EES-20: Sistemas de Controle II. 20 Outubro 2017 (Manhã)

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1 EES-20: Sistemas de Controle II 20 Outubro 2017 (Manhã) 1 / 57

2 Recapitulando: Discretização de controladores analógicos - Limitações Trata-se de aproximação Não se leva em conta o efeito do segurador de ordem zero ( zero-order hold, ZOH): r k u k u t y t y k 2 / 57

3 Aula de hoje Análise do efeito do amostrador em conjunto com o ZOH Modelo da planta amostrada (incluindo ZOH na entrada e amostrador na saída), para fins de projeto digital direto 3 / 57

4 Segurador de ordem zero r k u k u t y t y k u u(kt ), k Z u(t), t R T T T T t 4 / 57

5 Simulink: Amostrador-segurador x To Workspace Senoide Amplitude 1 Freqüência 1 Hz Zero-Order Hold (T = 0.1) xzoh To Workspace Obs1: Não confundir o período de amostragem dos blocos de tempo discreto co passo de integração empregado na simulação Na realidade, (step size: trata-se 0.01 neste de caso). bs2: Os parâmetros de simulação devem estar configurados amostrador-segurador com a opção "Tasking ( sample-hold ). 1 xd 5 / 57

6 Simulink: Configuração do solver Não confundir o período de amostragem (T = 0,1) com o passo de integração (0,01). Usar a opção Tasking Mode - Single Tasking 6 / 57

7 Simulink: Amostrador-segurador 1 x xzoh Tempo 7 / 57

8 Simulink: Amostrador-segurador x xzoh Tempo 8 / 57

9 Obs2: Os parâmetros de simulação devem estar configurados com a opção "Tasking Mode" - "Single Taski Obs: De maneira geral, os blocos de tempo discreto já incluem um amostrador na entrada e um ZOH na saída. Senoide Amplitude 1 Freqüência 1 Hz 1 xd 1 To Workspace Discrete Transfer Fcn (Amostrador + Ganho Unitário + ZOH) T = 0.1 Obs3: A saída dos blocos de tempo discreto é mantida constante entre os instantes de amostragem. 9 / 57

10 Efeito do amostrador-segurador em uma malha de controle: Exemplo Considere a seguinte malha de controle analógica: r t e t K u t y t envolvendo uma planta com dinâmica descrita pela seguinte função de transferência: { } L y(t) 100 G c (s) = { } = L u(t) s(s + 10) Deseja-se ajustar o ganho K de modo que a resposta a degrau, em malha fechada, tenha sobressinal M p = 25 %. 10 / 57

11 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo r t e t K u t y t G c (s) = { } L y(t) { L u(t) } = 100 s(s + 10) Função de transferência em malha fechada: { } L y(t) T c (s) = { } = KG c(s) L r(t) 1 + KG c (s) = 100K s s + 100K 11 / 57

12 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo T c (s) = 100K s s + 100K = ω 2 n s 2 + 2ξω n + ω 2 n ω 2 n = 100K 2ξω n = 10 ω 2 n = 25 ξ 2 K = 1 4ξ 2 12 / 57

13 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo Sabendo que ( ) πξ M p = exp 1 ξ 2 pode-se calcular o fator de amortecimento ξ associado ao sobressinal M p = 0,25 desejado: ( ) πξ exp = 0,25 πξ = ln 0,25 1 ξ 2 1 ξ 2 π 2 ξ 2 = (ln 0,25) 2 (1 ξ 2 ) [ π 2 + (ln 0,25) 2] ξ 2 = (ln 0,25) 2 ξ>0 ξ = ln 0,25 π 2 + (ln 0,25) 2 = 0,40 13 / 57

14 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo K = 1 4ξ 2 ξ=0,40 = 1,56 Obs: Como ω 2 n = 100K, a frequência natural será ω n = 12,5 rad/s. 14 / 57

15 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo u_a Controle u Referência 0s) 1.56 Ganho 100 s(s+10) Planta y_a Saída y u_d Referência 0s) Discrete Transfer Fcn (Amostrador + Ganho Unitário + ZOH) T = s(s+10) Planta Controle u y_d Saída y 15 / 57

16 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 1.4 Saída y Tempo 16 / 57

17 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 1.3 Saída y Tempo 17 / 57

18 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 1 Controle u Tempo 18 / 57

19 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo Suponha que o controlador deva ser implementado em um computador digital, com o uso de conversores A/D e D/A. O primeiro passo consiste na escolha do período de amostragem T : Considerando que o projeto do controlador analógico resultou em ω n = 12,5 rad/s e usando a aproximação ω b ω n para o sistema em malha fechada, será tomado ω a = 20ω n = 250 rad/s Portanto: T = 2π ω a = 0,03 s 19 / 57

