SUMÁRIO BACKGROUND. Referências 62 MATLAB Seção B: Operações Elementares 62 Problemas 71

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1 SUMÁRIO BACKGROUND B.l Números Complexos 17 B.l-l Nota Histórica 17 B.I-2 Álgebra de Números Complexos 20 B.2 Senóides 30 B.2-1 Adição de Senóides 31 B.2-2 Senóides em Termos de Exponenciais: A Fórmula de Euler 35 B.3 Rascunhando Sinais 35 B.3-1 Exponenciais Monotônicas 35 B.3-2 Senóides Variando Exponencialmente 36 B.4 Regra de Cramer 38 B.5 Expansão em Frações Parciais 39 B.5-1 Método de Eliminação de Frações 40 B.5-2 Método de Heaviside 41 B.5-3 Fatores Repetidos de Q(x) 44 B.5-4 Mistura dos Métodos de Heaviside e Eliminação de Frações 45 B.5-5 F(x) Imprópria com m = n 47 B.5-6 Frações Parciais Modificado 47 B.6 Vetores e Matrizes 48 B.6-1 Algumas Definições e Propriedades 49 B.6-2 Álgebra Matricial 50 B.6-3 Derivadas e Integrais de Matrizes 53 B.6-4 Equação Característica de uma Matriz: Teorema de Cayley-Harnilton 55 B.6-5 Determinação da Exponencial e Potenciação de uma Matriz 56 B.7 Miscelâneas 57 B.7-1 Regra L'Hôpital 57 B.7-2 Séries de Taylor e Maclaurin 58 B.7-3 Séries de Potência 58 B.7-4 Somatórios 58 B.7-5 Números Complexos 58 B.7-6 Identidades Trigonométricas 59 B.7-7 Integrais Indefinidas 59 B.7-8 Fórmulas Comuns de Derivação 60 B.7-9 Algumas Constantes Úteis 61 B.7-1O Solução de Equações Quadráticas e Cúbicas 61 Referências 62 MATLAB Seção B: Operações Elementares 62 Problemas 71

2 10 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS 1.1 Tamanho do Sinal Energia do Sinal Potência do Sinal Algumas Operações Úteis com Sinais Deslocamento Temporal Escalamento Temporal Reversão Temporal Operações Combinadas Classificação de Sinais Sinais Contínuos e Discretos no Tempo Sinais Analógicos e Digitais Sinais Periódicos e Não Periódicos Sinais de Energia e Potência Sinais Determinísticos e Aleatórios Alguns Modelos Úteis de Sinais Função Degrau Unitário u(t) A Função Impulso Unitário 8 (t) Função Exponencial e" Funções Pares e Ímpares Algumas Propriedades de Funções Pares e Ímpares Componentes Pares e Ímpares de um Sinal Sistemas Classificação de Sistemas Sistemas Lineares e Não Lineares Sistemas Invariantes e Variantes no Tempo Sistemas Instantâneos e Dinâmicos Sistemas Causal e Não Causal Sistemas em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto Sistemas Analógicos e Digitais Sistemas Inversíveis e Não Inversíveis Sistemas Estáveis e Instáveis Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída Sistemas Elétricos Sistemas Mecânicos Sistemas Eletromecânicos Descrição Interna e Externa de um Sistema Descrição Interna: Descrição em Espaço de Estado Resumo 125 Referências 127 MATLAB Seção 1: Trabalhando com Funções 127 Problemas 133 CAPÍTULO 2 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO 2.1 Introdução Resposta do Sistema a Condições Internas: Resposta de Entrada Nula Algumas Informações sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema 155

