Controle Digital. Prof. Adolfo Bauchspiess ENE/FT/UnB. CDig-ENE/UnB
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- Benedito Graça Prado
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1 Controle Digital Prof. Adolfo Bauchspiess ENE/FT/UnB CDig-ENE/UnB
2 . Introdução -Sistema de Controle Digital CDig-ENE/UnB 2
3 Conversor A/D -Quantização CDig-ENE/UnB 3
4 Sistema de Controle Digital -Sinais Obs: Referência e detetor de erro podem também ser implementados em software. Ogata, Discrete Control CDig-ENE/UnB 4
5 3.2 Efeito da Amostragem Hold Atraso no sistema realimentado prejudica a estabilidade e o amortecimento ekt ukt ut Eq. A diferenças D/A Hold Atraso médio T/2 análise do sistema contínuo com Hold 2 / T G h s = Padé s + 2 / T CDig-ENE/UnB 5
6 Análise no domínio ω T = exp-jωt Atraso T/2 redução de fase δϕ = - ωt/2 T = exp-jωt CDig-ENE/UnB 6
7 Exemplo 3.3 Redução da Margem de T s T s G s s s D s s s G h + = + + = + = 2 / 2 / Margem de Fase ML T j D G feedback s sys Gh D G feedback s sys D G feedback s sys = = = 2, / *exp * 2, * *, * 0 ω 7 CDig-ENE/UnB
8 Exemplo 3.3 G s = s+ 2 ; D s = 70 ; G s s + s + 0 h s = 2/ T s + 2/ T Bode Diagram sys0 sys 0 sys2 sys0 s = sys s = sys2 s = feedbackg * D, feedbackg * D* Gh, feedbackg * D*exp jωt /2, Magnitude db Step Response Amplitude 0.5 Phase deg Time sec CDig-ENE/UnB Frequency rad/sec 8
9 Controle PID por emulaçãocdigprj T k x k x x Euler de método pelo Digitalização + = & : : 0 + = = = = k e T K k u k u d e T K t u I k Ke k u t Ke t u P i t Euler i η η [ ] : = = k e k e T KT k u t e T K t u D d Euler d & = 2 2 k e T T k e T T k e T T T T K k u k u d d d i e T T e e K u s T T s K s e s u s D d i d i && & & + + = + + = = Projeto Contínuo discreto: ~30BW, quase-contínuo PID discreto 9 CDig-ENE/UnB
10 4 -Análise de Sistemas Discretos Computador como controlador Dinâmico: Caso Linear, finito: eq. de recorrência Origem do nome: eq. a diferenças b 0 =b 2 =0 CDig-ENE/UnB 0
11 A Função de Transferência Discreta Transformada Z de e 0,e,... e k,... Exemplo: CDig-ENE/UnB
12 A Função de Transferência Discreta H z = ˆ U z E z Ez Uz Hz CDig-ENE/UnB 2
13 Pólos e Zeros MatLab: >> H = tf[b 0 b... b m ],[ a a 2... a n ],T >> H2 = zpkz, p, k, T >> H2 = zpkh >> H= tfh2 Ex: degrau unitário Hz = z - Ez Uz u k =e k- z - CDig-ENE/UnB T 3
14 Diagramas de Blocos CDig-ENE/UnB 4
15 Formas Canônicas Forma Canônica Controlável Franklin CDig-ENE/UnB 5
16 Forma canônica observável Franklin CDig-ENE/UnB 6
17 Resposta ao Pulso Unitário Transformada da resposta ao pulso unitário CDig-ENE/UnB 7
18 Exemplo: CDig-ENE/UnB 8
19 Convolução Produto no domínio da frequência: Convolução no domínio do tempo discreto CDig-ENE/UnB 9
