Diagrama de Lugar das Raízes (Root-Locus)

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1 Diagrama de Lugar das Raízes (Root-Locus) Carlos Eduardo de Brito Novaes 8 de outubro de 202 Introdução O diagrama do lugar das raízes é uma ferramenta que nos permite determinar graficamente a posição dos polos de malha fechada e o correspondente ganho K que garante esta posição. A bibliografia recomendada inclui o livro texto, [] e também um ótimo livro de exercícios resolvidos [2]. O projeto de controladores pelo método do lugar das raízes pode ser resumido de modo grosseiro em obter o diagrama adequado, de modo a alocar os polos dominantes de malha fechada em uma posição conveniente (garantindo uma resposta temporal satisfatória) e conseguir ainda um ganho de malha aberta suficientemente elevado de modo a assegurar que o erro estacionário seja também satisfatório. Outros fatores também devem ser levados em conta, como o esforço de controle e a exatidão do modelo (um projeto adequado deve acomodar as variações e incertezas da planta e também não deve excitar as dinâmicas não modeladas), mas por hora vamos nos preocupar apenas com o traçado do diagrama de lugar das raízes. 2 Definição Figura 2.: Sistema de Controle A figura 2. apresenta a estrutura de realimentação considerada para o traçado do diagrama de lugar das raízes. A função de transferência de malha fechada é: F T MF (s) = K G (s) + K G (s) onde G (s) = N (s) D (s) Após algumas operações algébricas:

2 2. Exemplos visuais 2 DEFINIÇÃO F T MF (s) = = = = K N (s) D (s) + K N (s) D (s) K N (s) D (s) D (s) D (s) + K N (s) D (s) K N (s) D (s) D (s) + K N (s) D (s) K N (s) D (s) + K N (s) fica então claro que pelo ajuste do ganho K, é possível alterar os polos de malha fechada. Mais ainda, podemos verificar que se o ganho K tende a zero, o denominador de malha fechada tende ao denominador de malha aberta e consequentemente, os polos de malha fechada tendem aos polos de malha aberta. Por outro lado, se forçarmos valores muito elevados de K, o denominador de malha fechada tende a um múltiplo K do numerador de malha aberta, observamos então que para K elevado, a posição dos polos de malha fechada tende para os zeros de malha aberta. De fato, ao variar o ganho K desde zero até infinito, os polos de malha fechada vão se deslocando por caminhos que começam em um polo de malha aberta e terminam ou em um zero de malha aberta ou em pontos infinitamente distantes da origem (chamados de zeros infinitos ou zeros no infinito). Esses zeros localizados no infinito surgem quando a planta tem um número de zeros inferior ao número de polos. Desta forma, faltam zeros de malha aberta para fechar os caminhos do lugar das raízes (que sempre começam em um polo de malha aberta e terminam em um zero de malha aberta ou um zero no infinito). Para ilustrar essas ideias, vamos demonstrar alguns traçados obtidos pelo software Matlab. 2. Exemplos visuais 2.. Para traçar o diagrama de lugar das raízes de uma planta com função de transferência digitamos na janela de comando do Matlab: rlocus([], [ 2]) G (s) = s + 2 onde rlocus é o comando para o traçado do diagrama de lugar das raízes. Este comando recebe dois parâmetros que são o numerador e o denominador da função de transferência, para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientes de um polinômio, assim, o numerador é representado como [], e o denominador é representado como [ 2] (equivalente a s + 2). A figura 2.2 ilustra o resultado. Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, o polo vai se deslocando de s = 2 para s = 3, s = 4 e vai assumindo valores mais negativos até teoricamente s = (é um zero no infinito ). Este resultado pode ser facilmente obtido ao se avaliar a função de transferência de malha fechada, que será: F T MF (s) = K s K verifica-se neste caso que o polo de malha fechada esta localizado em s = 2 K, informação que é comprovada pelo gráfico da figura 2.2. apesar de que esta noção não é a mais exata no sentido matemático 2

3 2. Exemplos visuais 2 DEFINIÇÃO Figura 2.2: Diagrama do lugar das raízes de G (s) =, traçado pelo Matlab. s Para traçar o diagrama de lugar das raízes de uma planta com função de transferência digitamos na janela de comando do Matlab: rlocus([ 5], [ 2]) G (s) = s + 5 s + 2 Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientes de um polinômio, assim, o numerador é representado como [ 5] (equivalente a s+5), e o denominador é representado como [ 2] (equivalente a s + 2). A figura 2.3 ilustra o resultado. Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, o polo vai se deslocando de s = 2 para s = 5. De fato, neste caso o diagrama de lugar das raízes termina em um zero de malha aberta (s = 5) Este resultado pode ser facilmente obtido ao se avaliar a função de transferência de malha fechada, que será: F T MF (s) = K s 2 + 6s K verifica-se neste caso que o polo de malha fechada esta localizado em s = 2 + 5K, informação que é comprovada K + pelo gráfico da figura Para traçar o diagrama de lugar das raízes de uma planta com função de transferência G (s) = (s + 2) (s + 4) = s 2 + 6s + 8 digitamos na janela de comando do Matlab: rlocus([], [ 6 8]) Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientes de um polinômio, assim, o numerador é representado como [], e o denominador é representado como [ 6 8] (equivalente a s 2 + 6s + 8). A figura 2.4 ilustra o resultado. 3