3 SUMÁRJO A Resposta h(t) ao Impulso Unitário Resposta do Sistema à Entrada Externa: Resposta de Estado Nulo A Integral de Convolução Entendimento Gráfico da Operação de Convolução Sistemas Interconectados Uma Função muito Especial para Sistemas LCIT: a Exponencial de Duração Infinita e" Resposta Total Solução Clássica de Equações Diferenciais Resposta Forçada: Método de Coeficientes Indeterrninados Estabilidade do Sistema Estabilidade Interna (Assintótica) Relação entre Estabilidade EIBO e Assintótica Visão Intuitiva sobre o Comportamento de Sistemas Dependência do Comportamento do Sistema com os Modos Característicos Tempo de Resposta de um Sistema: a Constante de Tempo do Sistema A Constante de Tempo e Tempo de Subida de um Sistema A Constante de Tempo e Filtragem A Constante de Tempo e Dispersão (Espalhamento) do Pulso A Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação O Fenômeno da Ressonância Apêndice 2.1: Determinação da Resposta ao Impulso Resumo 206 Referências 208 MATLAB Seção 2: Arquivos.M 208 Problemas 214 CAPÍTULO 3 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO 3.1 Introdução Tamanho de um Sinal em tempo discreto Operações Úteis com Sinais Alguns Modelos Úteis em Tempo Discreto Função Impulso 8[nJ Discreta no Tempo Função Degrau Unitário Discreta no Tempo u[nj Exponencial Discreta no Tempo y" Senóide Discreta no Tempo cos (Qn + e) Exponencial Complexa Discreta no Tempo e jqn Exemplos de Sistemas em Tempo Discreto Classificação de Sistemas em tempo discreto Equações de Sistemas em Tempo Discreto Solução Recursiva (Interativa) da Equação Diferença Resposta do Sistema a Condições Internas: Resposta de Entrada Nula Resposta h[nj ao Impulso Unitário Resposta do Sistema à Entrada Externa: a Resposta de Estado Nulo Procedimento Gráfico para o Somatório de Convolução Sistemas Interconectados Uma Função Muito Especial para Sistemas LDIT: a ExponenciaJ de Duração Infinita z" Resposta Total 274

4 12 SUMÁRIO 3.9 Solução Clássica de Equações Diferença Lineares Estabilidade do Sistema: Critério de Estabilidade Externa (BIBO) Estabilidade Interna (Assintótica) Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica Visão Intuitiva sobre Comportamento de Sistemas Apêndice 3.1: Resposta ao Impulso para um Caso Especial Resumo 287 MATLAB Seção 3: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 288 Problemas 293 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADA DELAPLACE 4.1 Transformada de Laplace Determinando a Transformada Inversa Algumas Propriedades da Transformada de Laplace Deslocamento no Tempo Deslocamento na Freqüência Propriedade de Diferenciação no Tempo' Propriedade de Integração no Tempo Convolução no Tempo e Convolução na Freqüência Solução de Equações Diferenciais e Integro-Diferenciais Resposta de Estado Nulo Estabilidade Sistemas Inversos Análise de Circuitos Elétricos: o Circuito Transformado Análise de Circuitos Ativos Diagramas de Blocos Realização de Sistemas Realização na Forma Direta I Realização na Forma Direta II Realizações em Cascata e Paralelo Realização Transposta Utilização de Amplificadores Operacionais para a Realização de Sistemas Aplicação em Realimentação e Controle Análise de um Sistema de Controle Simples Resposta em Freqüência de um Sistema LCIT Resposta em Regime Permanente para Entradas Senoidais Causais Diagramas de Bode Constante Ka,a/b,b Pólo (ou Zero) na Origem Pólo (ou Zero) de Primeira Ordem Pólo (ou Zero) de Segunda Ordem Função de Transferência da Resposta em Freqüência Projeto de Filtros pela Alocação de Pólos e Zeros de H(s) Dependência da Resposta em Freqüência com os Pólos e Zeros de H(s) Filtros Passa-Baixas Filtros Passa-Faixa 404

5 SUMÁRIO Filtros Notch (Pára-Faixa) Filtros Práticos e Suas Especificações Transformada de Laplace Bilateral Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral Usando a Transformada Bilateral para a Análise de Sistemas Lineares Resumo 417 Referências 418 MATLAB Seção 4: Filtros em Tempo Contínuo 419 Problemas 428 CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z 5.1 A Transformada z Determinação da Transformada Inversa Algumas Propriedades da Transformada z Solução de Equações Diferença Lineares pela Transformada z Resposta de Estado Nulo de Sistemas LDIT: A Função de Transferência Estabilidade Sistemas Inversos Realização de Sistemas Resposta em Freqüência de Sistemas em Tempo Discreto Natureza Periódica da Resposta em Freqüência Aliasing e Taxa de Amostragem Resposta em Freqüência a Partir da Posição dos Pólos-Zeros Processamento Digital de Sinais Analógicos Conexão entre a Transformada de Laplace e a Transformada z A Transformada z Bilateral Propriedades da Transformada z Bilateral Utilização da Transformada z Bilateral para a Análise de Sistemas LDIT Resumo 508 Referências 508 MATlAB Seção 5: Filtros /IR em Tempo Discreto 508 Problemas 516 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A SÉRIE DE FOURIER 6.1 Representação de Sinais Periódicos pela Série Trigonométrica de Fourier Espectro de Fourier Efeito da Simetria Determinação da Freqüência e Período Fundamental Existência e Convergência da Série de Fourier Convergência de uma Série Papel do Espectro de Amplitude e Fase na Forma da Onda Série Exponencial de Fourier Espectro Exponencial de Fourier Teorema de Parseval Resposta de Sistema LCIT a Entradas Periódicas 563

