Melhoramos a resposta temporal associando um compensador de avanço de fase que contribui com

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1 Compensador por Avanço / Atraso de fase A compensação de avanço / atraso de fase, é a composição das duas técnicas vistas anteriormente em um único compensador. Melhoramos a resposta temporal associando um compensador de avanço de fase que contribui com um determinado ângulo, modificando o CLR para o ponto desejado. Associando um compensador de atraso de fase, permitimos o aumento do ganho de malha aberta, sem alteração do CLR em malha fechada e com isto diminuímos o erro de estado estacionário. Um compensador de avanço / atraso de fase, permite que ambas funções sejam implementadas em um único compensador. Considerando a função de transferência de um compensador de avanço / atraso de fase, a equação que segue. (s + T ) (s + T2 ) G c(s) = K c ) (s + γt β ( s + ) = K c γ βt 2 (T s + ) ( ) (T 2s + ) T γ + (βt 2 s + ) Esta é facilmente obtida por circuitos eletrônicos com amplificadores operacionais, conforme visto no capitulo 3. A partir da equação matemática, sabemos que temos de obedecer β > e γ >, o que nos permite dois métodos para calcular esta tipo de compensador,. Quando β γ, procedemos como uma combinação dos métodos de avanço e de atraso de fase, independentes como feito até o momento 2. Quando β = γ, iremos mais adiante verificar os procedimentos para respeitar estas condições.

2 2 o Caso β γ Será uma combinação dos projetos de avanço e atraso de fase, devemos seguir o procedimento.. Baseado nas especificações necessárias determine a posição dos pólos dominantes de malha fechada. 2. A partir da função de transferência de malha aberta G (s), do sistema não compensado, determine a contribuição angular que o compensador deve impor ao sistema, para que o caminho passe pelos pólos desejados. A parte de avanço do compensador será responsável por esta parte da compensação 3. Supondo que mais adiante, será escolhido um valor de T 2 suficientemente alto para garantir que o modulo da parte de atraso de fase seja aproximadamente igual a unidade, escolhemos os valores do pólo e zero a partir da necessidade angular. Os valores do pólo e zero não são únicos (uma infinidade de pares de valores atendem ao projeto), e então determine o valor de Kc da condição de modulo. Está será a parte de compensação de avanço de fase.. Sendo a constante de erro especificada, determine o valor que satisfaça os requisitos de K p K v ou K a, conforme o sistema, tipo 0, ou 2. Sendo que T e γ foram determinados no item 3, assim através de K p K v ou K a podemos determinar o valor de β. Finalmente determinamos o valor de T 2 e ajustamos o valor do ganho ˆK c. Exemplo Para o sistema apresentado abaixo, deseja-se alterar o coeficiente de amortecimento para ζ = 0, 5, aumentar a freqüência natural de oscilação para W n = 5rad/seg e a constante de erro estático de velocidade para K v = 80seg. Projetar o compensador que atenda a esta necessidade. + - s(s+0,5) Condições atuais do sistema. Pólos dominantes F T MF = s 2 + 0, 5s + s,2 = 0, 25 ±, 98j ( ), 98 Grau de amortecimento ζ = cos arctg ζ = 0, 25 0, 25 Freqüência natural de oscilação W n = W n = 2 rad/seg Constante de erro K v = lim s s(s + 0, 5) K v = 8 seg -

3 3 Pelas especificações os novos pólos dominantes estarão em: Im -2,5±,3j +,3j -2,5 Wn=5 ζ=0,5 Re Calculamos a deficiência angular, pela condição de módulo. s(s + 0, 5) = s= 2,5+,3j A nova posição dos pólos dominantes serão. s,2 = 2, 5 ±, 3j ( 2, 5 +, 3j)( 2, +, 3j) =, 97 20, 7 5 = 80 23, = 80 M 55 Calculando a posição de pólo e zero do compensador de avanço, neste caso variamos um pouco o método tradicional de calculo e alocar o zero exatamente sobre o pólo do sistema em s = 0, 5 (ver cancelamento de pólos e zeros) e assim facilitar os cálculos. -2,5+,3j o ,5 0 A seguir, calculamos o valor de Kc. K c (s + 0, 5) (s + 5) = K c s + T s + γ T T = 2 γ = 5.2 = 0 K (s + 0, 5) c (s + 5) s (s + 0, 5) = 80 Kc = 6, 2 G cav(s) = 6, 2 s + 0, 5 s= 2,5+,3j s + 5 Agora calculamos a parcela de atraso de fase do compensador. β K v = lim sg c(s) G (s) = lim sk c γ G c(s) = lim s 6, 26 β 0 s (s + 0, 5) = 80 β = 6 Escolher um valor para T 2. Temos T 2 = 0, muito próximo ao pólo, que deve estar mais próximo ainda da origem, logo T 2 = 0, 2 T 2 = 5. Calculando o ganho e também verificando a contribuição angular do compensador por atraso de fase.

