Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de ontrole Digitais 1 Introdução Observadores de Estado Prof Walter Fetter Lages 7 de junho de 2009 Para utilizar realimentação de estados é necessário conhecer o estado do sistema No entanto, nem sempre é possível medir todos os componentes do estado Nesses casos, se o sistema for completamente observável 1, é possível construir-se um observador para obter-se uma estimativa do estado a partir do conhecimento da entrada e da saída do sistema 2 Observador em Malha berta Seja o sistema dado por x(k 1) = x(k) u(k) (1) y(k) = x(k) (2) que pode ser representado pelo diagrama de blocos mostrado na fig 1 onhecendo-se a entrada do sistema, pode-se construir um observador de estado para esse sistema como mostrado na Fig 2 No entanto, esse observador não será muito efetivo na prática, pois qualquer erro no estado inicial do sistema ou nos parâmetros fará ˆx(k) divergir de x(k) Para resolver esse problema, pode-se introduzir um termo de correção, proporcional à diferença de y(k) e ŷ(k) ˆx(k) 1 Um sistema é completamente observável, se existir um t 0 finito tal que o conhecimento das entradas u(t) e das saídas y(t) para t < t 0 é suficiente para determinar o estado inicial do sistema x(0) 1

2 u(k) x(k 1) x(k) y(k) Figura 1: Diagrama de blocos do sistema (1) 3 Observador em Malha Fechada onhecendo-se além da entrada do sistema, a sua saída, pode-se construir um observador de estado em malha fechada para o sistema como mostrado na Fig 3 ˆx(k 1) = ˆx(k) u(k) L (y(k) ŷ(k)) ˆx(k 1) = ˆx(k) u(k) L (x(k) ˆx(k)) Definindo x(k) = x(k) ˆx(k), tem-se x(k 1) = x(k 1)ˆx(k 1) = x(k) u(k) ˆx(k) u(k) L x(k) x(k 1) = (x(k) ˆx(k)) L x(k) x(k 1) = ( L) x(k) }{{} autovalores podem ser alocados livremente escolhendo-se L Portanto, se o sistema for completamente observável 2, pode-se dar a x(k) o desempenho desejado Em geral, deseja-se que x(k) convirja rapidamente (mais rápido do que a evolução de x(k)) para zero inda sob a hipótese do sistema ser completamente observável, pode-se escrevelo na forma: 2 Um sistema de ordem n é completamente observável se e somente se rank(o(, )) = rank = n n 1 2

3 u(k) x(k 1) x(k) y(k) Planta ˆx(k 1) ˆx(k) Figura 2: Observador em malha aberta para o sistema mostrado na Fig 1 x(k 1) = y(k) = Ā x(k) u(k) x(k) com = [ ] Ā = = α n α n α n α 1 β n β n 1 β 2 β 1 3

4 onde α n e β n são os coeficientes da função de transferência β 1 z n 1 β 2 z n 2 β n G(z) = z n α 1 z n 1 α 2 z n 2 α n através da transformação de similaridade De onde α n 1 α n 2 α 1 1 α n 2 α n P = α n 1 Ā = PP 1 = P = P 1 onsiderando-se a expressão do estimador de estado ˆx(k 1) = ˆx(k) u(k) L (y(k) ŷ(k)) e utilizando-se a transformação de similaridade, resulta ˆx(k 1) = P 1 ( Ā L ) P ˆx(k) u(k) Ly(k) P ( 1 Ā L ) P tem os mesmos autovalores de L Fazendo-se L = [ (ᾱ n α n ) (ᾱ n 1 α n 1 ) (ᾱ 1 α 1 ) ] onde ᾱ i são os coeficientes do polinômio característico desejado, tem-se ᾱ n Ā L ᾱ n 1 = ᾱ n ᾱ n 1 4

5 4 lgoritmo para Projeto de Observador de Luenberger Dado um sistema completamente observável na forma x(k 1) = x(k) bu(k) y(k) = x(k) determinar um observador de estados na forma ˆx(k 1) = ˆx(k) u(k) L (y(k) ŷ(k)) de forma que ˆx(k) convirja assintoticamente para x, com autovalores λ 1, λ 2,, λ n 1 Obter o polinômio característico de det (zi ) = z n α 1 z n 1 α n 2 Ober o polinômio característico do observador (z λ 1 )(z λ 2 ) (z λ n ) = z n ᾱ 1 z n 1 ᾱ)n 3 alcular a transformação de similaridade 4 alcular o ganho 5 L = P 1 L α n 1 α n 2 α 1 1 α n 2 α n P = α n 1 L = [ (ᾱ n α n ) (ᾱ n 1 α n 1 ) (ᾱ 1 α 1 ) ] 5

6 5 Exercícios Dado o sistema x(k 1) = 10 1, 5 0, 1 0, 01 0, 1 9, 8 1, 2 x(k) 0, 1 u(k) 1, 2 2, 5 6, 2 1, 2 y = [ ] x(k) determinar L de forma que o observador tenha como autovalores λ 1 = 0, 8, λ 2 = 0, 7 e λ 3 = 02 6

7 u(k) x(k 1) x(k) y(k) Planta L ŷ(k) ˆx(k 1) ˆx(k) Figura 3: Observador em malha fechada para o sistema mostrado na Fig 1 7