EES-20: Sistemas de Controle II. 09 Outubro 2017

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1 EES-20: Sistemas de Controle II 09 Outubro / 51

2 Projeto de controladores digitais 2 / 51

3 Projeto de controladores digitais: Arquitetura considerada r k e k u k u t y t y k Lei de controle mais simples (proporcional): sendo K um ganho a ser ajustado. u[k] = Ke[k] Obs: Considera-se que o tempo necessário para adquirir y[k], calcular u[k] e atualizar u(t) seja desprezível. 3 / 51

4 Lei de controle Considerando que o controlador digital seja dotado de memória, pode-se empregar leis de controle também com base nos valores passados de u, e: u[k] = a 1 u[k 1] a 2 u[k 2] a n u[k n] + b 0 e[k] + b 1 e[k 1] + + b n e[k n] sendo a 1, a 2,..., a n, b 0, b 1,..., b n constantes a serem ajustadas. (Equação a diferenças) 4 / 51

5 Pseudocódigo: Exemplo Exemplo (supondo r[k] constante, por simplicidade): e[k] = r y[k] u[k] = u[k 1] + 3e[k] + 2e[k 1] Variáveis a serem empregadas no pseudo-código: e[k] }{{} e u[k] = u[k 1] }{{}}{{} u u 1 = r y[k] }{{} y + 3 e[k] }{{} e + 2 e[k 1] }{{} e 1 5 / 51

6 e[k] = r y[k] }{{}}{{} e y u[k] = u[k 1] }{{}}{{} u u e[k] }{{} e + 2 e[k 1] }{{} e 1 Dado de entrada: Referência r Inicialização: u 1 0, e 1 0 Passo 1: Ler y por meio do conversor A/D Passo 2: Fazer e r y Passo 3: Fazer u u 1 + 3e + 2e 1 Passo 4: Enviar u ao conversor D/A Passo 5: Fazer e 1 e, u 1 u Passo 6: Aguardar um período de amostragem e retornar ao Passo 1 6 / 51

7 Lei de controle: Função de transferência u[k] = a 1 u[k 1] a 2 u[k 2] a n u[k n] + b 0 e[k] + b 1 e[k 1] + + b n e[k n] Na forma de função de transferência: C(z) = U(z) E(z) = b 0 + b 1 z b n z n 1 + a 1 z a n z n = b 0z n + b 1 z n b n z n + a 1 z n a n 7 / 51

8 Métodos de projeto a serem estudados Discretização ( emulação ) de um controlador analógico previamente projetado Projeto digital direto: Projeto no plano z Projeto no espaço de estados 8 / 51

9 Discretização de controladores analógicos e t u t C c (s) = { } L u(t) { } L e(t) e k u k C(z) = { } Z u[k] { } Z e[k] Dada C c (s), deseja-se obter C(z) de modo que a relação entre e[k] e u[k] imposta pelo controlador digital seja aproximadamente igual à relação entre e(t) e u(t) imposta pelo controlador analógico, nos instantes de amostragem (t = kt ). 9 / 51

10 Escolha do período de amostragem 10 / 51

11 Escolha do período de amostragem e t e k u k T Se e(t) = sen (ωt), tem-se e[k] = sen (ωkt ) = sen ( }{{} ωt k) = sen (θk) θ com θ = ωt expresso em radianos por período de amostragem. Alternativamente, pode-se escrever e[k] = ejθk e jθk 2j 11 / 51

12 Escolha do período de amostragem Considere duas frequências θ 0, θ 1 com Tem-se, então: sen (θ 0 k) = ejθ 0k e jθ 0k 2j θ 0 [0, π] e θ 1 = 2π θ 0 sen (θ 1 k) = ejθ 1k e jθ 1k 2j = ej(2π θ 0)k e j(2π θ 0)k 2j = e2kπj e jθ 0k e 2kπj e jθ 0k 2j = e jθ0k e jθ 0k 2j = sen (θ 0 k) * e 2kπj = 1 para k Z. 12 / 51

13 Escolha do período de amostragem θ 0 [0, π] e θ 1 = 2π θ 0 sen (θ 1 k) = sen (θ 0 k) Fenômeno conhecido como aliasing Relação entre θ 0 e θ 1 no eixo de frequência θ (radianos por período de amostragem): 13 / 51

14 Aliasing Pode-se também analisar o eixo de frequência ω = θ/t (radianos por unidade de tempo): T T T Notação (frequência de amostragem): ω a = 2π T 14 / 51

15 Aliasing a a 2 a sen (ω 1 kt ) = sen (ω 0 kt ), k Z 15 / 51

16 Aliasing: Exemplo T = 1, ω a = 2π T = 2π 1 Linha cheia: sen (ω 0 t) ω 0 = 3π 4 e(t) 0 Linha tracejada: sen (ω 1 t) ω 1 = ω a ω 0 = 5π t 16 / 51