4 s (s + 0, 5) 6, 2 (s + 0, 5) (s + 5) (s + 0, 2) ˆK c (s + 0, 025) = 80 ˆK c =, 0 2 s= 2,5+,3j Podemos considerar por aproximação o ganho unitário e a compensação está contribuindo com 2 o, que é dentro do limite estabelecido. Resultamos na função de transferência do compensador por avanço em cascata com o compensador por atraso. s + G c(s) = 6, 2 2 s s + 5 s + 6x5 = 6, 2 ( ) ( s + 0, 5 s + 0, 2 ) s + 5 s + 0, 025 (2s + ) (5s + ) = 0 (0, 2s + ) (80s + ) Verificando com o MatLab os resultados obtidos. O CLR, com e sem compensação sem compensação 0 com compensação A resposta temporal, com e sem compensação, para excitação à degrau e a rampa. A implementação do circuito ativo. G c(s) = R R 6 (R + R 3 ) C s + (R 2 C 2 s + ) R 3 R 5 (R C s + ) (R 2 + R ) C 2 s + = 0 (2s + ) (5s + ) (0, 2s + ) (80s + ) Adotando C = 0 uf, C 2 = 00 uf e R 5 = 0 KΩ.

5 rampa de excitação rampa com compensação rampa sem compensação degrau com compensação 0 degrau sem compensação R C = 0, 2 R = 0, 2 0uF = 20KΩ (R + R 3 ) C = 2 R 3 = 2 0uF 20KΩ = 80KΩ R 2 C 2 = 5 R 2 = 5 00uF = 50KΩ (R 2 + R ) C 2 = 80 R = 80 00uF 50KΩ = 750KΩ R R 6 = 0 R 6 = 0.80K.0K R 3 R 5 750K = 2KΩ 50K 00 uf 2K 20K 0 uf 750K 80K 0K

6 6 2 o Caso β = γ Considerando agora que faremos β = γ, os procedimentos de calculo do compensador serão um pouco diferentes.. Baseado nas especificações necessárias determine a posição dos pólos dominantes de malha fechada. 2. O compensador por avanço e atraso de fase, terá sua função de transferência modificada para. ) ) (s + (s T + T2 (T s + ) (T 2 s + ) G c(s) = K c ( ) T β s + (βt 2 s + ) = K c ) ( (s + βt s + ) onde β > βt 2 Com a constante estática de velocidade especificada, calcule ˆK c a partir da equação: K v = lim s G c(s) G (s) = lim s ˆK c G (s) 3. Determine a contribuição angular que um compensador de avanço deve fornecer para levar os pólos dominantes a posição desejada.. Determine a posição do pólo e do zero do compensador de avanço, e então calcule os valores de T e β 5. Utilizando o valor de calculado, escolha agora o valor para T 2, de forma que o valor de βt 2, a maior constante de tempo do sistema não deverá ser muito grande para permitir que o sistema seja fisicamente realizavel. Exemplo Vamos repetir o exemplo anterior, onde fizemos β α, agora recalculando pelo 2 o caso, onde β = α. São válidos todos os cálculos anteriores de posição dos pólos dominantes da planta, nova posição e contribuição angular necessária. Pelo requisito do erro estático de velocidade K v = 80 seg,temos T e β, são calculados a partir de: K v = 80 = lim sg c(s) G (s) = lim sk c s(s + 0, 5) K c = 0 s + 0 T s + β. s + 8 {}}{ s (s + 0, 5) = T s s= 2,5+,3j T s + β , 77 = e T T s + β = 55 T s= 2,5+,33j

7 7 Devemos buscar trigonometricamente ou graficamente os pontos onde a relação entre os módulos de distancia entre pólo e zero sejam 8, formando um ângulo de 55, 77 p 8-2,5+,3j 55º,3,77 z b lei dos cossenos a 2 = 8 2 +, , 77 cos 55 a = 6, 56 d 2 + b 2 =, 77 2 c 2 + b 2 = 8 2 c = 6, 2 d = 0, b =, 76 c a -2,5 d c + d = 6, 56 z 0,, 3 z = 0, 3, 76 por semelhança de triangulo p 6, 2, 3 p = 5, 76, 76 Portanto o zero se localiza em s z = 2, 37 e o pólo em s p = 8, 26. Permitindo o calculo de T = = 0, 2 e β = 8, 26.0, 2 = 3, 7. 2, 38 (s + 2, 38) E a parte de compensação de avanço, resulta em 0 (s + 8, 26) Para a parte de atraso de fase, escolhemos T 2 = 0. βt 2 = = 0, 029 3, 7.0 O compensador de Avanço / Atraso de fase com β = γ, fica. O CLR, com e sem compensação (s + 2, 38) (s + 0, ) G c(s) = 0 (s + 8, 26) (s + 0, 029) com compensação sem compensação

8 8 A resposta temporal, com e sem compensação, para excitação à degrau e a rampa rampa de excitação rampa com compensação rampa sem compensação 2 0 degrau com compensação degrau sem compensação