4 2. Exemplos visuais 2 DEFINIÇÃO Figura 2.3: Diagrama do lugar das raízes de G (s) = s + 5, traçado pelo Matlab. s + 2 Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, os polo se deslocam de s = 2 para s = j e de s = 4 para s = j. Este resultado ainda pode ser obtido ao se avaliar a função de transferência de malha fechada, que será: F T MF (s) = Ks + 5K (K + ) s K resolvendo a equação de segundo grau, verifica-se neste caso que os polos de malha fechada estão localizados em s = 3 ± K, informação que é comprovada pelo gráfico da figura Para traçar o diagrama de lugar das raízes de uma planta com função de transferência G (s) = s + 5 (s + 2) (s + 4) = s + 5 s 2 + 6s + 8 digitamos na janela de comando do Matlab: rlocus([ 5], [ 6 8]) Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientes de um polinômio, assim, o numerador é representado como [ 5], e o denominador é representado como [ 6 8]. A figura 2.5 ilustra o resultado. Podemos verificar que a medida que o ganho K aumenta, os polo se deslocam de s = 2 para s = 3 j e de s = 4 para s = 3 + j. Este resultado ainda pode ser obtido ao se avaliar a função de transferência de malha fechada, que será: F T MF (s) = Ks + 5K s 2 + (6 + K) s K resolvendo a equação de segundo grau, verifica-se neste caso que os polos de malha fechada estão localizados em s = 6 + K ± K 2 8K + 4, informação que é comprovada pelo gráfico da figura

5 3 FERRAMENTAS PARA O TRAÇADO DO DIAGRAMA DE LUGAR DAS RAÍZES Figura 2.4: Diagrama do lugar das raízes de G (s) = s 2, traçado pelo Matlab. + 6s Para traçar o diagrama de lugar das raízes de uma planta com função de transferência G (s) = (s + 5) (s + 7) (s + 2) (s + 4) = s2 + 2s + 35 s 2 + 6s + 8 digitamos na janela de comando do Matlab: rlocus([ 2 35], [ 6 8]) Para indicar o numerador e o denominador o Matlab utiliza uma nomenclatura onde um vetor representa os coeficientes de um polinômio, assim, o numerador é representado como [ 2 35], e o denominador é representado como [ 6 8]. A figura 2.6 ilustra o resultado. Ainda é possível obter este resultado analiticamente, porém, à medida em que o denominador vai ficando mais complexo é necessária a resolução de uma equação de grau mais elevado. 3 Ferramentas para o traçado do diagrama de lugar das raízes Hoje em dia podemos utilizar inúmeras ferramentas computacionais para o traçado do diagrama de lugar das raízes, como o software Matlab ou equivalentes gratuitos como o SciLab ou o GNU-Octave Existem ainda programas específicos para esta finalidade, como o aplicativo RootLocs disponível para Windows e Mac OS X. Entretanto, no passado essas ferramentas não eram disponíveis e o traçado do diagrama do lugar das raízes era feito seguindo algumas regras. Conhecer estas regras hoje em dia ainda é importante para compreender em que aspectos um compensador mudará o caminho do lugar das raízes original. Sendo assim, ao saber traçar na mão um esboço do diagrama do lugar das raízes, o projetista compreende a influência dos polos e zeros de um compensador e sabe como alocar estes de modo a obter um comportamento adequado. Utiliza-se então as ferramentas computacionais para testar o sistema de controle projetado e realizar pequenos ajustes. 5

