LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE II 4 PROJETO DE CONTROLADORES E DE OBSERVADORES NO ESPAÇO DE ESTADOS. 4.1 Colocação do Problema

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE II 4 PROJETO DE CONTROLADORES E DE OBSERVADORES NO ESPAÇO DE ESTADOS 4.1 Colocação do Problema O projeto de Controladores e de Observadores no Espaço de Estados tem se mostrado particularmente útil em problemas onde um bom modelo matemático do sistema a ser controlado está disponível e onde a dimensão dos estados não é muito grande (não maior do que 10). Considere a planta de 3 a ordem descrita pela função de transferência: 1 G( s) = s( s + 1)( 0. 2s + 1) Suponha que se deseja projetar um controlador para que se tenha um sistema com pólos dominantes que satisfaçam às especificações: a) Coeficiente de amortecimento ξ = 0,707 (máximo sobressinal 4,3%) b) Freqüência natural não-amortecida ω n = 3 rad/s (t s(2%) = 4/ξω n = 1,89 s) A primeira tentativa de projeto deve sempre ser a de um controle proporcional, a fim de obter-se uma idéia da dificuldade do projeto. Para isto, é interessante traçar o lugar das raízes do sistema com controle proporcional e localizar os pólos dominantes desejados, o que pode ser realizado através dos comandos abaixo. >> % Traçado do lugar das raízes do sistema com controle proporcional >> num = 1; >> den = conv([1 1 0],[0.2 1]); >> rlocus(num, den) >> % Geração de um sistema de 2 a ordem com os pólos dominantes desejados >> qsi = 0.707; >> wn = 3; >> [num2 den2] = ord2(wn, qsi); >> % Cálculo dos pólos dominantes >> dominant = roots(den2); >> % linha reta (ξ constante) - linha curva (w n constante) >> sgrid(qsi, wn) Observando o lugar das raízes para este sistema (Figura 4.1), percebe-se que o controle proporcional jamais será capaz de atender às especificações de projeto. Portanto, é necessário considerar o uso de controladores mais sofisticados, como, por exemplo, controladores PID ou de Avanço/Atraso de fase. Nesta experiência, será desenvolvido um controlador que usa o conceito de realimentação de estados.

2 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE II 2 Fig. 4.1 Lugar das raízes do sistema e a posição dos pólos desejados 4.2 Realimentação de Estados Em primeiro lugar, é necessário representar o sistema no Espaço de Estados. No Matlab, basta usar o comando abaixo: >> % Conversão da representação do sistema para o espaço de estados (forma canônica controlável) >> [A, B, C, D] = tf2ss(num, den); A Figura 4.2 ilustra como o controle será feito, realimentando o vetor de estados x(t) ao qual são aplicados os ganhos definidos numa matriz de ganhos K. Figura Sistema de controle de realimentação de estado Com isso, o sistema controlado será descrito por: x& = ( A BK) x + Br y = Cx

3 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE II Pólos Desejados Os pólos desejados para o sistema controlado serão os pólos dominantes de segunda ordem acima estipulados, mais um terceiro pólo, uma vez que o sistema controlado é de terceira ordem. Esse terceiro pólo, para não influenciar significativamente no sistema controlado deverá ser alocado com parte real no mínimo 10 vezes mais afastado na origem que a parte real dos pólos dominantes. >> desiredpoles = [dominant' 10*real(dominant(1))] desiredpoles = i i Cálculo da Matriz de Ganhos K Os ganhos da matriz K são obtidos através da fórmula de Ackerman, usando os comandos mostrados a seguir: >> % Calculo do ganho K do controlador >> K = acker(a,b,desiredpoles) K = >> % Obtenção do sistema realimentado >> Ac = A - B*K; Bc = B; Cc = C; Dc = 0; >> % Definição de entrada degrau unitário >> t = 0:0.01:4; u = ones(1,401) ; >> % Resposta ao degrau >> lsim(ac, Bc, Cc, Dc, u, t) Portanto, os estados x 1, x 2 e x 3 serão realimentados, respectivamente, com os ganhos 19,45, 93,98 e 190,89. A resposta ao degrau unitário é exibida na Figura 4.3. Verifique se as especificações do projeto são atendidas. Figura 4.3 Resposta ao degrau do sistema controlado

4 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE II Observação de Estados O problema de controle ainda não está completamente resolvido, uma vez que a forma canônica controlável normalmente não apresenta variáveis de estado mensuráveis. Portanto, o vetor de estados deve ser estimado por meio de observadores de estado. O sistema de controle completo, composto de observador e controlador, é apresentado na Figura 4.4 abaixo. Figura Sistema com controlador e observador Para este sistema valem as seguintes equações: x& = e& y = ( A BK ) 0 x e [ C 0] BK ( A LC) x B + r e 0 Os autovalores do observador devem ser alocados 10 vezes mais rápidos do que os autovalores do sistema. Para isso, entre com os seguintes comandos do Matlab: >> % Alocação dos pólos do observador para serem 10 vezes mais rápidos do que os do sistema >> observerpoles = 10*desiredpoles; >> % Calculo do ganho do observador >> L = acker (A', C', observerpoles) L = 1.0e+004 * >> % Determinação do sistema de malha fechada com o controlador e o observador >> Aco = [A-B*K B*K; zeros(size(a)) (A-L' *C)]; >> Bco = [B; zeros(size(b))]; >> Cco = [C zeros(size(c))]; >> Dco = 0; >> Função de Transferência do sistema de controle com controlador e observador de estados >> [numco denco]=ss2tf(aco, Bco, Cco, Dco); >> %Resposta ao degrau para erro inicial do observador de estados >> lsim(aco, Bco, Cco, Dco, u, t, [ ]) >> damp(denco) Observe, pela comparação das respostas sem e com observador, o tempo que

5 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DE CONTROLE II 5 observador leva para convergir (cerca de dez vezes mais rápido que o sistema). Verifique se a resposta ao degrau do sistema de controle com realimentação do estado observado atende às especificações do projeto. Figura 4.5 Resposta ao degrau do sistema controlado que usa observador de estados Outra maneira de se comprovar que a resposta do sistema controlado apresenta as características de projeto é através do uso do comando damp, que apresenta os autovalores do sistema com seus respectivos ξ e ω n. A função de transferência descrita por numco e denco apresenta as características de desempenho desejadas, isto é, os dois primeiros autovalores correspondem aos pólos dominantes com ξ = 0,707 e ω n = 3. Os pólos restantes são considerados mais rápidos e menos influentes na resposta do sistema. 4.6 Exercícios Usando as mesmas condições iniciais para o observador, repita os procedimentos descritos acima para as seguintes situações: a) desiredpoles = [dominant' real(dominant(1))] e observerpoles = 10*desiredpoles (pólo adicional do controlador igual à parte real dos pólos dominantes); b) desiredpoles = [dominant' 10*real(dominant(1))] e observerpoles = desiredpoles (observador com os mesmos pólos do sistema controlado). Observe a degradação que se obtém no comportamento do sistema controlado devido às influências do terceiro pólo do controlador e da má localização dos pólos do observador.