17 Aliasing: Consequência Em resumo: Se ω 0 [0, ω a /2] e ω 1 = ω a ω 0, então sen (ω 1 kt ) = sen (ω 0 kt ), k Z O controlador digital enxerga sen (ω 1 t) e sen (ω 0 t) como sendo o mesmo sinal. Para evitar ambiguidade, pode-se incluir um filtro passa-baixas antes do conversor A/D de modo a atenuar os sinais com frequência maior do que ω a /2 (filtro anti-aliasing ). 17 / 51

18 Filtro Anti-Aliasing a 2 18 / 51

19 Filtro Anti-Aliasing Ideal a 2 19 / 51

20 Escolha do período de amostragem: Banda passante Deve-se escolher o período de amostragem de modo a não comprometer o atendimento das especificações de projeto. Supondo que seja usado um filtro anti-aliasing, o ganho total da malha de controle será fortemente atenuado em frequências ω maiores que ω a /2 (e também em frequências menores e próximas a ω a /2, uma vez que o filtro não será ideal). Como resultado, o sistema em malha fechada necessariamente terá uma banda passante ω b menor que ω a /2. Portanto, dada uma banda passante desejada ω b,des, deve-se escolher ω a de modo que ω a /2 >> ω b,des. Sugestão: Tomar ω a = 20 ω b,des. 20 / 51

21 Escolha do período de amostragem: Tempo de subida Alternativamente: Suponha que seja especificado um tempo de subida (10 % - 90 %) desejado, denotado por t r,des. Considerando que o sistema em malha fechada tenha um modo dominante de segunda ordem e utilizando a aproximação t r 1,8 ω n chega-se a um valor para a frequência natural desejada: ω n,des = 1,8 t r,des Utilizando a aproximação ω b,des ω n,des, tem-se então ω b,des = 1,8 t r,des 21 / 51

22 Escolha do período de amostragem: Tempo de subida ω b,des = 1,8 t r,des Portanto, deve-se escolher T de modo que ω a 2 = π T >> 1,8 t r,des = ω b,des ou seja, T << π 1,8 t r,des 1,7t r,des Sugestão: Tomar T = 0,17t r,des. (Regra simples: Tomar de 5 a 10 amostras por tempo de subida). Essas recomendações podem ser encontradas de forma concisa em FRANKLIN, G. F. Rational rate. IEEE Control Systems, v. 27, n. 4, p. 19, August / 51

23 Métodos para discretização de controladores analógicos 23 / 51

24 Métodos para discretização de controladores analógicos (1) Casamento da resposta a impulso ( Impulse-invariant discretization ) (2) Mapeamento de polos e zeros ( pole-zero matching ) (3) (Próxima aula) Aproximação de integrais: (3.1) Integração retangular pela esquerda (3.2) Integração retangular pela direita (ou, equivalentemente, mapeamento de diferenciais ) (3.3) Integração trapezoidal ( transformação bilinear ou método de Tustin ) 24 / 51

25 Casamento da resposta a impulso Dirac t c t Dirac t T 25 / 51

26 Casamento da resposta a impulso Resposta em frequência do filtro anti-aliasing ideal: j T Resposta a impulso h(t): ( 1 ) sen (πt/t ) h(t) = T πt/t 26 / 51

27 Casamento da resposta a impulso 1/T ( 1 ) sen (πt/t ) h(t) = T πt/t h(t) 0 0 T 2T 3T 4T 5T t A sequência h[k] = h(kt ) é um Delta de Kronecker multiplicado por 1/T : h[k] = 1 T δ[k] 27 / 51

28 Casamento da resposta a impulso Dirac t c t Dirac t h t T k T T c k Procedimento - Dada a função de transferência C c (s) do controlador analógico e o período de amostragem T : } 1 Obter c c (t) = L {C 1 c (s) 2 Fazer c[k] = Tc c (kt ) { } 3 Obter C(z) = Z c[k] 28 / 51

29 Casamento da resposta a impulso: Exemplo C c (s) = 3s + 9 s 2 + 5s + 4, T = 0,1 } Passo 1: Obter c c (t) = L {C 1 c (s) Expansão em frações parciais + uso de tabela: C c (s) = 1 s s + 1 c c (t) = e 4t + 2e t Passo 2: Fazer c[k] = Tc c (kt ) [ ] c[k] = T e 4kT + 2e kt = T [(e 4T ) k + 2(e T ) k] 29 / 51

30 Casamento da resposta a impulso: Exemplo c[k] = T [(e 4T ) k + 2(e T ) k] Passo 3: Obter a função de transferência do controlador digital [ { } C(z) = Z c[k] = T z z e 4T + ] 2z z e T = (3z e T 2e 4T )Tz (z e 4T )(z e T ) Para T = 0,1, obtém-se C(z) = 0,3z 2 0,2245z (z 0,9048)(z 0,6703) = 0,3z 2 0,2245z z 2 1,5751z / 51

