Controladores: Proporcional (P) Proporcional e Integral (PI) Proporcional, Integral e Derivativo (PID)

Transcrição

1 Sistemas Realimentados Regulação e Tipo de sistema: Entrada de referência Entrada de distúrbio Controladores: Proporcional (P) Proporcional e Integral (PI) Proporcional, Integral e Derivativo (PID) Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle ula 8

2 Regulação W(s) Distúrbio R(s) Filtro Ctrl Planta Y (s) Sensor Regulação: Manter o erro pequeno quando a entrada de referência é constante e distúrbios estão presentes. Fernando de Oliveira Souza pag.2 Engenharia de Controle ula 8

3 Regulação W(s) Distúrbio R(s) Filtro Ctrl Planta Y (s) Sensor Sistema linear: Superposição (propriedades de aditividade e homogeinidade). Fernando de Oliveira Souza pag.3 Engenharia de Controle ula 8

4 Regulação Distúrbio W(s) = 0 R(s) Filtro Ctrl Planta Y (s) Sensor T R = Y R(s) R(s), então Y R(s) = T R R(s) Fernando de Oliveira Souza pag.4 Engenharia de Controle ula 8

5 Regulação W(s) R(s) = 0 Filtro Ctrl Distúrbio Planta Y (s) Sensor T W = Y W(s) W(s), então Y W(s) = T W W(s) Fernando de Oliveira Souza pag.5 Engenharia de Controle ula 8

6 Regulação W(s) Distúrbio R(s) Filtro Ctrl Planta Y (s) Sensor Y (s) = Y R (s) Y W (s) = T R R(s) T W W(s) Fernando de Oliveira Souza pag.6 Engenharia de Controle ula 8

7 Regulação saída do sistema de controle é: Y (s) = Y R (s) Y W (s) O erro considerando o distúrbio é: E(s) = R(s) [Y R (s) Y W (s)] O erro devido apenas ao distúrbio é (R(s) = 0): E W (s) = Y W (s) = T W W(s) Fernando de Oliveira Souza pag.7 Engenharia de Controle ula 8

8 Rejeição de Distúrbio Erro devido apenas ao distúrbio é (R(s) = 0): E W (s) = Y W (s) = T W,Y W(s) ssumindo T W estável Erro em regime permanente devido ao distúrbio e W ( ) = lim s 0 se W (s) Objetivo: e W ( ) = 0 Fernando de Oliveira Souza pag.8 Engenharia de Controle ula 8

9 Rejeição de Distúrbio Erro em regime permanente devido o distúrbio e W ( ) = lim s 0 se W (s) Distúrbio polinomial: w(t) = t k /k!, t 0 W(s) = 1 s k1 Tipo do sistema (para entrada de distúrbio): Tipo 0: 0<e W ( )< p/ entrada de posição Tipo 1: 0<e W ( )< p/ entrada de velocidade Tipo 2: 0<e W ( )< p/ entrada de aceleração Fernando de Oliveira Souza pag.9 Engenharia de Controle ula 8

10 Exercício 1: Determine o tipo do sistema em função da entrada de referência e de distúrbio. Para D(s) = k p e D(s) = k p k I s W(s) B R(s) D(s) s(τ s1) Y (s) 1 Fernando de Oliveira Souza pag.10 Engenharia de Controle ula 8

11 nálise: Tipo de sistema para o distúrbio função de transferência da entrada de distúrbio W(s) para a saída E(s) é dada por E(s) W(s) = R(s) Y (s) W(s) para R(s) = 0, temos E(s) W(s) = Y (s) W(s) = T W(s) = s n T 0,W (s) Fernando de Oliveira Souza pag.11 Engenharia de Controle ula 8

12 nálise: Tipo de sistema para o distúrbio temos que E(s) W(s) = Y (s) W(s) = T W(s) = s n T 0,W (s) y( ) = lim s 0 Se n > k, o erro é nulo = lim s 0 [ st W (s) 1 ] [T 0,W (s) sn s k1 Se n = k, o tipo do sistema é n = k e o erro é T 0,W (0) Se n < k, o erro é ilimitado s k ] Fernando de Oliveira Souza pag.12 Engenharia de Controle ula 8

13 Solução: Tipo de sistema para o distúrbio D(s) = k p B T W (s) = = s 0 T 0,W (s) s(τs 1) k p n = 0 T 0,W (0) = B k p Sistema tipo 0 e erro em estado estacionário: B/(k p ) Fernando de Oliveira Souza pag.13 Engenharia de Controle ula 8

