Sistemas a Tempo Discreto - Projeto

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1 Sistemas a Tempo Discreto - Projeto 1. Especificações de Projeto no domínio discreto 2. Projeto via Emulação 2.1 Controladores Equivalentes Discretos 2.2 Mapeamento pólo-zero 2.3 Avaliação do projeto pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

2 Especificações de Projeto Rastreamento de referência erro em regime Suponha que a FT do controlador seja D(z) = U(z)/E(z) e que a entrada da planta é precedida por um SOZ. A FT discreta da planta é G(z) ( 1 z 1) Z { } G(s) s E o erro entre referência e saída é E(z) = R(z) 1 + D(z)G(z) ie, análogo ao modelo contínuo... pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

3 Especificações de Projeto Constantes de Erro Entrada degrau R(z) = z/(z 1) O erro para uma referência degrau é E(z) = z z D(z)G(z) Se o sistema é estável em malha fechada (todas as raízes de 1+DG estão no interior do círculo unitário), então pelo Teorema do Valor Final e( ) = lim z 1 (z 1)E(z) = D(1)G(1) K p O tipo do sistema é dado pelo número de integradores, ou pólos em z = 1 pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

4 Especificações de Projeto Constantes de Erro Entrada rampa R(z) = Tz/(z 1) 2. O erro é E(z) = Tz 1 (z 1) D(z)G(z) e do mesmo modo, pelo Teorema do Valor Final e( ) = lim z 1 (z 1)E(z) = lim z 1 Tz (z 1) [1 + D(z)G(z)] 1 K v A constante de velocidade, K v, para um sistema Tipo 1 pode ser calculada através de (z 1)D(z)G(z) K v = lim z 1 Tz pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

5 Especificações de Projeto no plano-z Os pólos em malha fechada do sistema de 2a. ordem no caso contínuo são s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 e podem ser mapeados em lugares do plano-z através da relação z = e st. As especificações de sobre-elevação (via ζ) e t a (via ζω n ) são apresentadas a seguir com as regiões correspondentes no plano-z Nota Como a parte real ζω n é mapeada em r = e ζωnt, a especificação ζω n 4/t a é mapeada num círculo de raio r 0 = e 4 T/t a pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

6 Especificações no plano-z Amortecimento Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

7 Especificações no plano-z Tempo de acomodação Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

8 Projeto via Emulação Aproximação discreta D(z) de um controlador contínuo G c (s) que atenda as especificações de projeto Embora facilmente obtida, a aproximação D(z) pode degradar as especificações relativamente a G c (s) A qualidade da aproximação está vinculada ao período de amostragem T. Quanto menor T, melhor a aproximação pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

9 Projeto via Emulação Mapeamento de pólos e zeros Pólos: Os pólos de G c (s) são mapeados através de z = e st Se G c (s) possui um pólo em s = a, então D(z) terá um pólo em z = e at Se G c (s) tem um pólo em s = a + jb, então D(z) terá um pólo em re jθ, onde r = e at e θ = bt Zeros finitos: Zeros finitos de G c (s) são mapeados em zeros de D(z) através de z = e st. Aplicam-se as mesmas regras utilizadas para pólos Zeros em s = : são mapeados em zeros de D(z) no ponto z = 1 pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

10 Projeto via Emulação Ganho: O ganho de D(z) deve ser casado com o ganho de G c (s) em uma freqüência crítica de interesse, geralmente em s = 0 (ganho DC). Neste caso, Ganho DC = lim s 0 G c (s) = lim z 1 D(z) pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

11 Projeto via Emulação Exemplo Para G c (s) = obtém-se a, com pólo em s = a e um zero em s =, s + a como lim s 0 G c (s) = 1, então D(z) = K z + 1 z e at Ganho DC = 1 = lim K z + 1 ou K = 1 e at z 1 z e at 2 Logo o equivalente discreto de G c (s) é D(z) = (z + 1)(1 e at ) 2(z e at ) pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

