CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH

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1 ENGENHARIA ELETRÔNICA DAELN UTFPR Prof. Paulo R. Brero de Campos CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH Um sistema será estável quando todos os polos estiverem no semiplano esquerdo do plano S. Exemplo: G(s) = 1 = 1 (s+a)(s+b) s 2 + s(b+a) + ab -b -a Note que os coeficientes são todos positivos O denominador da função de transferência é chamado equação característica (polinômio característico). Exemplo: G(s) = 1 = 1 (s+a)(s-b) s 2 + s(b+a) - ab -a b Note que há coeficientes negativos Exemplo: -4 0,1 + j 0,1 - j G(s) = 1 s 3 + 3,8s 2 + 0,21s +4,04 Note que todos os coeficientes são positivos (mas o sistema é instável) Note que muitas vezes não necessitamos saber os valores dos polos, apenas necessitamos saber se eles estão no semiplano direito, isto é, se existe algum polo no semiplano direito. Se isto acontecer o sistema já será instável. É possível obter algumas informações sobre a estabilidade do sistema sem resolver a equação característica.

2 Uma condição necessária para a estabilidade do sistema é que todas as raízes do polinômio característico tenham parte real negativa, que por seu turno requer que todos os coeficientes da equação característica sejam positivos. Uma condição necessária (mas não suficiente) para a estabilidade é que todos os coeficientes do polinômio característico sejam positivos. Se um dos coeficientes for zero ou negativo, então o sistema terá polos localizados fora do semiplano esquerdo. O critério de Routh mostra que uma condição necessária e suficiente para estabilidade é que todos os elementos na primeira coluna da tabela de Routh sejam positivos. Dado o polinômio característico: Q(s)= b n s n + b n-1 s n-1 + b n-2 s n b 1 s + b 0 Obtido da Função de transferência F(s)=1/Q(s) Os coeficientes do polinômio característico serão inicialmente dispostos em duas linhas, separados em coeficientes pares ou ímpares. s n b n b n-2 b n-4 s n-1 b n-2 b n-3 b n-5 s n-2 c 1 c 2 c 3 s n-3 d 1 d 2... s 1 j 1 s 0 k 1 Em seguida a tabela é preenchida por coeficientes calculados a partir das duas linhas: c 1 = b n-1 x b n-2 b n x b n-3 = b n-1 - det bn b n-2 b n-1 b n-1 b n-3 c 2 = b n-1 x b n-4 b n x b n-5 = b n-1 - det bn b n-4 b n-1 b n-1 b n-5 Repete-se este procedimento até que os demais elementos c sejam todos nulos. Forma-se então a linha d.

3 d 1 = c 1 x b n-3 b n-1 x c 2 = c 1 - det b n-1 b n-3 c 1 c 1 c 2 d 2 = c 1 x b n-5 b n-1 x c 3 = c 1 - det b n-1 b n-5 c 1 c 1 c 3 Continua-se o processo até chegar as linhas s 1 e s 0. Eles possuem um único elemento cada uma deles. Terminada a tabela, o critério de Routh estabelece que o número de raízes da equação característica com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes dos elementos da primeira coluna. O sistema será estável se todos os termos da primeira coluna possuírem o mesmo sinal. Exemplo: verifique a estabilidade do sistema MF=1/Q(s). Q(s)= s 5 +s 4 +10s 3 +72s s+240 s s s s 2 70,6 240 s 1 122,6 s Na primeira coluna há duas mudanças de sinal: de 1 para -62 e de -62 para 70,6. Portanto Q(s) possui duas raízes no semiplano direito em s. Teorema 1: Divisão de uma linha. Os coeficientes de qualquer linha podem ser multiplicados ou divididos por um número positivo sem que haja troca de sinais na primeira coluna. Teorema 2: Existência de um coeficiente nulo na primeira coluna. Quando o primeiro termo de uma linha é igual a zero e os demais não são todos nulos, os seguintes métodos podem ser utilizados: 1) Fazer na equação original s=1/x e resolver para x. O número de raízes x com parte real positiva será o mesmo que o de s com parte real positiva. 2) Multiplicar o polinômio original pelo fator (s+1) Exemplo: Q(s)= s 4 +s 3 +2s 2 +2s+5 s s s 2 0 5

4 A ocorrência do zero na primeira coluna impede o prosseguimento do cálculo. Uso do método 1: fazendo s=1/x Q(s)= (1/x) 4 + (1/x) 3 +2(1/x) 2 +2/x+5 Q(s)= 1 + x + 2x 2 +2x 3 +5x 4 A nova tabela é: x x x [original (-1/2 1)x2] x 1 5 x 0 2 Há duas trocas de sinal e com isso duas raizes no semiplano s direita. Obs: se Q(s) e Q(x) tiverem os mesmos coeficientes este método não funciona. Uso do método 2: Q(s)=s 5 + 2s 4 +3s 3 +4s 2 +7s+5 s s s [original (1 9/2) x2] s s 1 11 s 0 5 Outro método Substitui-se o termo nulo por um número positivo muito pequeno, infinitesimal ( ), e o resto da tabela pode ser calculado. Exemplo: s 3 + 2s 2 +s+2=0 s s s 1 0= s 0 2 Exemplo: s 4 + s 3 + 2s 2 +2s+5=0 s s s 2 0= 5 s 1 s 0 5 (2-5)/