20 BIBO Estabilidade Entrada limitada: Saída limitada se: CDig-ENE/UnB 20
21 Exemplo -BIBO Estabilidade Sistema discreto: Resposta a um Pulso unitário: Estabilidade: CDig-ENE/UnB 2
22 Modelo Discreto de Sistemas Amostrados Pulso unitário ukt ut yt ykt D/A Gs A/D CDig-ENE/UnB Modelo discreto equivalente de Gs 22
23 Exemplo: G s = s a + a Modelo discreto equivalente com ZOH CDig-ENE/UnB 23
24 4.4 Resposta Dinâmica Procedimento:. Hz 2. Ez 3. Uz=EzHz 4. ukt Ez Uz Hz CDig-ENE/UnB 24
25 Pulso Unitário Uz=.Hz Função de transferência discreta é a resposta ao pulso unitário. CDig-ENE/UnB 25
26 Degrau Unitário CDig-ENE/UnB 26
27 Exponencial CDig-ENE/UnB 27
28 Senóide Genérica Decompondo em parcelas: CDig-ENE/UnB 28
29 Mapeamento de pólos ζ e ω n ctes CDig-ENE/UnB 29
30 Correspondência com sinais contínuos Com T= seg. CDig-ENE/UnB 30
31 Sequências temporais associadas às posições dos pólos no plano Z CDig-ENE/UnB 3
32 Mapeamento de Linhas Características Mapeamento não unívoco: s2 = s + 2π j N T CDig-ENE/UnB 32
33 Resposta em Frequência entrada saída Considerando CDig-ENE/UnB 33
34 Propriedades da Transformada Z. Linearidade 2. Convolução de sequências temporais CDig-ENE/UnB 34
35 Propriedades da Transformada Z Deslocamento no tempo 4. Escalonamento em z Ex: CDig-ENE/UnB 35
36 Propriedades da Transformada Z a Inversão por divisão longa Ex: CDig-ENE/UnB 36
37 Propriedades da Transformada Z... 6.a Inversão por divisão longa Ex:... Por comparação direta: CDig-ENE/UnB 37
38 Propriedades da Transformada Z... 6.b Inversão por expansão em frações parciais Ex: CDig-ENE/UnB 38
39 5-Sistemas Amostrados. Sample & Hold CDig-ENE/UnB 39
40 S&H Análise Matemática Separar Sample de Hold Amostragem => modulação por impulsos Propriedade* CDig-ENE/UnB 40
41 T. Laplace de um sinal amostrado Para o impulso CDig-ENE/UnB 4
42 Segurador de Ordem Zero CDig-ENE/UnB 42
43 Segurador de Ordem Zero CDig-ENE/UnB 43
44 Espectro de um Sinal Amostrado Representação da série de impulsos por Fourier CDig-ENE/UnB 44
45 Espectro de um Sinal Amostrado... ω s 2π = Freq. De amostragem rad/s T CDig-ENE/UnB 45
46 Espectro de um Sinal Amostrado... Espectro de Amplitude Espectro do sinal Amostrado aliasing 0 CDig-ENE/UnB 46 2π R jω alias 2π R[ j ω ] 4243 T ω de
47 Exemplo Alias 2π ω + n = ω + T nω s Sinais de /8 Hz e 7/8Hz amostrados a Hz f 0 =/8 - = -7/8 senoide invertida w=2*pi*/8; w2=2*pi*7/8; t=0:0.0:0; T=0:0,plott,sin-w*t,t,sinw2*t,T,sin-w*T,'*' CDig-ENE/UnB 47
48 Alias Componentes de alta frequência geram erros quando amostrados preceder S&H por filtro passa-baixas anti-alias Remover componentes e espectrais acima de π/t π/t frequência de Nyquist CDig-ENE/UnB 48
