Novos métodos de Sintonia de Controladores PID

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1 Novos métodos de Sintonia de Controladores PID. Introdução Existem diversas questões que devem ser consideradas no projeto de controladores PID, como por exemplo: Resposta a distúrbios de carga; Resposta ao ruído de medição; Seguimento de referência; Requisitos do modelo; Incerteza do modelo; Portanto, há uma necessidade de diversos métodos de sintonia, como: técnicas simples onde é necessário pouco conhecimento do processo, ou técnicas mais elaboradas que usam mais informações sobre o processo; Para desenvolvimento de novas regras de sintonia, fazemos: aplica-se um método de projeto confiável com as características desejadas a uma grande bateria de testes com boa representatividade de processos; tenta-se então correlacionar os parâmetros obtidos para o controlador com padrões simples que caracterizam a dinâmica do processo;. Espectro de Ferramentas Um bom método de sintonia deve considerar diferentes questões, e ter parâmetros de projeto de forma que o desempenho desejado possa ser alterado facilmente; Infelizmente não é possível encontrar um método que satisfaça todas as necessidades; ao invés disto, existe um espectro de métodos que diferem no esforço necessário para usá-los e no desempenho obtido; O grande sucesso do método de Ziegler-Nichols indica a necessidade de um método simples que usa um mínimo de informação do processo; Para achar um método simples devemos responder a pergunta: É possível obter regras de sintonia confiáveis baseados numa simples caracterização da dinâmica do processo?

2 Se for, como é possível caracterizar a dinâmica do processo? Conseguiu-se aqui um método empírico baseado em tentativa e erro; Inicia-se com a definição de uma bateria de processos testes com função de transferência conhecida; Projeta-se controladores para estes processos baseados nos métodos vistos anteriormente, como o projeto por pólos dominantes; Tenta-se então encontrar padrões do processo que podem descrever de forma simples os ajustes dos parâmetros do controlador; Depois de diversas tentativas, chegou-se a um resultado razoável que usa parâmetros normalizados em relação ao tempo de atraso (tau) e ao ganho do processo (kappa); O método foi chamado de Sintonia kappa-tau ou sintonia KT ;.. Bateria de testes Foram escolhidos processos que são representativos de dinâmicas típicas de processos industriais, como: s e G ( s) = ( + st ) G ( s) = n ( s + ) G3 ( s) = 3 ( + s)( + αs)( + α s)( + α s) αs G4 ( s) = 3 ( s + ) T = 0,,!,0 n = 3,4,8 α = 0.,0.5,0.7 α = 0.,0.,0.5,. Para também cobrir processos com integração, incluiu-se modelos obtidos pela adição de um integrador ao sistemas listados acima; A bateria de testes não inclui a função de transferência: G( s) = K p sl e + st porque este modelo não é representativo para processos industriais típicos; A sintonia baseada neste modelo fornece controladores com ganho muito alto;

3 3 Isto é muito interessante, pois, tradicionalmente a regras de sintonia tem sido desenvolvidas para este modelo;.. Regras simples de sintonia Para obter regras simples, utilizou-se como base as regras de Ziegler-Nichols como ponto de partida; As regras de Ziegler-Nichols baseiam-se em parâmetros como: a e L para malha aberta e T u e K u para malha fechada; o resultado da aplicação destas regras pode ser resumido abaixo: A resposta é bastante oscilatória; Diferentes regras de sintonia são necessárias para resposta a mudança de referência e para resposta a distúrbios de carga; As regras fornecem resultados pobres para sistemas com longos atrasos de transporte; Não há um parâmetro de sintonia; O primeiro resultado acima é fácil de ser tratado, é só alterar os parâmetros nas tabelas; O segundo pode ser resolvido sintonizando para distúrbios de carga e ponderando-se a referência; O terceiro é mais difícil de ser tratado pois requer mais informações do processo; o primeiro passo é caracterizar o processo através de três parâmetros ao invés de dois; Como parâmetro de sintonia pode-se usar a sensibilidade máxima, M s : M s = max w + G p ( iw) G c ( iw) que também pode ser usado como medida de robustez, pois ele informa quanto pode-se alterar o processo sem provocar instabilidade; valores típicos de M s estão na faixa de, a, valores altos fornecem sistemas rápidos mas menos robustos;

4 4 3. Métodos de resposta ao degrau 3... Processos estáveis A dinâmica do processo é caracterizada por três parâmetros: ganho estático, K p, atraso aparente, T, e tempo de atraso aparente, L; 3... Processos com integração Os parâmetros a e L podem ser determinados a partir de um experimento de resposta ao degrau; como o processo não é estável, ele não atingirá um estado estacionário; a parte inicial da resposta pode ser determinada, mas o experimento deve ser interrompido após algum tempo; O tempo de atraso relativo, τ, é zero para processos com integração; Um resultado melhor pode ser obtido com a resposta ao impulso, H(s); G(s) será: G(s) = H(s) / s; Normalização dos parâmetros de controlador Um controlador PI tem três parâmetros: o ganho K, o tempo de integração T i, e a ponderação da referência b; É conveniente apresentar estes parâmetros na forma normalizada (sem dimensões); ganho normalizado do controlador ak, tempo de integração normalizado T i / L; Esta é a mesma normalização usada no método de Ziegler- Nichols; O Método A relação entre os parâmetros normalizados do controlador e os parâmetros normalizados do processo é realizada plotando-se os parâmetros normalizados do controlador como função do tempo de atraso normalizado, τ;