6 4 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Figura 2.5: Diagrama do lugar das raízes de G (s) = 4 Fundamentos Matemáticos s + 5 s 2, traçado pelo Matlab. + 6s + 8 Existem algumas regras que permitem o traçado manual do caminho do lugar das raízes, todas possuem um fundamento matemático. Vamos verificar alguns desses fundamentos. 4. Condições de Módulo e Fase Ao avaliarmos as raízes do denominador de malha fechada + K G (s), teremos: + K G (s) = 0 K G (s) = Cabe lembrar que K é um número real positivo 2 e que G (s) é a função de transferência de malha aberta podendo ser descrita pela razão entre o produto de monômios do numerador (representando os zeros) e o produto de monômios do denominador (representando os polos). Além disso, se existirem raízes complexas em G (s), elas sempre ocorrerão em pares complexos conjugados. Se substituirmos os polos e zeros de G (s) por suas representações vetoriais em coordenadas polares, observaremos: K G (s) = 80 K G (s) = como sabemos que K possui fase nula, a igualdade só é satisfeita nos pontos do plano complexo onde G (s) = 80 (ou seja, a fase de G (s)é igual a 80 graus). Se encontrarmos os pontos onde G (s) = 80 teremos traçado o diagrama de lugar das raízes. Assim, um ponto s = σ + γj é lugar das raízes se: 2 poderíamos avaliar para K<0, entretanto isso não é usual G (s) s=σ+γj = 80 (4.) 6

7 4. Condições de Módulo e Fase 4 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Figura 2.6: Diagrama do lugar das raízes de G (s) = s2 + 2s + 35 s 2, traçado pelo Matlab. + 6s + 8 Esta condição da equação 4. é conhecida como condição de fase. Por outro lado, se conhecemos um ponto do plano complexo, s = σ+γj, que é lugar das raízes, podemos determinar qual o ganho K que aloca os polos de malha fechada neste ponto aplicando: K G (s) s=σ+γj = (4.2) Esta condição da equação 4.2 é conhecida como condição de módulo. Podemos sempre determinar a fase e o módulo de G (s) em um dado ponto do plano complexo σ + γj fazendo s = σ + γj. 4.. Determinação gráfica da fase Conforme nossa conveniência, podemos também determinar a fase utilizando um método gráfico. Para encontrar a fase graficamente devemos observar que G (s) pode ser descrita por: G (s) = G (σ + γj) = Nz i= (s + z i) Np i=j (s + p j) Nz i= (σ + γj + z i) Np i=j (σ + γj + p j) Mas para determinar a fase, estamos interessados apenas na contribuição angular, assim: G (s) = N p N z (σ + γj + z i ) (σ + γj + p i ) i= i=j 7

8 4.2 Ângulos de partida e chegada 4 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ou seja, a fase de G (s) será igual à soma das contribuições angulares (ẑ i ) de cada um dos zeros da função de transferência de malha aberta (FTMA) menos a soma das contribuições angulares ( ˆp i ) dos polos da FTMA (malha aberta). Para determinar graficamente a contribuição angular de um polo ou de um zero, devemos traçar uma reta unindo o polo em questão com a origem. A contribuição angular será a inclinação desta reta. Por exemplo G (s) = s 2 + 0s + 29 s 3 + 0s s + 64 = (s j) (s + 5 2j) (s + 2) (s + 4 4j) (s j) medimos as contribuições angulares para um ponto localizado em s = 0 + 3j conforme a figura 4. Figura 4.: Exemplo de como são medidas as contribuições angulares de polos e zeros Assim, a contribuição angular no ponto s = 0 + 3j será: 4.2 Ângulos de partida e chegada G (s) = ẑ + ẑ 2 ˆp ˆp 2 ˆp 3 Em uma vizinhança de qualquer um dos polos ou zeros de malha aberta, existirá um conjunto de pontos que é lugar das raízes. Podemos determinar o ângulo com que o caminho do lugar das raízes (CLR) parte de um polo de malha aberta e também podemos determinar o ângulo com que o CLR chega a um zero de malha aberta. Já vimos que se um ponto faz parte do CLR, a fase de G (s) neste ponto é 80 graus. Entretanto, se imaginarmos que o ponto em questão esta muito próximo a um polo ou a um zero fica então evidente que a contribuição angular dos demais polos/zeros neste ponto é praticamente a mesma, para comprovar, verifique a figura 4.. Escolha por exemplo dois pontos próximos ao polo de malha aberta p, p,d à direita e outro, p e à esquerda, então verifique que os ângulos ẑ, ẑ 2, ˆp 2 e ˆp 3 são praticamente os mesmos para qualquer um dos dois casos. Já o ângulo ˆp será 80 graus em p e e 0 graus em p d. Sendo assim, pode-se determinar o ângulo de partida (neste caso p d ) como o ângulo que composto com as contribuições angulares dos demais elementos (os ângulos ẑ, ẑ 2, ˆp 2 e ˆp 3 ) resultem 80 graus. Ou seja, calculamos a contribuição angular de todos os demais elementos em s = p e subtraímos (ou somamos, indiferentemente 3 ) 80 graus. Portanto, o ângulo de partida do polo em p (na figura 4.) será ẑ + ẑ 2 ˆp 2 ˆp 3 3 observe que uma reta a um ângulo de 80 graus recai na mesma posição que uma reta a -80 graus. 8