20 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 20 / 57

21 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 1.4 Saída y Tempo 21 / 57

22 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 1.4 Saída y Tempo 22 / 57

23 Efeito do amostrador-segurador: Exemplo 2 Controle u Tempo 23 / 57

24 Explicação: Análise aproximada do efeito do amostrador-segurador v t v k v S/H t 24 / 57

25 Explicação v t t 25 / 57

26 Explicação v k v kt T T T T t 26 / 57

27 Explicação v S/H t T T T T t 27 / 57

28 Explicação v S/H t T T T T T t 28 / 57

29 Explicação v t T v S/H t t O efeito do amostrador-segurador pode ser aproximado por um atraso de T /2 (meio período de amostragem). 29 / 57

30 Análise aproximada do efeito do amostrador-segurador r t e t K u t T u t T/2 y t Lembrando que L {u(t T2 ) } { } = e st /2 L u(t) chega-se à seguinte função de transferência de malha aberta: { } L y(t) G c(s) 100 = { } st /2 = e L u(t) s(s + 10) }{{} G c(s) 30 / 57

31 Análise aproximada do efeito do amostrador-segurador G c(s) = 100 s(s + 10) } {{ } G c(s) st /2 e De maneira aproximada, um fator de amortecimento equivalente para o sistema em malha fechada pode ser calculado com base na margem de fase: ( ) PM ξ = asen 2 considerando o ganho K = 1,56 e o período de amostragem T = 0,03 segundo. 31 / 57

32 Análise aproximada do efeito do amostrador-segurador Passo 1: Obter a margem de fase considerando a função de transferência G c (s) sem atraso. >> Gc = zpk([],[0-10],100); >> K = 1.56; >> margin(k*gc) 32 / 57

33 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 43.2 deg (at 10.7 rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) PM = Frequency (rad/s) 0,754 rad {}}{ 43,2 em ω cp = 10,7 rad/s 33 / 57

34 Análise aproximada do efeito do amostrador-segurador Passo 2: Incluir o efeito do atraso. G c(s) st /2 = G c (s)e G c(jω) = G c (jω) G c(jω) = G c (jω)e jωt /2 G c(jω) = G c (jω) ωt /2 [rad] O atraso não altera a frequência ω cp de cruzamento de 0dB. A margem de fase é reduzida por ω cp T /2 [rad]. PM = PM ω cp T /2 = 0,754 10,7 0,03/2 = 0,594 rad 34 / 57

35 Análise aproximada do efeito do amostrador-segurador Passo 3: Calcular o coeficiente de amortecimento equivalente. PM = 0,594 rad ( ) ξ PM = asen = 0,30 2 Passo 4: Calcular o sobressinal. ( ) M p πξ = exp = 0,37 1 (ξ ) 2 (Valor consistente com o obtido por meio de simulação) 35 / 57

36 Efeito do amostrador-segurador Como levar em conta o efeito do amostrador-segurador no projeto do controlador? Duas possibilidades: Projetar um controlador analógico considerando (por aproximação) a presença de um atraso de T /2 na malha de controle e utilizar algum dos métodos de discretização vistos anteriormente. Obter um modelo para a planta amostrada (incluindo o amostrador e o segurador) e realizar um projeto digital direto. 36 / 57

37 Modelo para a planta amostrada r k e k u k u t y t y k T { } L y(t) Dada a função de transferência da planta G c (s) = { } e o período de amostragem T, deseja-se: L u(t) Obter uma função de transferência (discreta) para a planta amostrada: { } Z y[k] G(z) = { } Z u[k] 37 / 57

38 Modelo para a planta amostrada u k u t y t y k T T Ideia: Determinar a resposta a impulso g[k] e obter { } G(z) = Z g[k] 38 / 57

39 Modelo para a planta amostrada Para determinação da resposta a impulso (isto é, resposta a um delta de Kronecker), vamos fazer { 1, k = 0 u[k] = δ[k] = 0, k 0 considerando a planta inicialmente em repouso. k g k T T 39 / 57

40 Modelo para a planta amostrada k k ZOH t T k ZOH t T T T t 40 / 57

41 ZOH t δ ZOH (t) = u S (t) u S (t T ) u S t t u S t T t T T T t 41 / 57

42 Modelo para a planta amostrada k ZOH t g P,ZOH t g k T T δ ZOH (t) = u S (t) u S (t T ) { } { } { } L δ ZOH (t) = L u S (t) L u S (t T) = 1 s (e st ) 1 s = (1 e st ) 1 s Sabendo que a função de transferência da planta é G c (s), conclui-se que { } L g P,ZOH (t) = (1 e st ) G c(s) s 42 / 57