49 Teorema da Amostragem 0.8 π/t frequênciade Nyquist Sinais sem componentes acima da freq. de Nyquist são representados/recuperados de forma única de suas amostras A frequência de amostragem, ω s =2π/T deve ser pelo menos duas vezes a maior frequência π/t do sinal. CDig-ENE/UnB 49
50 Interpolação de Sinais Amostrados Filtro Passa-Baixas Ideal reconstrução de rt a partir de suas amostras T Ljω -π/t π/t ω Resposta ao Impulso acausal CDig-ENE/UnB 50
51 Interpolação de Sinais Amostrados... Recuperação do sinal analógico T Ljω -π/t π/t ω Propriedade de amostragem Filtro ideal: Acausal Não é realizável!! adicionar atrasozoh CDig-ENE/UnB 5
52 Recuperação do sinal analógico, via ZOH do conversor A/D Aceitar um atraso de T/2 Atraso T/2 CDig-ENE/UnB 52
53 Senóide amostrada v t = Asin ω0t ZOH Harmônica Fundamental: Alteração de amplitude e fase CDig-ENE/UnB 53
54 Senóide amostrada v t = Asin ω0t ZOH Harmônica Fundamental: CDig-ENE/UnB 54
55 Análise de Diagramas de Blocos Funções de transferência discretas equivalentes? Definição: Transformada de Laplace do sinal amostrado st z = e CDig-ENE/UnB 55
56 Propriedade da Amostragem Es*Gs*= Es*Gs* Propriedade básica para Simplificar diagramas de blocos Importante : U s = E s G s U* s = E s G s* U* s E* s G s* notação U z = U* s CDig-ENE/UnB 56 e st = z
57 Exemplo Retirando os sinais periódicos: Denominando CDig-ENE/UnB 57
58 Exemplo Controlador: Solução: Modelo equivalente Transf. Inv. Ao degrau CDig-ENE/UnB 58
59 Outro exemplo Eq. do sistema: Amostrando: Não existe função de transferência Y*/R* Sistema variante no tempo!! CDig-ENE/UnB 59
60 Obtenção Experimental do Ganho de Malha Aberta: sinal w, r = 0 Sinais w genéricos função de transferência MA E 2 */E * sinal W fica misturado CDig-ENE/UnB 60
61 2 Sinal senoidal uma exponencial por vez ω 0 < π/t sem sobreposição do espectro G* = G p/ ω < π/t F.T. MA! 3 F.T. MA: G com filtro passa-baixas anti-alias G = 0 p/ ω > π/t CDig-ENE/UnB 6
62 4 waplicado via Sample& Hold F.T. MA discreta CDig-ENE/UnB 62
63 Transformada Z modificada Permite calcular valores entre os instantes de amostragem Verificar oscilações escondidas escolher outra taxa de amostragem!! Simulink z Step z-z-0.7 Controlador Discreto Ta=seg s+3s+.5+25js+.5-25j Processo Zero-Order Hold Scope CDig-ENE/UnB
64 6. Sistemas Discretos Equivalentes Exemplo: Eq. Diferencial ukt = ukt-t + Área CDig-ENE/UnB 64
65 Alguns métodos de integração simples Regra Retangular em Avanço Euler 2 Regra Retangular em Atraso CDig-ENE/UnB 65
66 3 Regra Trapezoidal CDig-ENE/UnB 66
67 Alguns métodos de discretização CDig-ENE/UnB 67
68 Mapeamento da Região de Estabilidade Retangular em avanço Retangular em atraso Trapezoidal a z = + Ts Filtro estável em s SPE pode ser mapeado em um filtro discreto instável pólos z i > CDig-ENE/UnB 68
