ERRO EM REGIME PERMANENTE

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA ERRO EM REGIME PERMANENTE Inicialmente veja o sistema realimentado mostrado na figura 1, onde é aplicado um degrau na entrada. Este sistema é um controlador de temperatura. O sinal de referência, que indica a temperatura desejada, é comparado com o valor medido da temperatura. A diferença entre os dois sinais gera o sinal de erro. Este sinal de erro é amplificado e aplicado à resistência. A corrente que passa pela resistência irá gerar calor. Referência erro Amplificador K resistência Medidor de temperatura Figura 1- sistema realimentado Para aquecer a resistência é necessário que haja uma tensão na entrada do amplificador, para que este sinal possa ser amplificado, e assim gerar tensão e corrente que serão aplicados à resistência. O sinal na entrada do amplificador é chamado sinal de erro. Aumentando-se o ganho do sistema, o valor do erro diminui. Mas sempre será necessário que haja um erro. Para sistemas como o mostrado na figura acima, sem integrador, sempre haverá um erro finito. Para que o erro seja zero, deve-se colocar um integrador na malha. Sistemas sem integrador são chamados sistemas do tipo 0. Para este tipo de sistema o erro, devido a um degrau, é finito. Se for aplicada uma rampa na entrada, o sistema da figura acima não conseguirá acompanhar e o erro irá aumentar de forma indefinida. Mas se for colocado um integrador, o sistema conseguirá acompanhar o sinal de entrada, mas com um erro finito. Para que o erro seja zero, deve-se der dois integradores na malha. Desta forma um sistema do tipo 1, consegue acompanhar uma rampa na entrada com erro finito. Para não Ter erro deve-se colocar um integrado na malha, ou seja Ter o equivalente a dois integradores na malha. CÁLCULO DOS ERROS UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 1

2 O erro em regime permanente significa o erro que o sistema tem após a resposta transitória ter terminado. Dado o sistema realimentado mostrado na figura abaixo: R(z) E(z) G(z) C(z) B(z) H(z) O erro é definido como: E(z) = R(z) B(z) Para se encontrar o erro em regime, aplica-se o teorema do valor final: e* ss = lim e*(t) = lim e(kt) = lim (1 z -1 )E(z) t k z 1 Para o sinal discreto A função de transferência do erro é dada por: E(z) = R(z) 1 + G(z)H(z) O termo G(z)H(z) é chamado função de transferência em malha aberta, e de forma geral pode ser escrita como: G(z)H(z) = K (z-z i ) (z-1) N (z-p i ) N é chamado o Tipo do Sistema. Se N=0, tem-se um sistema tipo zero. Se N=1, tem-se um sistema tipo um, e assim por diante. Define-se Kdc como sendo o ganho DC em malha aberta, com os pólos em z=1 removidos. Fazendo-se o limite quando z 1: Kdc = K (z-z i ) (z-p j ) para z =1 N=0 sistema tipo zero N=1 sistema tipo 1 etc ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA DEGRAU NA ENTRADA A função degrau no domínio do tempo é: r(t)=ru(t), onde u(t)=1, para t 0. A transformada de Laplace é dada por R(s)=R/s. UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 2

3 A função degrau, no plano z, tem a função de transferência mostrada a seguir: R(z) = R z z - 1 onde: R é a amplitude do sinal de entrada Substituindo a equação do degrau na equação do erro, obtém-se: e* ss = lim (1-z -1 ) 1 R z z G(z)H(z) z -1 e* ss = lim R = R z G(z)H(z) 1 + lim G(z)H(z) z 1 A constante de erro de posição é definida como: Kp = lim G(z)H(z) z 1 O erro devido à uma função degrau na entrada é dado por: e* ss = R 1+ Kp Para se ter erro zero, quando se aplica uma sequencia degrau na entrada, Kp deve ser infinito. Para kp ser infinito implica que a função G(z)H(z) deve Ter um pólo, ao menos, em z=1. Para sistemas com tipo 1, o erro será zero. ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA RAMPA NA ENTRADA A função rampa, no domínio do tempo, é: r(t) = Rtu s (t). A transformada de Laplace da função rampa é: R(s)=R/s 2. A transformada, da função rampa, é dada por: R(z) = RTz / (z-1) 2 O erro em regime é dado por: E(z) = RTz 1 (z-1) 2 [1 + G(z)H(z) ] e* ss = lim (1-z -1 ) RTz 1 z 1 (z-1) 2 [1 + G(z)H(z) ] UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 3