9 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES 4.2. Ângulos de partida e chegada no eixo real No eixo real, as contribuições angulares dos polos e zeros complexos conjugados se anula (verifique na figura 4., para qualquer ponto no eixo real), só restando as contribuições angulares dos polos e zeros localizados no próprio eixo real (e que assumirá apenas dois valores, ou 80 ou 0 graus). Desta forma, o traçado do lugar das raízes no eixo real é muito simplificado e se limita a preencher os locais do eixo real entre dois elementos (polos ou zeros) a partir do elemento com maior parte real (maior considerando o sinal, portanto > 2). 5 Regras para o traçado manual do diagrama do lugar das raízes As regras que serão apresentadas são justificadas pelos fundamentos matemáticos estudados anteriormente.. Escrever a equação característica: (a) Devemos escrever a equação característica, + K G (s) = 0, na seguinte forma + K (s + z ) (s + z 2 ) (s + z r ) (s + p ) (s + p 2 ) (s + p q ) = 0 2. Localizar os polos e zeros de malha aberta: (a) Desenhe no gráfico todos os polos e zeros de malha aberta (usualmente representamos polos por um x e zeros por um o ). 3. Localizar os zeros no infinito, quando houverem: (a) Os zeros no infinito serão em número de N p N z, número de polos de malha aberta menos o número de zeros de malha aberta. (b) Estarão localizados no final de retas (chamadas assintotas) que se iniciam no ponto σ a σ a = polos finitos zeros finitos N p N z (c) As assintotas partirão de σ a com ângulos de θ a (N é um número inteiro) e o resultado será em graus. θ a = (2N + ) 80 N p N z 4. Traçar a parte do caminho do lugar das raízes (CLR) que esta sobre o eixo real: (a) Sobre o eixo real, as contribuições de polos e zeros complexos conjugados se anula, restando apenas a contribuição dos polos e zeros que também estão sobre o eixo real. Uma forma simples de realizar este traçado é localizar no eixo real os polo e zeros. i. Começando pelo elemento maior (o mais positivo), trace uma reta no sentido negativo (diminuindo) até encontrar outro elemento (seja polo ou zero). ii. Continue em sentido negativo, mas sem traçar reta alguma, até encontrar o próximo elemento. iii. Continue em sentido negativo, traçando novamente uma reta. iv. Repita alternando o traçado a cada vez que um novo elemento for encontrado, até que todos os elementos sobre o eixo real tenham sido alcançados. Observe que pode haver um zero em s =, neste caso é conveniente traçar um pouco mais adiante (mas não precisa chegar no infinito). 5. Determine o ângulo de partida dos polos e zeros complexos conjugados: (a) Localize o polo ou zero complexo em questão (b) Calcule a contribuição angular neste ponto, ignorando o elemento que ai se localiza e somando 80 graus. Por exemplo, se houver um polo em s = 4 + 4j, haverá obviamente o seu conjugado em s = 4 4j e vamos supor que exista mais um em s = 6. A contribuição angular no ponto s = 4 4j será calculada considerando apenas os elementos em s = 4+4j e em s = 6. O ângulo de partida será esta contribuição angular somada a 80 graus (ou subtraída, se for mais conveniente). 9

10 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES (c) desenhe um vetor indicando este ângulo de partida sobre o elemento calculado. 6. Trace um primeiro esboço do CLR. (a) Lembre-se que cada ramo do CLR começa em um polo e termina em um zero. (b) O CLR é simétrico em relação ao eixo real. (c) Poderão existir pontos de separação, podendo ser de chegada ou saída, sobre o eixo real (normalmente ocorrem entre dois polos ou entre dois zeros). Para localizar aproximadamente estes pontos, cabe a seguinte observação. i. Polos tem o efeito de afastar o lugar das raízes em suas imediações. ii. Zeros tem o efeito de atrair o lugar das raízes em suas imediações. iii. Polos e zeros, quando estão distantes, exercem pouca influência em uma região do CLR. 7. Determine a posição dos pontos de separação: (a) Um ponto de separação σ b pode ser determinado fazendo N p i= σ b p i = N z i= σ b z i (b) A resolução da equação anterior pode levar a um polinômio de grau elevado e de difícil solução. Entretanto, um procedimento de tentativa e erro permite obter a posição de modo preciso partindo de uma estimativa inicial. Para isto, basta observar que o ponto de separação possui dois elementos mais próximos e que são mais influentes que os demais. i. Então, para todos os elementos mais afastados do ponto de separação σ b, substituímos σ b por uma estimativa. Isso leva a uma equação de segundo grau que se resolvida nos da uma nova estimativa para σ b. ii. Repete-se o processo com a nova estimativa no lugar da anterior. iii. Em geral, partindo-de de uma boa estimativa inicial nos leva a um resultado bastante preciso em apenas uma computação. 5. Exemplos 5.. Determine o esboço do lugar das raízes de: G (s) = (s + ) (s + 2) (s + 3) (s + 4). A equação característica, + K G (s) = 0, será + K (s + ) (s + 2) (s + 3) (s + 4) = 0 2. Os polos de malha aberta estão localizados em s = 2, s = 3 e s = 4. O único zero de malha aberta esta localizado em s =. Vide figura 5.. 0

