s(s + 1)(s + 2) Determinar o valor de K associado aos pólos complexos conjugados pertencentes ao root-locus dado por: s 1,2 = 0, 267 ± j1, 22 (18) KG(S)H(S) = 1 (19) K 1 s(s + 1)(s + 2) = 1 s= 0,267+j1,22 (20) K = 7, 02 (21)

46 Regra 9-10 Regra 9 Os ângulos de saída ou chegada de pólos aos zeros são determinados a partir da condição geral de ângulos Regra 10 O ponto onde o root-locus cruza o eixo imaginário é obtido fazendo-se s = jω na equação característica

47 Regra 11 Regra 11 Se pelo menos dois ramos do root-locus vão para o infinito, então a soma dos pólos de malha fechada correspondente a um mesmo K é uma constante independente de K

48 Regra 11 1 Exemplo: Considere o sistema G(S)H(S) = s(s+1)(s+2) que contém 3 ramos que vão para infinito. Assim: = (22) K =0 polos K =6 polos = j 2 + j 2 + σ (23) σ = 3 (24)

49 Trace o root locus do sistema realimentado G(S)H(S) = K s 3 + 3s 2 + 2s (25)