69 Equivalente Prewarp Pré-Compensação Corrige a distorção que ocorre na frequência devido ao atraso T/2 do sistema discreto. Em geral, o ajuste do ganho é feito na frequênciade corte do sistema Neste ponto, ω, os sistema contínuo e discreto passam a ter o mesmo ganho. CDig-ENE/UnB 69
70 Equivalente discreto via casamento Pólo-Zero Pole-ZeroMatching Regras heurísticas p/ zeros tb. z=e st. Pólos z=e st >> sd=c2dsys,t, matched 2. Zeros finitos mapeados tb. por z=e st 3. a Zeros de Hs em s = mapeados em H ZP z em - z = e j0 = z = e jπ = - maior freq. possível em z b se sedeseja um delay: mapear um zero em e os demais em - 4. Ganho Hs s=0 = H zp z z= CDig-ENE/UnB 70
71 Exemplo: pole-zeromatching Solução: Pólo em s = -a pólo de Hz em e -at Zero s = zero de Hz em z = - Ganho de Hs em s = 0 é para casar Hz em z = deve ter ganho e -at /2 3.a 3.b CDig-ENE/UnB 7
72 Equivalentes Hold Segurador Equivalente segurador de ordem zero >> sd = c2d sys,t, zoh ou >> sd = c2dsys,t CDig-ENE/UnB 72
73 Exemplo: equivalente ZOH CDig-ENE/UnB 73
74 Equivalente Hold de ª ordem Segurador triangular ht O sistema contínuo é não causal, porém seu discreto equivalente é realizável causal!! Resposta ao impulso: Não-causal!! Equivalente segurador de ª ordem CDig-ENE/UnB 74
75 Exemplo: equivalente discreto FOH Processo: Hs = /s 2 s s Signal Generator Gain Integrator Integrator Scope Gain2 s s Integrator2Integrator3 Zero-Order Hold Gain T*T/6*[ 4 ]z z 2-2z+ Discrete Transfer Fcn CDig-ENE/UnB 75
76 Exemplo: equivalente discreto FOH 8 6 ref y C y ZOH 4 y FOH CDig-ENE/UnB 76
77 Exemplo: equivalente discreto FOH 4 ref y C y ZOH 3 y FOH ref y C y ZOH y FOH CDig-ENE/UnB 77
78 Cuidado com a extrapolação!! ref y C y ZOH y FOH ref y C y ZOH y FOH CDig-ENE/UnB 78
79 0 5 Reconstrução a partir das amostras >> reconstrn; n= n =0 y = A*sinw*t+a+A2*sinw2*t+a2 A=4; A2=; w=2; w2=0; a=pi/5; a2=pi/6; a=0; a2=0; ws=5; for i=:4:n- y = A*cosa*sincwi*T/2/pi*sinwi*t-wi*T/ A*sina*sincwi*T/2/pi*coswi*t-wi*T/ A*cosa*sincwi+2*T/2/pi*sinwi+2*t-wi+2*T/2-pi... + A*sina*sincwi+2*T/2/pi*coswi+2*t-wi+2*T/ A2*cosa2*sincwi+*T/2/pi*sinwi+*t-wi+*T/ A2*sina2*sincwi+*T/2/pi*coswi+*t-wi+*T/ A2*cosa2*sincwi+3*T/2/pi*sinwi+3*t-wi+3*T/2-pi... + A2*sina2*sincwi+3*T/2/pi*coswi+3*t-wi+3*T/2; n = end CDig-ENE/UnB 79
80 Especificação de projeto em Z Dinâmica dominante de 2ª ordem sem zeros spec_zzeta, tr, ts, T - Mostra no plano z a regiao que atende a especificaçao π/T π/t π/t 0.9π/T 0.8π/T 0.8π/T 0.7π/T 0.7π/T zeta - fator de amortecimento %UP = exp-pi*zeta/sqrt-zeta^2 tr - tempo de subida 0-90% wn >=.8/tr ts - tempo de acomodaçao % sigma >= 4.6/ts T - taxa de amostragem 0.6π/T 0.5π/T 0.4π/T π/T π/T π/T π/T 0.5π/T 0.4π/T 0.3π/T 0.2π/T 0.π/T spec_z.2,,0, π/T π/t π/t 0.9π/T 0.8π/T 0.8π/T 0.7π/T 0.7π/T 0.6π/T 0.5 π/t 0.4 π/t π/T π/T π/T π/T 0.5π/T 0.4π/T 0.3π/T 0.2π/T 0.π/T spec_z.8,.5,,. CDig-ENE/UnB 80