11 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES Figura 5.: Exemplo 5.., indicação dos polos e zeros de malha aberta. 3. Existem zeros no infinito (a planta tem 3 polos e apenas zero, restam 2 zeros no infinito), calculamos σ a = ( 2) + ( 3) + ( 4) ( ) (2N + ) 80 = 4 e θ a = = 80N Vide figura Figura 5.2: Exemplo 5.., indicação de σ a e assintotas com ângulos θ a. 4. Traçamos o lugar das raízes no eixo real, iniciando em (o elemento mais positivo) e em sentido negativo encontramos 2, entre 2 e 3 deixamos de traçar, entre 3 e 4 voltamos a traçar. Vide figura 5.3.

12 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES Figura 5.3: Exemplo 5.., traçado do CLR no eixo real. 5. Não existem polos ou zeros complexos conjugados, então não é necessário indicar o ângulo de partida destes. 6. Traçamos o restante do lugar das raízes, verificamos que um caminho começa no polo em s = 2 e termina no zero em s =, já os caminhos que iniciam nos polos localizados em s = 3 e s = 4 terminarão nos zeros infinitos (seguindo as assintotas indicadas em linha tracejada). Neste traçado, que melhora com a prática, deve-se lembrar da regra prática de que os polos tem efeito de repelir o CLR, enquanto que os zeros tem o efeito de atrair. Além disso, o CLR é simétrico em relação ao eixo real. Vide figura 5.4. Figura 5.4: Exemplo 5.., traçado do esboço do CLR. 7. Resta agora determinar o ponto de separação no eixo real. Podemos arriscar um palpite inicial de que este ponto esta localizado próximo a s = 3, 5 e, os elementos mais próximos são justamente os polos localizados em s = 4 e s = 3, os demais elementos (o polo em s = 2 e o zero em s = ) estão mais afastados e podemos considerar que a influência deles além de menor é menos sensível à variações no ponto de separação. Assim, calcula-se (a) N p i= = N p i=, que resulta σ b p i σ b z i σ b ( 4) + σ b ( 3) + σ b ( 2) = σ b ( ). 2

13 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES (b) substituímos σ b pelo palpite inicial nos elementos mais afastados, então: i. σ b ( 4) + σ b ( 3) + 3, 5 ( 2) = 3, 5 ( ) (σ b + 3) + (σ b + 4) ii. = (σ b + 4) (σ b + 3) 2, 5, 5 2σ b + 7 iii. σb 2 + 7σ = 0, 2667 b + 2 iv. 2σ b + 7 = 0, 2667σb 2 +, 8667σ b + 3, 2 v. 0, 0404σb 2 0, 333σ b 3, 8 = 0 resultando em σ b = 3, 5332 ou σ b = 4, Obviamente o resultado que procuramos é 3, 5332 (c) repetindo o processo para o novo palpite σ b = 3, 5332 encontraremos calculamos o novo σ b = 3, 532. Os novos valores não se alteram significativamente, indicando que encontramos o valor procurado. 8. O resultado encontrado pelo software Matlab, utilizando o comando rlocus é ilustrado na figura 5.5. Observe que o traçado manual é bem semelhante ao encontrado pelo Matlab. Figura 5.5: Exemplo 5.., resultado pelo Matlab. (a) O comando específico para este caso foi: rlocus([ ], [ ]), onde o vetor [ ] representa os coeficientes do polinômio do numerador s + e o vetor [ ] representa os coeficientes do polinômio do denominador s 3 + 9s s + 24 (expansão dos monômios dados, (s + 2) (s + 3) (s + 4)) 5..2 Determine o esboço do lugar das raízes de: G (s) = (s + 5) (s + 6) (s + 2) (s + 3) (s + 4). A equação característica, + K G (s) = 0, será + K (s + 5) (s + 6) (s + 2) (s + 3) (s + 4) = 0 3

