Modelos de Sistemas Amostrados
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- Leonardo Bergmann Barroso
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1 20 Modelos de Sistemas Amostrados Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh) Qual a função de transferência discreta vista pelo computador?
2 21 Recorde-se que, para determinar a função de transferência, devemos: Aplicar um sinal à entrada do sistema, com condições iniciais nulas Observar a saída Determinar as transformadas Z da entrada e da saída correspondente Calcular a função de transferência como o quociente entre a transformada Z da saída e a transformada Z da entrada Que sinal de teste é mais conveniente aplicar?
3 22 Método Escalão Invariante Se aplicarmos um escalão discreto à entrada, à entrada do sistema contínuo aparecerá também um escalão, o que facilita as contas Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh)
4 23 Equivalência das saídas nos instantes de amostragem A função de transferência discreta equivalente é [ ] [ ]
5 24 Função de Transferência Discreta Sendo u(kh) um escalão discreto, a sua transformada Z é: Portanto: [ ]
6 Método Escalão Invariante (Conclusão) 25 Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh) Do ponto de vista do computador, i.e. entre a entrada e a saída discreta, este sistema é equivalente a um SLIT discreto com função de transferência
7 Tabelas Auxiliares TZ de sinais amostrados Equivalentes ZOH 26
8 27 Modelo de sistema amostrado Exemplo Qual a função de transferência discreta (causal) que se obtém quando se amostra o sistema contínuo com função de transferência Solução: Decompondo em fracções simples +? + + +
9 TL inversa do primeiro termo: TL inversa do segundo termo: + Amostrando nos instantes kh: 28 Cuja TZ é:
10 29 Finalmente, a função de transferência discreta vem dada por: A região de convergência deve ser escolhida por forma a que o sistema seja causal.
11 30 A resposta ao escalão do sistema contínuo coincide, nos instantes de amostragem, com a resposta do sistema discretizado. Isto não acontece para outro tipo de entradas, por exemplo uma sinusóide Este facto motiva que se designe este método de discretização por método do escalão invariante.
12 Entradas Constantes por Troços (Zero-Order-Hold) Se os sinais de entrada de um sistema provêm de um retentor de amostras de ordem zero (zero-order-hold) então a saída dos sistemas contínuo e discreto equivalem-se nos instantes de amostragem: 31 1 u(t) sin(t), h 0.5s
13 Transformação dos pólos 32 Na discretização com retentor de amostras de ordem zero os pólos são transformados de acordo com uma transformação exponencial. Um pólo em no contínuo é transformado num pólo dado por: Características de estabilidade são preservadas: semi-plano complexo esquerdo é mapeado no interior do círculo unitário. Unicidade não é preservada: vários pontos do plano-s são mapeados num mesmo ponto do plano-z (aliasing).
14 Exemplo de transformação de pólos 33
15 34 Sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados ω + ζω + ω Os pólos são transformados nas raízes do polinómio + + ( ) ζ ω ζω ζω
16 35 Transformação dos zeros A transformação dos zeros é mais complexa e não existe uma regra geral simples. Para elevadas frequências de amostragem, um sistema contínuo com N polos e M zeros finitos (s i, j 1,...,M), conduz a um sistema discreto com: N-1 zeros finitos (d 1) M zeros em N-M-1 zeros tendem para as raízes dos polinómios da tabela: N-M A(z) Raízes z z 2 + 4z , z z z , -1, z z z z , , ± j0.9860
17 36 Deve ser notado que um sistema contínuo de fase mínima pode dar origem, por amostragem, a um sistema de fase não mínima (i. e. em que há zeros fora do círculo unitário), o que pode dar origem a problemas no controlo. Em muitos casos isto acontece para ritmos de amostragem o que sugere sugere que nem sempre é bom aumentar o ritmo de amostragem (ao contrário do que nos diz a intuição e do que sucede em problemas de Processamento de Sinal).
18 37 Método Rampa Invariante Em alguns sistemas, não é adequado introduzir sinais do tipo escalão (descontinuidades). Uma forma de eliminar o problema é a utilização de retentores de ordem-1 na entrada do sistema: time Para gerar o sinal a partir de tkh, é necessário conhecer o seu valor para t kh+1. Por isso, este método costuma também denominar-se predictive first-order hold. Para aplicar este modelo em controlo, os controladores projectados valor da actuação do sistema u(kh+1) no instante t kh. Requerem, portanto, um atraso adicional.
19 38 Equivalente discreto com Predictive First-Order Hold (PFOH) Pode ser implementado com um ZOH, um integrador, e um novo sinal de entrada v(k). + ZOH 1/s G(s) A/D + PFOH G(s) A/D { }
20 39 Oscilações Escondidas Os modelos de sistemas amostrados anteriores apenas nos dizem o que acontece nos instantes de amostragem. No intervalo entre esses instantes, coisas estranhas podem acontecer Para evitar estes efeitos, deveremos garantir que o intervalo entre amostras seja bastante mais curto do que o período das frequências naturais do sistema
21 40 Selecção do Ritmo de Amostragem Regra prática: A frequência de amostragem deve ser cerca de 10 a 30 vezes superior à largura de banda (-3dB) do sistema em análise. Para efeitos de aproximação entre as respostas do sistema contínuo e seu equivalente discreto, considerar a largura de banda do sistema em malha aberta. No entanto, na maior parte das vezes pretende-se efectuar o controlo do sistema e portanto, deve-se considerar a largura de banda desejada do sistema em malha fechada.
22 41 Exercícios 1 Considere o modelo simplificado de um motor DC: + a) Deduza, utilizando a definição, o seu equivalente discreto ZOH. b) Confirme a validade da expressão obtida com o resultado listado na tabela de transformadas. c) Mostre que o mesmo equivalente discreto pode ser obtido pela discretização ZOH do termo 1/s, seguido da discretização PFOH do termo +.
23 42 2 Considere o sistema contínuo descrito pela função de transferência G(s): + + a) Obtenha a função de transferência discreta do sistema para um intervalo de amostragem h 0.5 (pode usar a função matlab c2d ). b) Quais os valores dos polos e zeros do sistema discreto? Confirme a regra exponencial de transformação dos polos. c) Faça h tender para zero. Para que valores tendem os polos e zeros do sistema dado? Confirme o comportamento assimptótico dos zeros dado pela tabela da pag d) Escolha uma frequência de amostragem adequada para efectuar o controlo por retroacção unitária deste sistema.
= + Exercícios. 1 Considere o modelo simplificado de um motor DC:
7 Exercícios 1 Considere o modelo simplificado de um motor DC: a) Deduza, utilizando a definição, o seu equivalente discreto ZOH. b) Confirme a validade da expressão obtida com o resultado listado na tabela
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