43 Modelo para a planta amostrada { } { { } g P,ZOH (t) = L 1 (1 e st ) G c(s) = L 1 G c (s) } L 1 e st G c(s) s s s Introduzindo a notação g ci (t) = L 1 { } G c (s) s pode-se escrever g P,ZOH (t) = g ci (t) g ci (t T ) 43 / 57

44 Modelo para a planta amostrada k ZOH t g P,ZOH t g k T T Portanto, g P,ZOH (t) = g ci (t) g ci (t T ) g[k] = g P,ZOH (kt ) = g ci (kt ) g ci ( (k 1)T ) { } { } G(z) = Z g[k] = (1 z 1 ) Z g ci (kt ) 44 / 57

45 Modelo para a planta amostrada: Resumo g ci (t) = L 1 { } G c (s) s { } G(z) = (1 z 1 ) Z g ci (kt ) Alguns autores empregam uma notação simplificada: { } G(z) = (1 z 1 G c (s) ) Z s 45 / 57

46 Modelo para a planta amostrada: Exemplo Dada a função de transferência obter G c (s) = 100 s(s + 10) G(z) = (1 z 1 ) Z { } G c (s) s adotando um período de amostragem T = 0,03 s. Procedimento: { } Passo 1: Obter g ci (t) = L 1 G c (s) s { } Passo 2: Calcular Z g ci (kt ) { } Passo 3: Fazer G(z) = (1 z 1 ) Z g ci (kt ) 46 / 57

47 { } Passo 1: Obter g ci (t) = L 1 G c (s) s G c (s) s = 100 s 2 (s + 10) = c 1 s c 2 s + c 3 s 2 c 1 = lim s (s + 10) s 2 (s + 10) = 100 ( 10) 2 = 1 c 3 = lim s 0 s s 2 (s + 10) = = s 2 (s + 10) = 1 s c 2 s + 10 s 2 = s2 + c 2 s(s + 10) + 10(s + 10) s 2 (s + 10) = (c 2 + 1)s 2 + (10c )s s 2 (s + 10) c 2 = 1 47 / 57

48 Logo, g ci (t) = L 1 { G c (s) = 1 s s s + 10 s 2 } G c (s) = e 10t t, t 0 s { } Passo 2: Calcular Z g ci (kt ) g ci (kt ) = (e 10T ) k kT, k 0 { } Z g ci (kt ) = z z e 10T z z Tz (z 1) 2 48 / 57

49 { } Z g ci (kt ) = z z e 10T z z 1 + { } Passo 3: Fazer G(z) = (1 z 1 ) Z g ci (kt ) G(z) = ( )[ z 1 z z z e 10T z z Tz (z 1) 2 ] 10T z (z 1) 2 = (z 1) (z 1)2 (z 1)(z e 10T ) + 10T (z e 10T ) (z 1) 2 (z e 10T ) = z 2 z 2 + ( 2 + e 10T T )z + 1 e 10T 10Te 10T (z 1)(z e 10T ) 1 e 10T 10Te 10T = ( 1 + e 10T z + 1+e + 10T ) 10T +10T (z 1)(z e 10T ) 49 / 57

50 G(z) = ( 1 + e 10T + 10T ) z Te 10T 1+e 10T +10T (z 1)(z e 10T ) Para T = 0,03 s, tem-se z + 0,905 G(z) = 0,0408 (z 1)(z 0,741) Matlab: Função c2d com opção zoh 50 / 57

51 Verificação no Matlab >> Gc = zpk([],[0-10],100); >> T = 0.03; >> G = c2d(gc,t, zoh ) (z ) (z-1) (z ) 51 / 57

52 Função de transferência da planta amostrada G z G c s u k u t y t y k T T G(z) = (1 z 1 ) Z { } G c (s) s Importante: Trata-se de discretização exata. 52 / 57

53 Função de transferência da planta amostrada: Simulink 53 / 57

54 Função de transferência da planta amostrada: Simulink u(t) u[k] = u(kt) Tempo t 54 / 57

55 Função de transferência da planta amostrada: Simulink yp(t) (Planta) ym[k] (Modelo discreto) Tempo t 55 / 57

56 Próxima aula Especificações para projeto digital direto: Estabilidade Erro em regime permanente 56 / 57

57 Aula subsequente (2a feira) Especificações para projeto digital direto: Estabilidade Erro em regime permanente Resposta transitória Projeto no plano z 57 / 57