31 Matlab: Função c2d com opção impulse >> sysc = tf([3 9],[1 5 4]); >> T = 0.1; >> sysd = c2d(sysc,t, impulse ) sysd = 0.3 z^ z e z^ z / 51

32 Comparação dos controladores: Resposta em frequência Considere um sistema discreto BIBO-estável com função de transferência G(z). Dada uma entrada u[k] = sen (θk), pode-se mostrar que a saída em regime permanente é [ ] y[k] = G(e jθ ) sen θk + G(e jθ ) }{{}}{{} Ganho Fase (Vide material suplementar no final dos slides) Vale notar que G(e jθ ) corresponde a G(z) com z na borda do círculo unitário (z = e jθ ). Lembrete: θ = ωt 32 / 51

33 Comparação das respostas em frequência >> bode(sysc), hold on, bode(sysd) Magnitude (db) Bode Diagram Controlador Analógico Controlador Digital Phase (deg) Frequency (rad/s) Por que C(e jωt ) em ω = ω a /2 é um número real? 33 / 51

34 2) Mapeamento de polos e zeros ( pole-zero matching ) Suponha que o controlador analógico tenha uma função de transferência dada por C c (s) = K c (s β 1 )(s β 2 ) (s β m ) (s α 1 )(s α 2 ) (s α n ) O método de mapeamento de polos e zeros consiste em fazer com C(z) = K (z b 1)(z b 2 ) (z b m ) (z a 1 )(z a 2 ) (z a n ) a i = e α i T, i = 1, 2,..., n b j = e β j T, j = 1, 2,..., m 34 / 51

35 2) Mapeamento de polos e zeros C(z) = K (z b 1)(z b 2 ) (z b m ) (z a 1 )(z a 2 ) (z a n ) O ganho K é ajustado de modo a fazer C(e jωt ) = C c (jω) em alguma frequência ω de interesse. Por exemplo, para preservar o ganho DC do controlador (em ω = 0), deve-se impor C(1) = C c (0) 35 / 51

36 2) Mapeamento de polos e zeros: Exemplo C c (s) = 3s + 9 s 2 + 5s + 4 = 3 (s + 3) (s + 1)(s + 4) = 3 (s β 1 ) (s α 1 )(s α 2 ) β 1 = 3, α 1 = 1, α 2 = 4 (z b 1 ) C(z) = K (z a 1 )(z a 2 ) Para T = 0,1, tem-se b 1 = e 3T = 0,7408, a 1 = e T = 0,9048, a 2 = e 4T = 0,6703 e, portanto, (z 0,7408) C(z) = K (z 0,9048)(z 0,6703) 36 / 51

37 2) Mapeamento de polos e zeros: Exemplo C c (s) = 3 (s + 3) (s + 1)(s + 4) (z 0,7408) C(z) = K (z 0,9048)(z 0,6703) Para preservar o ganho DC, faz-se C(1) = C c (0), isto é: o que conduz a (1 0,7408) K (1 0,9048)(1 0,6703) = 9 4 K = 9(1 0,9048)(1 0,6703) 4(1 0,7408) = 0, / 51

38 Matlab: Função c2d com opção matched >> sysc = tf([3 9],[1 5 4]); >> T = 0.1; >> sysd = c2d(sysc,t, matched ) z z^ z >> zpk(sysd) (z ) (z ) (z ) 38 / 51

39 Comparação das respostas em frequência Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Controlador Analógico Controlador Digital Frequency (rad/s) 39 / 51

40 Mapeamento de polos e zeros: Observação C(z) = U(z) E(z) = 0,2725 (z 0,7408) (z 0,9048)(z 0,6703) = 0,2725 (z 1 0,7408z 2 ) (1 0,9048z 1 )(1 0,6703z 1 ) O controlador digital atuará com atraso de um período de amostragem, isto é, o controle atual u[k] será calculado com base nos controles passados e[k 1], e[k 2], sem usar o erro atual e[k]. Por um lado: Útil pois o controlador pode realizar os cálculos ao longo de todo o intervalo de tempo entre os instantes de amostragem. Por outro lado: O controlador não reage instantaneamente a mudanças no erro (decorrentes de perturbações, por exemplo). Para isso, seria necessário que o numerador de C(z) tivesse o mesmo grau do denominador. 40 / 51

41 Mapeamento de polos e zeros: Observação C c (s) = 3 (s + 3) (s + 1)(s + 4) Possibilidade: Notar que C c (s) tem um zero no infinito. Esse zero pode ser mapeado de duas formas: Opção (a) Mapeamento para z = 0 (considerando z = e st com s ). (z 0,7408)z C(z) = K 1 (z 0,9048)(z 0,6703) Nesse caso, K 1 será igual ao ganho K ajustado anteriormente (por quê?) 41 / 51