6 14 SUMÁRIO 6.5 Série de Fourier Generalizada: Sinais como Vetores! Componente de um Vetor Comparação de Sinal e Componente de Sinal Extensão para Sinais Complexos Representação de Sinais por um Conjunto de Sinais Ortogonais 57 I 6.6 Determinação Numérica de D" Resumo 584 Referências 584 MATLAB Seção 6: Aplicações de Série de Fourier 585 Problemas 590 CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER 7.1 Representação de Sinais não Periódicos pela Integral de Fourier I-1 Avaliação Física da Transformada de Fourier Transformadas de Algumas Funções Úteis Conexão entre as Transformadas de Fourier e Laplace 6 I5 7.3 Algumas Propriedades da Transformada de Fourier Transmissão de Sinal Através de Sistemas LCIT I Distorção do Sinal Durante a Transmissão Sistemas Passa-Faixa e Atraso de Grupo Filtros Ideais e Práticos Energia do Sinal Aplicação em Comunicações: Modulação em Amplitude Modulação em Faixa Lateral Dupla, Portadora Suprimida (DSB-SC)* Modulação em Amplitude (AM) Modulação em Faixa Lateral Simples (SSB) Multiplexação por Divisão na Freqüência Truncagem de Dados: Funções de Janela Usando Janelas no Projeto de Filtros Resumo 662 Referências 663 MATLAB Seção 7: Tópicos sobre Transformada de Fourier 663 Problemas 668 CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM: A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO 8.1 Teorema da Amostragem Amostragem Prática Reconstrução do Sinal Dificuldades Práticas na Reconstrução do Sinal Algumas Aplicações do Teorema da Amostragem Conversão Analógico para Digital (AID) Dual da Amostragem no Tempo: Amostragem Espectral Cálculo Numérico da Transformada de Fourier: a Transformada Discreta de Fourier (TDF) Algumas Propriedades da TDF Algumas Aplicações da TDF 716

7 SUMÁRIO A Transformada Rápida de Fourier (FFT) Resumo 723 Referências 723 MATLAB Seção 8: Transformada Discreta de Fourier 724 Problemas 730 CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO 9.1 Série de Fourier em Tempo Discreto (SFTD) Representação de um Sinal Periódico pela Série de Fourier em Tempo Discreto Espectro de Fourier de um Sinal Periódico x[n] Representação de Sinal Não Periódico pela Integral de Fourier Natureza do Espectro de Fourier Conexão entre a TFTD e a Transformada z Propriedades da TFTD Análise de Sistema LIT em Tempo Discreto pela TFTD Transmissão sem Distorção Filtros Ideais e Práticos Conexão da TFTD com a TFTC Utilização da TDF e FFT para o Cálculo Numérico da TFTD Generalização da TFTD para a Transformada z Resumo 775 Referência 776 MATLAB Seção 9: Trabalhando com a SFTD e a TFTD 776 Problemas 783 CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS 10.1 Introdução Procedimento Sistemático para a Determinação das Equações de Estado Circuitos Elétricos Equações de Estado a partir da Função de Transferência Solução de Equações de Estado Solução pela Transformada de Laplace de Equações de Estado Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado Transformação Linear do Vetor de Estado Diagonalização da Matriz A Controlabilidade e Observabilidade Incapacidade da Descrição por Função de Transferência de um Sistema Análise por Espaço de Estados de Sistemas em Tempo Discreto Solução no Espaço de Estados Solução pela Transformada z Resumo 834 Referências 835 MATLAB Seção 10: Toolboxes e Análise por Espaço de Estados 835 Problemas 841 ÍNDICE 847