5 Se o sinal acima do zero ( ) é o mesmo que o sinal do coeficiente abaixo, isto indica que há um par de raízes imaginárias. Se, entretanto, o sinal do coeficiente acima do zero ( ) é oposto do coeficiente abaixo, isto indica que há uma mudança de sinal. Teorema 3: ocorrência de uma linha nula Quando todos os coeficientes de uma linha forem iguais a zero, faz-se o seguinte: 1) Uma equação auxiliar pode ser formado a partir da linha que precede a linha nula. 2) A tabela de Routh pode ser completada substituindo se os coeficientes nulos pelos da derivada da equação auxiliar. 3) As raízes da equação auxiliar são também raízes da equação original. Elas ocorrem aos pares e são simétricas em relação à origem. Em consequência, estas raízes podem ser imaginárias (complexas conjugadas) ou reais (uma positiva e outra negativa) pertencem a conjuntos de quatro raizes (dois pares de raízes complexas conjugadas), etc. Exemplo: Q(s)= s 4 + 2s s s+ 18 s s [original (2 18) ] s [original (2 18) ] s 1 0 Linha nula indica a presença de raízes simétricas em relação à origem Formar equação auxiliar, a partir da linha anterior: s 2 +9=0 Raízes são: s=+- j3 Estas raízes também anulam a equação original. Para completar a tabela de Routh, deriva-se a equação auxiliar com relação a s: 2s+0=0 Os coeficientes desta equação são colocados na linha s1 e a tabela é concluída. s 1 2 s 0 9 Como não há troca de sinais na primeira coluna, não há raízes com parte real positiva. Obs: uma fila de zeros (linha nula) indica simetria com respeito à origem (dois polos imaginários puros ou dois polos reais um positivo outro negativo).

6 Critério de Routh uma linha inteira zero Isto implica a presença de raízes espelhas relativas ao eixo imaginário ou em um ou mais pares de raízes imaginárias conjugadas (+- jw). Neste caso um polinômio auxiliar pa(s) pode ser definido diretamente pelos elementos da linha anterior. Os coeficientes da linha nula podem ser substituídos pelos coeficientes da derivada do polinômio auxiliar, e o procedimento continua. De forma alternativa, pa(s) pode ser fatorado de a(s) e o polinômio resultante pode ser testado pelo critério de Routh. Exemplo: a(s)= s 6 + 2s 5-9 s 4-12s s s -75 Como existem coeficientes negativos e positivos é um polinômio não estável. s s [original ( )/2] s [original ( )/2] s Linha nula p(s)=-s 4 +6s 2-25 s [original (-4 12)/4] s s s 0-25 Existem três mudanças de sinal na primeira coluna, então três raízes estão no semiplano direito. As raízes de a(s) são: a(s)= (s+2 ± j) (s-2 ± j)(s-1)(s+3), onde pa(s)= (s+2 ± j) (s-2 ± j) Então as raízes de a(s) estão espelhadas no eixo imaginário como s=± 2+ j e s=± 2- j. 1j s=± 2+ j j s=± 2- j OBs: se a(s) não tem raízes no semi-plano direito, isto implica que existe um ou mais pares de raízes imaginarias conjugadas (+-jw).

7 Neste caso não houve mudança de sinal na primeira coluna. Este sistema é marginalmente estável. ESTABILIDADE VIA TABELA DE ROUTH COM LINHAS DE ZERO Uma linha completa de zeros aparecerá a tabela de Routh quando um polinômio estritamente par ou estritamente impar por um fator do polinômio original. de s. Por exemplo, s 4 +3s 2 +7 é um polinômio par, possui somente potências pares Os polinômios pares possuem somente raízes que são simétricas em relação à origem. Esta simetria pode ocorrer sob diversas situações quanto ao posicionamento das raízes. par. 1) Raízes simétricas e reais 2) Raízes simétricas e imaginárias 3) Raízes quadrantais Cada um dos casos ou combinações destes casos vai gerar um polinômio C J B C A A C B C B - raízes imaginárias e simétricas em relação à origem A - raízes reais e simétricas em relação à origem C - raízes quadrantis e simétricas em relação à origem OBS: o polinômio s 5 + 5s 3 +7s é um exemplo de polinômio impar, possui unicamente potências ímpares de s. Os polinômios ímpares são o produto de um polinômio para por uma potência ímpar de s.

8 Exercício: 1) Determine para qual faixa de valores dos parâmetros K e K I o sistema abaixo é estável. K + Ki s 1 s + 1 (s + 2) s K + Ki 1 s s + 1 (s + 2) s K + Ki = s K + Ki 1 + s s + 1 s + Ki s K + Ki s s + 1 (s + 20 Q(s)=s 3 + 3s 2 + 2s + sk + K I = s 3 + 3s 2 + s(2+ K) + K I s K s 2 3 K I s 1 s 0 c1 K I c1= (3(2+K) - K I )/3 (2+K) > K I /3 (2+K) > K I /3 Resposta: K > K I /3-2 e K I >0 2) Calcule K para que os pólos da Função de Transferência Y/U sejam complexos conjugados e com parte real= - 6,5 U(s) 1 0,2 s + 1 K 0,5 s + 1 Y(s) Resposta: K=3

9 3) Calcule o máximo valor que ainda mantém o sistema estável. K 1 s s + 1 (s + 2) Resposta: K < 6 4) Questão do exame para Petrobrás: dada a função de transferência em malha fechada H(s), determine a faixa de K para garantir a estabilidade. H s = s 3 4s 11 s 5 + s 4 + 4s 3 + 2s 2 + 3s + k 1 a) 0<K<2; b)1<k<2; c)k>-2; d) K>-1; e) K>0. Resposta: item b.