12 Projeto via Emulação Exemplo de Projeto: Considere o processo G(s) = 1 s(10s + 1) = 0.1 s(s + 0.1) Objetivos: K v 1 Projetar D(z) via Emulação tal que M p 16%, t a 10s e Período de amostragem para fornecer pelo menos 10 amostras do tempo de subida Das especificações obtém-se, ζ 0.5 e ζω n 4/10 = 0.4 Qual é a região aceitável para se localizar os pólos em malha fechada no plano-s? pag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

13 Projeto via Emulação 0.8 Root Locus Editor (C) Imag Axis Real Axis pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

14 Projeto via Emulação Escolha do controlador contínuo G c (s) = K s + z s + p = K(s + 0.1) (s + 1) É uma boa escolha? Como fica agora o LR do sistema em malha fechada? Valor do ganho K? Note que em malha fechada obtém-se G(s)G c (s) 1 + G(s)G c (s) = 0.1 K s 2 + s K = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n Portanto 2ζω n = 1 ω n 1. Particularmente para ω n = 1 obtém-se K = 10 pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

15 Projeto via Emulação Seleção do período de amostragem, T? Veja que t s 1.8 ω n portanto T = t s = s 10 = 1.8s, Equivalente discreto do controlador Forma do controlador discreto D(z) = K z ẑ z ˆp Aloque o zero z = 0.1 em ẑ = e = Aloque o pólo p = 1 em ˆp = e = Calcule o ganho DC: Ganho DC = lim s 0 G c (s) = 1 = lim z 1 D(z) = K ( ) ( ) D(z) = 9.15 (z ) (z ) pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

16 Projeto via Emulação Matlab Gc = tf([10 1],[1 1]); Transfer function: 10 s s + 1 % FT Controlador contínuo Dz = c2d(gc,0.2, matched ) % equivalente discreto Dz_zpk= zpk(dz) % Forma fatorada Zero/pole/gain: (z ) (z ) pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

17 Projeto via Emulação Avaliação de Projeto Para analisar o comportamento do compensador projetado é necessário determinar a transformada-z da planta contínua precedida por um SOZ: { } (1 e st { } ) G(s) G(z) = Z G(s) = (1 z 1 ) Z s s Matlab Gz = c2d(tf([1],[10 1 0]),0.2) Gz_zpk = zpk(gz) % Planta discretizada p/ T=0.2s % Forma fatorada Zero/pole/gain: (z ) (z-1) (z ) pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

18 Projeto via Emulação Avaliação do Projeto Projeto contínuo (linha pontilhada) e Projeto discreto (linha cheia) 1.4 Step Response Amplitude Time (sec.) pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

19 Projeto via Emulação Avaliação do Projeto Problema: Para T = 0.2s M p = 20%. Mesmo para T = 0.1s M p = 18% (Com freqüência de amostragem 10Hz, que é 63 vezes mais rápido que ω n ) Solução: Otimizar o projeto do controlador contínuo G c (s) para obter uma folga quanto a sobre-elevação pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

20 Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Considere o controle para a planta do exemplo com T = 1s. A planta + SOZ e o respectivo controlador discretizado são dados por: G(z) = (z ) (z 1)(z ) D(z) = (z ) (z ) Neste caso houve uma degradação da resposta ao degrau com M p 48% como pode ser visto na próxima figura pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

21 Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Step Response From: U(1) Amplitude To: Y(1) Time (sec.) pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

22 Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Por que uma sobre-elevação tão elevada quando se considera T = 1s ao invés de T = 0.2s (como no exemplo anterior)? Para responder a esta questão vamos analisar a resposta em freqüência do sistema contínuo descrito no diagrama de Bode a seguir pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

23 Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Bode Diagrams 40 Gm = Inf, Pm= deg. (at rad/sec) 20 0 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

24 Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Uma explicação parcial a esta sobre-elevação é que o SOZ pode ser aproximado por um retardo de T/2s. Visto que um retardo de tempo de T/2 produz um decréscimo em fase na freqüência de cruzamento (onde ω cruz = 0.79 rad/s) de φ = ω cruzt 2 = 0.79(1) rad = então o SOZ produz uma redução na Margem de Fase aproximadamente igual a MF = = Como o amortecimento ζ está diretamente associado a MF pela relação MF ζ 100, logo ζ M p 38%!! Note que especificou-se uma sobre-elevação máxima de 16 % pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

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