81 7. Projeto utilizando Transformadas Controle Clássico Transformada de Laplace Transformada Z r z - z - z - y - -0,008 x 2 x Controle Moderno Espaço de Estados 0,04 Processo -,8-0,8 0,89 0,8 Canal PI - Observador z - ^ z - x 2 ^ x y^,8 0,4-0,8 CDig-ENE/UnB 8-0,28
82 7. Projeto utilizando Transformadas Especificações aprox. de 2ª ordem, sem zeros Tempo de subida frequência natural Tempo de acomodação Sobressinal Fator de amortecimento M p = e πζ ζ 2 Coeficiente de Erro de Velocidade CDig-ENE/UnB 82
83 Escolha da Taxa de Amostragem T deve levar, em Malha Fechada, a 6 amostras entre 0 e t r Inadequado t/seg T=s; 3 amostras 0 e t r Adequado r,y Resposta suave s s + 2 T=0,5 s; 6 amostras 0 e t r t/seg T=0,3 s; 0 amostras 0 e t r CDig-ENE/UnB 83
84 Exemplo: Escolha da Taxa de Amostragem Relação entre a frequênciade amostragem e a frequêncianatural para N=0 0 e t r? A taxa de amostragem deve ser 35 vezes a frequência natural! aprox. de 2ª ordem, sem zeros CDig-ENE/UnB 84
85 Exemplo Projeto Antena rastreador angular Especificações -Sobrepasso, degrau de entrada: 6% - Tempo de acomodação % < 0 seg - e ss rastreamento rampa de inclinação 0,0 rad/seg menor que 0,0 rad -0 amostras dentro de t r G s = s0s + inquiry@anticyclone.co.uk CDig-ENE/UnB 85
86 0.03 Antena Root Locus G s = s0s + Projeto contínuo em s Proposta: Compensador em Avanço Cancelar polo em 0, 0s + D s = s Imaginary Axis Malha Aberta Real Axis Solução Im a g in a r y A x is Root Locus System: g Gain: Pole: i Damping: 0.5 Overshoot %: 6.3 Frequency rad/sec: M p = 6% 4,6 σ 0 0,0 Kv 0,0 ζ = 0,5 σ 0,46 K v Real Axis CDig-ENE/UnB 86
87 Antena G s = s0s + D s 0s + = s + Freq. natural t r T =,8 seg = t r /0 = 0,8 ω n seg = T = 0,2 seg. Implementação discreta por emulação: Pole-Zero Matcing D z = K z p = e = e 0,.0,2.0,2 z z z p = 0,9802 = 0,887 Ganho DC: 0,9802 lim D z = lim D s = = K K = 9, 5 z s 0 0,887 D z = 9,5 z z 0,9802 0,887 CDig-ENE/UnB 87
88 Implementação do Controlador D z = 9,5 z z 0,9802 0,887 Equação de recorrência: CDig-ENE/UnB 88
89 Projeto Completo CDig-ENE/UnB 89
90 Projeto Completo CDig-ENE/UnB 90
91 Simulação do Projeto por emulação.4 System: Discreto T=0,2 Time sec: 3.6 Amplitude:.2 Step Response Discreto T=0,2 T=0,2 seg.2 System: Contínuo Time sec: 3.58 Amplitude:.6 Contínuo D s = 0s + s + Amplitud de z G z = z - z z D z = 9.5 z Time sec 2% de sobresinal em vez dos 6% especificados! CDig-ENE/UnB 9