5 5 3.. Controle PI para processos estáveis A figura 5. mostra as curvas dos parâmetros do controlador normalizados em função do tempo de atraso normalizado para um controlador PI; As figuras mostram que existem diferenças significativas entre os ganhos do controlador obtidos quando M s =,4 e ; o tempo integral é independente do parâmetro M s ; Também é mostrado a dificuldade dos ajustes de ganho de Ziegler-Nichols, isto é, os mesmos devem ser reduzidos; Vê-se também, que para processos dominados por atraso, o ganho proporcional e o tempo de integração devem ser menores; Em processos dominados pelo tempo de atraso têm-se a situação contrária; Tabela de sintonia para controladores PI com o método de resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na forma f(t)=a 0 exp(a t+a t ) para os parâmetros normalizados do controlador: M s =,4 M s =,0 a 0 a a a 0 a a ak 0,9 -,7 3,7 0,78-4, 5,7 T i /L 8,9-6,6 3,0 8,9-6,6 3,0 T i /T 0,79 -,4,4 0,79 -,4,4 b 0,8 0,73,9 0,44 0,78-0,45

6 Controle PID para processos estáveis As regras para o PID foram desenvolvidas da mesma forma que as do PI; A dinâmica do processo foi caracterizada pelos parâmetros a, L e τ; Os parâmetros do controlador foram normalizados como ak, T i /L e T d /L;

7 7 Os parâmetros foram determinados para os processos mencionados anteriormente; Os resultados são mostrados na figura 5.; Note que a faixa dos parâmetros são significativamente menores que as para o controle PI; isto explica porque é mais fácil encontrar regras de sintonia que não dependam de τ para PIDs do que para PI; A figura mostra que a ação proporcional é dominante para pequenos τ e a ação integral domina para grandes τ; Tabela de sintonia para controladores PID com o método de resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na forma f(t)=a 0 exp(a t+a t ) para os parâmetros normalizados do controlador: M s =,4 M s =,0 a 0 a a a 0 a a ak 3,8-8,4 7,3 8,4-9,6 9,8 T i /L 5, -,5 -,4 3, -, T i /T 0,46,8 -, 0,8 3,8 -,6 T d /L 0,89-0,37-4, 0,86 -,9-0,44 T d /T ,0-4,8 0,076 3,4 -, b 0,40 0,8,8 0, 0,65 0,05

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9 Processos com integração As regras de sintonia foram desenvolvidas para processos com função de transferência igual a G(s) = H(s) / s, onde H(s) são os processos da bateria indicados anteriormente; Controle PI para processos com integração A figura 5.3 mostra os resultados encontrados; As regras geram parâmetros tais como ganho de processo cerca de 30% menor que as de Ziegler-Nichols e tempos de integração 50% mais longos; Tabela de sintonia para controladores PI com o método de resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na forma f(t)=a 0 exp(a t+a t ) para os parâmetros normalizados do controlador: M s =,4 M s =,0 a 0 a a a 0 a a ak 0,4-0,3 0,09 0,8 -, 0,76 T i /L 5,7,7-0,69 3,4 0,8-0,0089 b 0,33,5 -,9 0,78 -,9,

10 Controle PID para processos com integração A figura 5.4 mostra os resultados obtidos para controladores PID em processos com integração; Neste caso, os parâmetros normalizados do controlador variam significativamente com τ ;

11 Para obter um bom controle PID para processos com integração é essencial conhecer τ ; Tabela de sintonia para controladores PID com o método de resposta ao degrau; a tabela fornece parâmetros de funções na forma f(t)=a 0 exp(a t+a t ) para os parâmetros normalizados do controlador: M s =,4 M s =,0 a 0 a a a 0 a a ak 5,6-8,8 6,8 8,6-7, 5,4 T i /L, 6,7-4,4,0 3,3 -,3 T d /L,7-6,4,0 0,38 0,056-0,60 b 0, 6,9-6,6 0,56 -,,

12 4. Métodos de resposta em freqüência No método de Ziegler-Nichols, o processo é caracterizado por K u e T u ; e a razão de ganho κ = /K p K u ; Os parâmetros são normalizados como: K/K u, T i /T u e T d /T u ; As regras de sintonia são obtidas da mesma forma que no método por resposta ao degrau;