14 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES 2. Os polos de malha aberta estão localizados em s = 2, s = 3 e s = 4. Existem dois zeros de malha aberta que estão localizados em s = 5 e em s = 6. Vide figura 5.6. Figura 5.6: Exemplo 5..2, indicação dos polos e zeros de malha aberta. 3. Existe um zero no infinito (a planta tem 3 polos e 2 zeros, resta um zero no infinito), calculamos ( 2) + ( 3) + ( 4) ( 5) ( 6) (2N + ) 80 σ a = = 2 e θ a = = 360N Vide figura Figura 5.7: Exemplo 5..2, indicação de σ a e assintotas com ângulos θ a. Quando ocorre a existência de um número impar de zeros infinitos, um deles estará localizado em sobre o eixo real (garantindo a simetria). Neste caso, o único zero infinito esta sobre o eixo real e não precisaríamos calcular a sua assintota. 4. Traçamos o lugar das raízes no eixo real, iniciando em 2 (o elemento mais positivo) e em sentido negativo encontramos 3, entre 3 e 4 deixamos de traçar, entre 4 e 5 voltamos a traçar, a partir de 6 traçamos até (correspondendo a assintota calculada no passo anterior). Vide figura

15 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES Figura 5.8: Exemplo 5..2, traçado do CLR no eixo real. 5. Não existem polos ou zeros complexos conjugados, então não é necessário indicar o ângulo de partida destes. 6. Traçamos o restante do lugar das raízes, verificamos que um caminho começa no polo em s = 4 e termina no zero em s = 5, já os caminhos que iniciam nos polos localizados em s = 3 e s = 2 terminarão, um deles no zero em s = 6 e o outro no zeros infinito. Existirão então dois pontos de separação do eixo real, um entre 2 e 3 (entre os dois polos, correspondendo a dois caminhos que saem ) e outro entre 6 e (entre os dois zeros, correspondendo a dois caminhos que chegam ). Vide figura 5.9. Figura 5.9: Exemplo 5..2, traçado do esboço do CLR. 7. Resta agora determinar mais precisamente os pontos de separação no eixo real. Podemos arriscar um palpite inicial de que estes pontos estão localizados próximos a s = 2, 5 para a saída do eixo real e em s = 8 para a chegada ou retorno ao eixo real. (a) Vamos determinar o ponto de chegada, teremos N p i= σ b ( 3) + σ b ( 2) = σ b ( 5) + σ b ( 6). 5 σ b p i = N z i=, que resulta σ b z i σ b ( 4) +

16 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES (b) substituímos σ b pelo palpite inicial nos elementos mais afastados, então: i. 8 ( 4) + 8 ( 3) + 8 ( 2) = σ b ( 5) + σ b ( 6) ii = (σ b + 5) + (σ b + 6) (σ b + 5) (σ b + 6) 2σ b + iii. 0, 667 = σb 2 + σ b + 30 iv. 0, 667σb 2 6, 7833σ b 8, 5 = 2σ b + v. 0, 667σb 2 8, 7833σ b 29, 5 = 0 resultando em σ b = 8, 886 ou σ b = 5, Obviamente o resultado que procuramos é 8, 886 (c) repetindo o processo para o novo palpite σ b = 8, 886 encontraremos que o novo σ b = 9, Repetindo o processo algumas vezes encontramos σ b = 9, 7; σ b = 9, 3666; σ b = 9, 978; σ b = 0, 48 ; σ b = 0, 252; σ b = 0, 3243 e σ b = 0, A escolha inicial não foi muito adequada e a convergência esta lenta, mas verificamos que o ponto de entrada esta próximo a 0, 5 8. O resultado encontrado pelo software Matlab é ilustrado na figura 5.0. Observe que o traçado manual é semelhante ao encontrado pelo Matlab. Figura 5.0: Exemplo 5..2, resultado pelo Matlab. (a) O comando específico para este caso foi: rlocus([ 30], [ ]), onde o vetor [ 30] representa os coeficientes do polinômio do numerador s 2 + s + 30 (expansão dos monômios dados, (s + 5) (s + 6)) e o vetor [ ] representa os coeficientes do polinômio do denominador s 3 + 9s s + 24 (expansão dos monômios dados, (s + 2) (s + 3) (s + 4)) 5..3 Determine o esboço do lugar das raízes de: G (s) = (s + 2) (s + 3 3j) (s j) 6