92 Simulação do Projeto por emulação.5 Step Response discreto T= T= seg System: discreto T= Time sec: 5 Amplitude:.4 contínuo D s = 0s + s + Amplitud de 0.5 G z = D z = z z - z z z Time sec 4% de sobresinal em vez dos 6% especificados! CDig-ENE/UnB 92
93 Projeto direto LGR no plano Z 0.6π/T 0.5π/T 0.4π/T ω,, sist. contínuo n ζ M p π/T 0.8π/T 0.7π/T π/T π/T 0.π/T σ = ζω n r = e σt π/t π/t 0.9π/T 0.π/T zgrid π/T 0.2π/T π/T 0.3π/T - 0.6π/T 0.5π/T 0.4π/T CDig-ENE/UnB 93
94 Projeto AastreamentoAntena M p = 6% 4,6 σ 0 0,0 Kv 0,0 ζ = 0,5 σ 0,46 K v π/T 0.8π/T 0.7π/T 0.6π/T 0.5π/T 0.4π/T π/T π/T 0.π/T ω N n r = e = Nπ /0T = 0Tω 0,5T n / π = = 0, / π = 0, π/t π/t 0.9π/T 0.8π/T 0.2π/T 0.π/T π/T 0.3π/T - 0.6π/T 0.5π/T 0.4π/T CDig-ENE/UnB 94
95 Coeficientes de Erro z G z D z z z G z D z R z E s s G Z z z G tipo + = + = = 0 Tz z t e z G z D z Tz z E em z polo DG tem tipo lim 2 = + = = CDig-ENE/UnB 95 p z K t e G D z G z D z z z t e + = + = + = lim v z z K z G z D z Tz z G z D z z t e lim lim 2 = + = + = Tz z G z D z K z v lim =
96 LGR Discreto + D z G z = 0 G z = K z z - z Controle Proporcional: muito lento e/ou oscilatório! Root Locus Root Locus Imaginary Axis 0 Imaginary Axis Real Axis Real Axis CDig-ENE/UnB 96
97 Controle Proporcional O raio dos pólos é sempre menor que 0,95 r 0,5 = T e K = 9 = 0,9048 K v = 0,92 necessário compensador dinâmico instável K v = z D z G z z z lim = lim z Tz z Tz z CDig-ENE/UnB 97
98 Compensador em Avanço D z z = z Emulação do Compensador em Avanço, T= seg, K=6,64 Root Locus.5 System: dicreto T= Time sec: 5 Amplitude:.47 Step Response.5 dicreto T= contínuo Amplitude Imaginary Axis 0.5 System: untitled Gain: 6.7 Pole: i Damping: Overshoot %: 50.7 Frequency rad/sec: Time sec Real Axis CDig-ENE/UnB 98
99 t Especificações no plano Z Trazer os pólos mais para a esquerda aumentar o avanço. K s v 0 s z D z G z = lim z Tz 0,5. = 0,6 ζ 0,5 espiral de ζ = 0,5 K r v Root Locus z 0.8 D z = 6 K v =,26 z 0.05 Step Response.4.2 M p =29%, t s = 5 seg 0.5π/T 0.6π/T 0.4π/T π/T 0.9π/T π/t π/t 0.9π/T 0.7π/T π/T π/T π/T Pólo em z=0, π/T Amplitude e zero em z=0,8 degradam a resposta de sistema de 2ª ordem π/T 0.2π/T π/T 0.3π/T Time sec CDig-ENE/UnB π/T 0.5π/T 0.4π/T
100 z 0.88 Ajuste Fino D z = 3 z K v =,04 Root Locus.4 Step Response Imaginary Axis Amplitude Real Axis Time sec CDig-ENE/UnB 00
101 Cuidado!! Oscilações Escondidas D z = z 9 z Amplitude Step Response Root Locus Time sec.2 Imaginary Axis Real Axis 0.2 CDig-ENE/UnB
102 Latência D z = 3 z 0.88 z z Função Estritamente Própria 2 Step Response Amplitude Time sec CDig-ENE/UnB 02
103 Projeto com pólo na origem D z = 6 z z z Root Locus Editor for Open Loop OL Amplitude Imag Axis Real Axis Time sec CDig-ENE/UnB 03
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