42 Mapeamento de polos e zeros: Observação Opção (b) Mapeamento para z = 1 (considerando z = e st com s = jω a /2 = jπ/t ). C(z) = K 2 (z 0,7408)(z + 1) (z 0,9048)(z 0,6703) Nesse caso, K 2 será igual à metade do ganho K ajustado anteriormente (por quê?) 42 / 51

43 Comparação >> T = 0.1; >> sysd = zpk(0.7408, [0.9048, ], , T); >> sysd1 = zpk([ ], [0.9048, ], , T); >> sysd2 = zpk([ ], [0.9048, ], /2, T); >> bode(sysd), hold on >> bode(sysd1), bode(sysd2) 43 / 51

44 Comparação das respostas em frequência Magnitude (db) Bode Diagram Sem zero adicional Com zero em z = 0 Com zero em z = 1 Phase (deg) Frequency (rad/s) Onde está a curva azul no gráfico de ganho? 44 / 51

45 Próxima aula Discretização de controladores: (3) Aproximação de integrais Ideia: Controladores analógicos podem ser implementados com o uso de integradores. Os métodos a serem apresentados envolvem a avaliação aproximada de integrais com base em valores amostrados. Vantagem com respeito aos métodos (1) e (2) vistos hoje: Não se requer a determinação dos polos e zeros de C c (s) A discretização é realizada com o uso de fórmulas simples, que podem ser aplicadas mesmo que a expressão de C c (s) envolva literais. Motivação para o Projeto digital direto 45 / 51

46 Material Suplementar: Resposta em frequência Considere um sistema discreto com função de transferência G(z) tendo todos os polos no interior do círculo unitário. Se u[k] = sen (θk), tem-se U(z) = z sen(θ) z 2 2zcos(θ) + 1 = z sen(θ) (z + e jθ )(z e jθ ) N(z) z sen(θ) Y (z) = G(z)U(z) = (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) (z + e jθ )(z e jθ ) [ ] N(z) sen(θ) = (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) (z + e jθ )(z e jθ z ) 46 / 51

47 Material Suplementar: Resposta em frequência N(z) sen(θ) Y (z) = (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) (z + e }{{} jθ )(z e jθ ) z G(z) Realizando uma expansão em frações parciais, obtém-se: [ Y (z) = c (z e jθ ) + c (z e jθ ) + c 1 (z z 1 ) + c 2 (z z 2 ) + + c n (z z n ) em que c denota o conjugado de c. O valor de c é dado por: c = lim (z e jθ sen(θ) )G(z) z e jθ (z + e jθ )(z e jθ ) ] z = G(e jθ sen(θ) ) e jθ e jθ = G(ejθ ) 2j = Re[G(ejθ )] + jim[g(e jθ )] 2j 47 / 51

48 Material Suplementar: Resposta em frequência c = Re[G(ejθ )] + jim[g(e jθ )] 2j Portanto, pode-se escrever c = c r + jc i, com c r = Im[G(ejθ )], c i = Re[G(ejθ )] / 51

49 Material Suplementar: Resposta em frequência Por outro lado, tem-se que c (z e jθ ) + c (z e jθ ) = c(z e jθ ) + c (z e jθ ) (z e jθ )(z e jθ ) = (c + c )z c(cosθ jsenθ) c (cosθ + jsenθ) z 2 2zcosθ + 1 = (c + c )z (c + c )(cosθ) + (c c )jsenθ z 2 2zcosθ + 1 = 2c rz 2c r cosθ 2c i senθ z 2 2zcosθ / 51

50 Material Suplementar: Resposta em frequência e, portanto: [ c (z e jθ ) + c ] (z e jθ z = 2c rz 2 2zc r cosθ 2zc i senθ ) z 2 2zcosθ + 1 zsenθ = 2c i z 2 2zcosθ c z(z cosθ) r z 2 2zcosθ + 1 que está associada a uma sequência da forma ou ainda Asen(θk + ϕ), com 2c i sen(θk) + 2c r cos(θk) Acosϕ = 2c i = Re[G(e jθ )] Asenϕ = 2c r = Im[G(e jθ )] 50 / 51

51 Material Suplementar: Resposta em frequência Acosϕ = 2c i = Re[G(e jθ )] Asenϕ = 2c r = Im[G(e jθ )] Com base nessas identidades, chega-se a A = G(e jθ ) e ϕ = G(e jθ ). Portanto, sabendo que os demais termos na expansão em frações parciais de Y (z) (associados a polos no interior do círculo unitário) corresponderão a parcelas de y[k] que convergem para zero quando k, conclui-se que a resposta em regime permanente senoidal será dada por [ ] y[k] = G(e jθ ) sen θk + G(e jθ ) 51 / 51