13 3 4.. Controle PI para processos estáveis A figura 5.5 mostra os parâmetros normalizados de um controlador PI como uma função de κ; O ganho normalizado do controlador e a ponderação da referência dependem do parâmetro de projeto M s, porém, o mesmo valor do tempo de integração pode ser utilizado para qualquer M s ; A variação do tempo de integração com κ é notória na figura 5.5; isto reflete a situação que a ação proporcional é maior que a ação integral para processos que são dominados por atrasos; a situação reversa ocorre para processos onde a dinâmica é dominada pelo tempo de atraso; Tabela de sintonia para controladores PI com o método de resposta em freqüência; a tabela fornece parâmetros de funções na forma f(κ)=a 0 exp(a κ+a κ ) para os parâmetros normalizados do controlador: M s =,4 M s =,0 a 0 a a a 0 a a K/K u 0,053,9 -,6 0,3,9 -,3 T i /T u 0,90-4,4,7 0,90-4,4,7 b, -0,006,8 0,48 0,40-0,7

14 4 4.. Controle PID para processos estáveis A figura 5.6 mostra os parâmetros normalizados de um controlador PID como uma função de κ; O ganho normalizado varia de 0,45 a 0,9 e o tempo de integração normalizado de 0, a 0,55, o tempo derivativo de

15 5 0,06 a 0,5 e a ponderação da referência de 0, a 0,4; as faixas são significativamente menores do que as do controle PI; Desta forma é fácil achar regras que só dependam de dois parâmetros; Tabela de sintonia para controladores PID com o método de resposta em freqüência; a tabela fornece parâmetros de funções na forma f(κ)=a 0 exp(a κ+a κ ) para os parâmetros normalizados do controlador: M s =,4 M s =,0 a 0 a a a 0 a a K/K u 0,33-0,3 -,0 0,7 -,6, T i /T u 0,76 -,6-0,36 0,59 -,3 0,38 T d /T u 0,7-0,46 -, 0,5 -,4 0,56 b 0,58 -,3 3,5 0,5 0,56-0,

16 Relação entre T i e T d Na maioria das regras de sintonia, a relação entre T i e T d é fixa; Na figura 5.7 vê-se a razão T i / T d obtida para as novas regras de sintonia; A figura mostra que no projeto para M s = a relação é próxima a 4, que é a mesma relação do método de Ziegler-Nichols;

17 7 Para M s =,4, a razão é próxima de 4 para κ < 0,6; para valores maiores a razão se torna maior; 4.4. Processos com integração Para processos com integração, o ganho crítico e o período crítico podem ser determinados como descrito anteriormente, porém o ganho estático K p não é definido; Processos com integração tem κ = 0, mas para o controle PID são necessárias informações adicionais, como por exemplo, outros pontos na curva de Nyquist (w 90 ); 5. Conhecimento completo do processo Os métodos apresentados até agora são métodos aproximados baseados no conhecimento parcial do processo; eles são suficientes na maioria dos casos; Há situações, entretanto, que é necessária uma maior precisão; isto pode ser obtido ou através de refinamentos on-line ou utilizando um modelo mais preciso; Existem diversas regras de sintonia on-line que podem ser usadas para o refino; Modelos mais precisos podem ser obtidos através da identificação de sistemas;

18 8 O método multifrequencial permite a determinação da função de transferência para diversas freqüências num único teste; utilizando um ajuste de curva pode-se determinar a função de transferência do sistema; 5.. Controle PI Seja um processo com a função de transferência G(s) e um controlador PI parametrizado como: G ( s) = k c + ki s Nosso problema é: achar os parâmetros k e k i de forma que k i seja tão grande quanto possível e que a restrição de robustez seja: + G( s) G ( s) = a( k, k, w) m c i este problema de otimização infelizmente não é convexo; para resolve-lo é necessário um método iterativo com boas condições iniciais; A idéia do algoritmo é avaliar a função abaixo para diversos valores de parâmetros do controlador e então determinar k que maximiza k i considerando a restrição: m( k, k ) = min a( k, k, w) m i i = w Ω A determinação da função m requer minimização com relação a w, que é realizado através de uma busca simples no intervalo Ω = [w, w ]; A função m pode ser localmente aproximada por: m( k, k ) = a + b0ki + bk + ( c0ki + ckki ck i + Maximizando k i com relação a k sujeito a restrição acima têmse: b + c k c k i + = com isto, têm-se a seguinte relação entre k e k i : b + cki k = c com este resultado e com m(k,k i ) = m 0, obtemos: )

19 9 A k 0 0 i onde : A A = c + A k 0 A = b 0 = ( a 0 c c bc c i + A = 0 b m0 ) c resolvendo esta equação chega-se a: k i A ± = A A 0 A com k i é fácil determinar k; 0 A 6. Exemplo Processo com três atrasos iguais Seja o processo da forma: G( s) = ( s + ) 3 que tem ganho crítico K u = 8, período crítico T u = 3,6 e razão de ganho κ = 0,5; O novo método de resposta em freqüência fornece os seguintes parâmetros para o controlador PID: M s =,4 M s =,0 K,5 4,8 T i,,8 T d 0,56 0,46 b 0,5 0,7 O método de resposta ao degrau fornece parâmetros que diferem em menos do que 0% destes valores; A figura 5. mostra a resposta do sistema em malha fechada para degraus na referência seguidos por degraus na carga; o controle é significativamente melhor do que o obtido com o método de Ziegler-Nichols;

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