4 e* ss = lim R T z 1 [1 + G(z)H(z) ] (z -1) e* ss = R lim (z -1) G(z)H(z) z 1 T A constante de erro de velocidade é definida como: K v = 1 lim [(z -1) G(z)H(z) ] T z 1 O erro devido à uma rampa na entrada é dado por: e* ss = R Kv Para se Ter erro zero, Kv deve ser infinito. Isto significa que G(z)H(z) deve ter, no mínimo, dois pólos em z=1. O termo erro de velocidade é usado para indicar o erro para uma entrada rampa. A dimensão do erro de velocidade é a mesma que a do erro do sistema, isto é, o erro de velocidade não é um erro de velocidade, mas um erro na posição devido à entrada tipo rampa. ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA PARÁBOLA NA ENTRADA A função parábola, no domínio do tempo, é: r(t) = Rt 2 u s (t)/2 A transformada, da função parábola, é dada por: R(z) = RT 2 z (z+1) / [2(z-1) 3 ] O erro em regime é dado por: e* ss = lim (1-z -1 ) R T 2 (z + 1)z 1 z 1 2 (z -1) 3 [1 + G(z)H(z)] e* ss = T 2 lim R (z + 1) 2 z 1 (z -1) 2 [1 + G(z)H(z) ] UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 4

5 e* ss = R lim (z -1) 2 G(z)H(z) z 1 T 2 A constante de erro de aceleração é definida como: K a = 1 lim [(z -1) 2 G(z)H(z) ] T 2 z 1 O erro devido à uma rampa na entrada é dado por: e* ss = R Ka O termo erro de aceleração, isto é o erro devido a uma entrada em parábola, é um erro na posição. RESUMO DOS ERROS EM REGIME PERMANENTE TIPO DO Erro em regime permanente SISTEMA Para sinal de entrada Para sinal de entrada Para sinal de entrada degrau rampa parábola Tipo 0 e ss =R/(1+K p ) Infinito Infinito Tipo 1 e ss =0 R/K v Infinito Tipo 2 e ss =0 0 R/K a Exemplo a) Determine o ganho K para que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento de 0,7. K 10 (z 0,8) (z + 0,8) O lugar das raízes, junto com o lugar geométrico de constante, igual a 0,7 é mostrado na figura abaixo. O ponto de interesse ocorre quando o lugar das raízes encontra o lugar de constante (ponto P). Pela figura abaixo é possível observar que este ponto é: z= 0,22j. Lembrando que a equação característica é dada por: 1 + K G(s) H(s) =0; KGH= -1; KGH =1; K = 1/GH ; K = 1 10 (z 0,8 ) (z + 0,8) UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 5

6 K = (z + 0,8) (z - 0,8)/10 no ponto z=0,22j K = (0,22j + 0,8)(0,22j 0,8)/10 = 0, /10= 0,069 Outra forma é utilizar o critério de módulo, que determina que do ponto em que acontece o encontro do lugar das raízes com o lugar de qsi constante (ponto P), sejam desenhados vetores para os pólos (v1 e v2). O ganho é se obtém como; K= v1.v2/10= 0,07 b) Calcule o erro em regime para um degrau unitário na entrada. Kp = 0,7/((1-0,8)(1+0,8))= 0,7/0,36= 1,94 e = 1/(1+kp) = 1/(2,94) = 0,34 Análise da resposta: como está sendo aplicado um degrau unitário na entrada, era esperado que a saída tivesse também valor unitário, isto é y=1. Mas com o erro é de 0,34, isto significa que a saída terá valor de y= 0,66. c) Calcule o ganho K2 para se ter erro de regime = 0,1 Para se ter e=0,1 ; como e=1/(1+kp), chegamos a kp=9. Kp = 10. K2 = 9 (1 0,8)( 1+0,8) K2= 9.0,36/10 = 0,324 d) Para o valor de ganho K2, qual o coeficiente de amortecimento e qual o significado disto na resposta ao degrau unitário? EXERCÍCIOS: UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 6

7 1) a)calcule o ganho do sistema para se ter kp=50, sendo aplicado uma seqüência degrau unitário na entrada. K 5 (z-0,9) z b) Qual o valor do erro em regime, e da saída em regime. c) Determine os pólos em malha fechada. 2) Calcule o erro em regime, sendo aplicada uma rampa na entrada, com R=1. 10 (z-1) (z+1) 2) a) Determine o erro em regime para k=1, para o sistema abaixo. Use T=1ms: b) calcule o valor de K para erro=0,05 e calcule Kp c) simule os itens a e b, usando o simulink. K SO 100 s ) Para o sistema da questão 2, coloque um integrador: z z-1 K SO 100 s+ 100 a) Varie o ganho K, e verifique de que forma o ganho k altera o erro em regime. b) Que característica o ganho K altera? c) Calcule Kv d) Simule este sistema 4) a) Para a questao 3, aplique uma rampa unitária na entrada, varie K e verifique o que acontece com o erro em regime. b) Para K=1, calcule o erro em regime c) para K=30, calcule o erro em regime. UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 7

8 5) Para os sistemas abaixo, calcule o erro para uma rampa unitária e para um degrau unitário aplicados na entrada: a) b) - 0, ,2 c) ,2 Resposta: Figura Entrada Entrada rampa degrau a Erro finito Erro infinito b Erro zero Erro finito c Erro zero Erro zero PARA O PLANO S Kp=lim G(s)H(s) s 0 Kv=lim s G(s)H(s) s 0 Ka=lim s 2 G(s)H(s) s 0 UTFPR Curso de Engenharia Eletrônica Controle Digital prof. Brero VI - 8