14 Solução: Tipo de sistema para o distúrbio D(s) = k p k I s Bs T W (s) = s 2 (τs 1) (k p s k I ) = s1 T 0,W (s) n = 1 T 0,W (0) = B k I Sistema tipo 1 e erro em estado estacionário: B/(k I ) Fernando de Oliveira Souza pag.14 Engenharia de Controle ula 8

15 Controlador PID u(t) = k P e(t) k I e(t)dt k D ė(t) L C(s) = U(s) E(s) = k P k I s k Ds O controlador PID é largamente utilizado na indústria. É muito robusto e pode ser usado também onde não se conhece precisamente o modelo da planta. Sintonia: juste dos parâmetros, k P, k D e k I. Fernando de Oliveira Souza pag.15 Engenharia de Controle ula 8

16 Controlador Proporcional - P Controle Proporcional com realimentação: o sinal de controle é proporcional ao sinal de erro atual U(s) E(s) = C(s) = k p Exemplo 1: Considere uma planta de primeira ordem (por exemplo um motor desprezando a indutância) G(s) = τs 1 Fernando de Oliveira Souza pag.16 Engenharia de Controle ula 8

17 Controlador Proporcional - P Exemplo 1: Considere uma planta de primeira ordem G(s) = τs 1 e C(s) = k P R(s) 1 k P τs1 Y (s) 1 Fernando de Oliveira Souza pag.17 Engenharia de Controle ula 8

18 Controlador Proporcional - P Exemplo 1: Considere uma planta de primeira ordem G(s) = τs 1 Com a realimentação unitária a equação característica é τs 1 k p = 0 O pólo é s = (1 k p )/τ O projetista determina a constante de tempo do sistema Fernando de Oliveira Souza pag.18 Engenharia de Controle ula 8

19 Controlador Proporcional - P Controle Proporcional com realimentação: o sinal de controle é proporcional ao sinal de erro atual U(s) E(s) = C(s) = k p Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem (por exemplo um motor sem desprezar a indutância) G(s) = s 2 a 1 s a 2 Fernando de Oliveira Souza pag.19 Engenharia de Controle ula 8

20 Controlador Proporcional - P Exemplo 2: Considere uma planta de primeira ordem G(s) = e C(s) = k s 2 P a 1 s a 2 R(s) 1 k P s 2 a 1 sa 2 Y (s) 1 Fernando de Oliveira Souza pag.20 Engenharia de Controle ula 8

21 Controlador Proporcional - P Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem G(s) = e C(s) = k s 2 p a 1 s a 2 Com a realimentação unitária a equação característica é s 2 a 1 s a 2 k p = 0 Compare com a equação característica padrão s 2 2ζω n s ω 2 n = 0 O projetista apenas determina ω n k p grande em um sistema Tipo 0 reduz o e ss ( ) Fernando de Oliveira Souza pag.21 Engenharia de Controle ula 8

22 Controlador Proporcional - PI Controle Proporcional Integral com realimentação: o sinal de controle é baseado no somatório do erro. U(s) E(s) = C(s) = k p k I s O termo integral aumenta o Tipo do Sistema Exemplo 1 : Considere uma planta de primeira ordem G(s) = τs 1 Fernando de Oliveira Souza pag.22 Engenharia de Controle ula 8

23 Controlador Proporcional - PI Exemplo 1: Considere uma planta de primeira ordem G(s) = τs 1 e C(s) = k P k I s R(s) 1 k P k I s τs1 Y (s) 1 Fernando de Oliveira Souza pag.23 Engenharia de Controle ula 8

24 Controlador Proporcional - PI Exemplo 1: Considere uma planta de primeira ordem G(s) = τs 1 e C(s) = k p k I /s Com a realimentação unitária a equação característica é s 2 (k p /τ 1/τ)s k I /τ = 0 Compare com a equação característica padrão s 2 2ζω n s ω 2 n = 0 O projetista pode determinar ζ e ω n Fernando de Oliveira Souza pag.24 Engenharia de Controle ula 8

25 Controlador Proporcional - PI Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem G(s) = e C(s) = k s 2 P k I a 1 s a 2 s R(s) 1 k P k I s s 2 a 1 sa 2 Y (s) 1 Fernando de Oliveira Souza pag.25 Engenharia de Controle ula 8

26 Controlador Proporcional - PI Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem G(s) = s 2 a 1 s a 2 e C(s) = k p k I /s Com a realimentação unitária a equação característica é s 3 a 1 s 2 (a 2 k p )s k I = 0 Equação característica de terceira ordem Neste caso o projetista pode ajustar dois coeficientes da e.c., mas não o terceiro. Fernando de Oliveira Souza pag.26 Engenharia de Controle ula 8