17 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES. A equação característica, + K G (s) = 0, será + K (s + 2) (s + 3 3j) (s j) = 0 2. Os polos de malha aberta estão localizados em s = 2, s = 3 3j e s = 3 + 3j e não existem zeros de malha aberta. Vide figura 5.. Figura 5.: Exemplo 5..3, indicação dos polos e zeros de malha aberta. 3. Existem três zeros no infinito (a planta tem 3 polos e não possui zeros, restam três zeros no infinito), calculamos ( 2) + ( 3 3j) + ( 3 + 3j) σ a = = e θ (2N + ) 80 a = = 20N Vide figura Figura 5.2: Exemplo 5..3, indicação de σ a e assintotas com ângulos θ a. Quando ocorre a existência de um número impar de zeros infinitos, um deles estará localizado em sobre o eixo real (garantindo a simetria). Neste caso, também verificamos esta afirmação. 4. Traçamos o lugar das raízes no eixo real, iniciando em 2 (o elemento mais positivo) e em sentido negativo traçamos até (correspondendo a uma das assintotas calculadas no passo anterior). Observe que os polos complexos conjugados não interferem no traçado sobre o eixo real. Vide figura

18 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES Figura 5.3: Exemplo 5..3, traçado do CLR no eixo real. 5. Existem dois polos complexos conjugados localizados em s = 3±3j. Devido à simetria do CLR em relação ao eixo real, basta calcular o ângulo de partida de apenas um elemento do par complexo conjugado, o outro ângulo será tal que a simetria seja garantida. (a) Aqui podemos utilizar o procedimento gráfico, ligando os outros polos ao ponto s = 3+3j e determinando a contribuição angular neste ponto, ou, equivalentemente, pode-se calcular esta contribuição angular como sendo (que é a função de transferência de malha aberta, excluindo-se o polo (s + 2) (s j) s= 3+3j em s = 3+3j e calculada em s = 3+3j ) resultando j e cuja fase é 6, 565. Isto significa que, numa vizinhança de s = 3 + 3j, o polo localizado em s = 3 + 3j deverá contribuir com 8, 4349 (afinal 6, 565+8, 4349 = 80) e como se trata de um polo, sua contribuição será subtraída 4. Concluímos que o CLR parte do polo em s = 3+3j com ângulo igual a 8, A figura 5.4 ilustra os ângulos de partida dos polos complexos conjugados. Figura 5.4: Exemplo 5..3, ângulos de partida dos elementos complexos conjugados. 4 o polo esta no denominador e a fase final será a fase do numerador menos a fase do denominador. 8

19 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES 6. Traçamos o restante do lugar das raízes, verificamos que um caminho começa no polo em s = 3+3j com ângulo de partida de 8, 4349 e tende à assintota ilustrada. O outro CLR tem comportamento simétrico, conforme a figura 5.5. Figura 5.5: Exemplo 5..3, traçado do esboço do CLR. (a) Neste exemplo cabe ainda mais um refinamento. Observamos que alguns CLR vão cruzar o eixo imaginário, ponto a partir do qual o sistema se torna instável e para o qual podemos determinar o ganho K crítico pelo critério de estabilidade de Routh. Aplicando o critério neste caso teremos, para o denominador da FTMF: s s K 0 i. s 204 K resultando em K < 204 e K > 36. Como K é adotado positivo, a s K 0 0 instabilidade ocorre a partir de K = 204. ii. substituindo este valor na FTMF, teremos o denominador s 3 + 8s s para o qual sabemos que existem raízes com parte real nula. Neste caso, podemos substituir s por jw e aproveitar o fato que que j 2 =. Neste caso: A. s 3 + 8s s s=jw = (jw ) (jw ) (jw ) = ( j 3 W 3) + 8 ( j 2 W 2) + 30jW que resulta em jw jW 8W = 0. Podemos resolver a igualdade garantindo que a parte real e a parte imaginária sejam nulas, assim: B. jw jW = 0 pode ser escrita como W ( 30 W 2) j = 0, resultando em W = 0 ou W = ± 30 = 5, 4772 C. 8W = 0 pode ser escrita como 30 W 2 = 0 que resulta em W = ± 30 = 5, 4772 D. Da avaliação anterior concluímos que o CRL cruza o eixo imaginário em s = ±5, 4772, esta informação foi utilizada para aprimorar o desenho da figura Este CLR não possui pontos de separação no eixo real. 8. O resultado encontrado pelo software Matlab é ilustrado na figura 5.6. Observe que o traçado manual é semelhante ao encontrado pelo Matlab. (a) O comando específico para este caso foi: rlocus([], [ ]), onde o vetor [] representa os coeficientes do polinômio 5 do numerador (expansão dos monômios dados, (s + 5) (s + 6)) e o vetor [ ] representa os coeficientes do polinômio do denominador s 3 + 8s s + 36 (expansão dos monômios dados, (s + 2) (s + 3 3j) (s j)) 5 neste caso o numerador não é propriamente um polinômio pois é um valor constante e igual a, mas o Matlab interpreta o vetor [] como a representação de um polinômio do tipo s 0. 9

20 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES Figura 5.6: Exemplo 5..3, resultado pelo Matlab Determine o esboço do lugar das raízes de: G (s) =. A equação característica, + K G (s) = 0, será + (s + 4) (s + 5 j) (s j) (s + ) (s + 2 j) (s j) K (s + 4) (s + 5 j) (s j) (s + ) (s + 2 j) (s j) 2. Os polos de malha aberta estão localizados em s =, s = 2 j e s = 2 + j e os zeros de malha aberta estão localizados em s = 4, s = 5 j e s = 5 + j. Veja figura 5.7. = 0 Figura 5.7: Exemplo 5..4, indicação dos polos e zeros de malha aberta. 20

21 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES 3. Não existem zeros no infinito. 4. Traçamos o lugar das raízes no eixo real, iniciando em (o elemento mais positivo) e em sentido negativo traçamos até 4. Como não existem outros elementos no eixo real, esta etapa esta finalizada, veja a figura 5.8. Figura 5.8: Exemplo 5..4, traçado do CLR no eixo real. 5. Existem dois polos complexos conjugados localizados em s = 2 ± j. Devido à simetria do CLR em relação ao eixo real, basta calcular o ângulo de partida de apenas um elemento do par complexo conjugado, o outro ângulo será tal que a simetria seja garantida. (a) Aqui podemos utilizar o procedimento gráfico, ligando os outros polos ao ponto s = 2+j e determinando a contribuição angular neste ponto, ou, equivalentemente, pode-se calcular esta contribuição angular como (s + 4) (s + 5 j) (s j) sendo (que é a função de transferência de malha aberta, excluindo- (s + ) (s j) s= 2+j se o polo em s = 2 + j e calculada em s = 2 + j ) resultando j e cuja fase é Isto significa que, numa vizinhança de s = 2 + j, o polo localizado em s = 2 + j deverá contribuir com 5, 255 (afinal , 255 = 80) e como se trata de um polo, sua contribuição será subtraída 6. Concluímos que o CLR parte do polo em s = 2 + j com ângulo igual a 5, 255. (s + 4) (s j) (b) Para o zero em s = 5+j, pode-se calcular esta contribuição angular como sendo (s + ) (s + 2 j) (s j) (que é a função de transferência de malha aberta, excluindo-se o zero em s = 5 + j e calculada em s = 5 + j ) resultando j e cuja fase é Isto significa que, numa vizinhança de s = 5 + j, o zero localizado em s = 5 + j deverá contribuir com 87, 2737 (afinal 92, , 2737 = 80) e como se trata de um zero, sua contribuição será somada 7. Concluímos que o CLR termina no polo em s = 5 + j com ângulo igual a 87, A figura 5.9 ilustra os ângulos de partida dos polos complexos conjugados. 6 o polo esta no denominador e a fase final será a fase do numerador menos a fase do denominador. 7 o zero esta no numerador e a fase final será a fase do numerador menos a fase do denominador. s= 5+j 2

22 5. Exemplos 5 REGRAS PARA O TRAÇADO MANUAL DO DIAGRAMA DO LUGAR DAS RAÍZES Figura 5.9: Exemplo 5..4, ângulos de partida/chegada dos elementos complexos conjugados. 6. Traçamos o restante do lugar das raízes, verificamos que um caminho começa no polo em s = 2+j com ângulo de partida de 5, 255 e chega no zero em s = 5 + j com ângulo de chegada de 87, O outro CLR tem comportamento simétrico, conforme a figura Figura 5.20: Exemplo 5..4, traçado do esboço do CLR. 7. Este CLR não possui pontos de separação no eixo real. 8. O resultado encontrado pelo software Matlab é ilustrado na figura 5.2. Observe que o traçado manual é semelhante ao encontrado pelo Matlab. (a) O comando específico para este caso foi: rlocus([ ], [ 5 9 5]), onde o vetor [ ] representa os coeficientes do polinômio do numerador s 3 +4s 2 +66s+04 (expansão dos monômios dados, (s + 4) (s + 5 j) (s j)) e o vetor [ 5 9 5] representa os coeficientes do polinômio do denominador s 3 + 5s 2 + 9s + 5 (expansão dos monômios dados, (s + ) (s + 2 j) (s j)) 22

23 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS Figura 5.2: Exemplo 5..4, resultado pelo Matlab. Referências [] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed. Prentice Hall / SP, 200. [2] J. J. Distefano, A. R. Stubberd, and I. J. Willians, Sistemas de Retroação e Controle, ser. Coleção Schaum. McGrall- Hill,