27 Controlador Proporcional - PID Termo Derivativo do controlador PID: um efeito importante deste termo é suavizar a resposta devido a sinais instantâneos U(s) E(s) = C(s) = k p k I s k Ds Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem G(s) = s 2 a 1 s a 2 Fernando de Oliveira Souza pag.27 Engenharia de Controle ula 8

28 Controlador Proporcional - PID Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem G(s) = s 2 a 1 s a 2 e C(s) = k P k I s k Ds R(s) 1 k P k I s k D s s 2 a 1 sa 2 Y (s) 1 Fernando de Oliveira Souza pag.28 Engenharia de Controle ula 8

29 Controlador Proporcional - PID Exemplo 2: Considere uma planta de segunda ordem G(s) = s 2 a 1 s a 2 e C(s) = k p k I /sk D s Com a realimentação unitária a equação característica é s 3 (a 1 k D )s 2 (a 2 k p )s k I = 0 Equação característica de terceira ordem Neste caso o projetista pode ajustar os três coeficientes da e.c. Fernando de Oliveira Souza pag.29 Engenharia de Controle ula 8

30 Exemplo - P, PI e PID Controle de Velovidade de um Motor CC G(s) = K t (J m s b)(l a s R a ) K t K e J m = 1, N.m.s 2 /rad (Momento de inércia do motor), b = 0,028 N.m.s/rad (Coeficiente de atrito), L a = 10 1 H (Indutância de armadura), R a = 0,45 Ω (Resistência de armadura), K t = 0,067 N.m/ (Constante de torque), K e = 0,067 V.s/rad (Constante elétrica), Fernando de Oliveira Souza pag.30 Engenharia de Controle ula 8

31 Exemplo - P, PI e PID Controle de Velovidade de um Motor CC G(s) = K t (J m s b)(l a s R a ) K t K e Comparação entre os controladores P, PI e PID Considere os parâmetros: k P = 3, k I = 15 s k D = 0,3 s Fernando de Oliveira Souza pag.31 Engenharia de Controle ula 8

32 Entrada de Referência Resposta ao degrau P PI PID 1.4 Velocidade Tempo (s) Fernando de Oliveira Souza pag.32 Engenharia de Controle ula 8

33 Entrada de Distúrbio Resposta ao degrau P PI PID 0.3 Velocidade Tempo (s) Fernando de Oliveira Souza pag.33 Engenharia de Controle ula 8

34 Sintonia de Controladores PID Não O Modelo do Processo é Disponível? Sim Não Método de Ziegler-Nichols e similares são satisfatórios? Sim Não O Modelo do Processo é Linear e Invariante no t? Sim Tentativa e Erro OK Otimização Numérica Bode Root-Locus Espaço de Estados Fernando de Oliveira Souza pag.34 Engenharia de Controle ula 8

35 Exercício 2 B/ W(s) R(s) 1 D(s) s(τ s1) Y (s) h Determine o Tipo do Sistema para entradas de distúrbio considerando: i) D(s) = k P e ii) D(s) = k P k I /s Fernando de Oliveira Souza pag.35 Engenharia de Controle ula 8

36 Exercício 2 i) Para D(s) = k P e considerando R(s) = 0, temos T W,Y = Y W(s) W(s) = B s(τs 1) k P h Portanto o erro devido ao distúrbio polinomial é: E(s) = R(s) [Y R (s) Y W (s)] = Y W (s) B = s(τs 1) k P h W(s) Fernando de Oliveira Souza pag.36 Engenharia de Controle ula 8

37 Exercício 2 Para W(s) = 1/s k1 e w ( ) = lim s 0 s Para k = 0 [ B s(τs 1) k P h ] 1 s k1 e w ( ) = lim s 0 B s(τs 1) k P h 1 s = B 0 k P h Portanto o sistema é Tipo 0 Fernando de Oliveira Souza pag.37 Engenharia de Controle ula 8

38 Exercício 2 ii) Para D(s) = k P k I /s e considerando R(s) = 0, temos E(s) = Para W(s) = 1/s k1 Bs s 2 (τs 1) (k P s k I )h W(s) e w ( ) = lim s 0 Bs s 2 (τs 1) (k P s k I )h 1 s k = B k I h Portanto o sistema é Tipo 1 Fernando de Oliveira Souza pag.38 Engenharia de Controle ula 8