Projeto de Controladores Digitais

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1 Projeto de Controladores Digitais ENGA71: Análise e Projeto de Sistemas de Controle Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 19 de junho de 2018

2 Sumário 1 Introdução 2 Sistema de Controle Amostrado 3 Projeto via aproximação 4 Síntese direta - Alocação de polos 5 Realimentação de Estados 6 Comentários Finais

4 Introdução Controle de sistemas amostrados Podemos trabalhar com técnicas de tempo-contínuo: Projeto via aproximação. Podemos trabalhar com técnicas de tempo-discreto: Método do lugar das raízes; Alocação de polos; Realimentação de estados...

5 Introdução O que pretendemos com a aula de hoje? Apresentar técnicas de projeto para sistemas amostrados; Discutir sobre os métodos de alocação de polos; Refletir sobre semelhanças e diferenças dos diversos métodos; Considera-se o modelo discretizado. Livros: K. Aström and B. Wittenmar, Computer-controlled systems: theory and design, 3 a edição, Prentice Hall (1997). C-. T. Chen, Analog and Digital Control System Design: Transfer - Function, State Space, and Algebraic Methods. New York: Oxford University Press (2006).

6 Introdução Descrição do problema Seja o sistema de controle amostrado r ef [k] F(z) C(z) u[k] Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a Considere F(z) = T(z) S(z) e C(z) =. S(z) R(z) T(z), S(z) e R(z) são polinômios de ordem n t, n s e n r respectivamente. Devido às condições de causalidade n r n s e n s n t. Tipicamente usamos n r = n s = n t.

7 Introdução Descrição do problema Seja o sistema de controle amostrado r ef [k] F(z) C(z) u[k] Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a Considere F(z) = T(z) S(z) e C(z) =. S(z) R(z) T(z), S(z) e R(z) são polinômios de ordem n t, n s e n r respectivamente. Devido às condições de causalidade n r n s e n s n t. Tipicamente usamos n r = n s = n t.

9 Sistema de Controle Amostrado Descrição do problema Seja o sistema de controle amostrado r ef [k] u[k] F(z) C(z) Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a De maneira alternativa F(z 1 ) = T(z 1 ) S(z 1 ) e C(z 1 ) = S(z 1 ) R(z 1 ). Lei de controle R(q 1 )u[k] = T(q 1 )r ef [k] S(q 1 )y[k] com q 1 sendo um operador de atraso. Objetivo: determinar T(z 1 ), S(z 1 ) e R(z 1 ) de maneira a cumprir as especificações de controle desejadas.

10 Sistema de Controle Amostrado Descrição do problema Considere o sistema de controle amostrado a seguir. r ef [k] u[k] F(z) C(z) Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a Efeito de r ef [k] e q[k] sobre y[k]. Sejam P Bo (z) = z 1 Z z { P(s) s }, P Q (z) = Z{P(s)Q(s)} Q(z) 1. Por simplicidade, vamos supor que q(t) é do tipo degrau de maneira que: P(z) P Q (z) = P Bo (z) = B(z) A(z).

11 Sistema de Controle Amostrado Descrição do problema Considere o sistema de controle amostrado a seguir. r ef [k] u[k] F(z) C(z) Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a Efeito de r ef [k] e q[k] sobre y[k]. Sejam P Bo (z) = z 1 Z z { P(s) s }, P Q (z) = Z{P(s)Q(s)} Q(z) 1. Por simplicidade, vamos supor que q(t) é do tipo degrau de maneira que: P(z) P Q (z) = P Bo (z) = B(z) A(z).

13 Projeto via aproximação Comentários Gerais Os projetos de tempo-contínuo podem ser utilizados em tempo-discreto desde que o período de amostragem seja suficientemente reduzido. Utiliza-se C(s) para definir um C(z) aproximado. Para tanto, deve-se definir uma aproximação tal que T 0 s Na(z) D a(z) sendo N a(z) e D a (z) polinômios conhecidos. Assim, pode-se converter controlador e filtro de referência de tempo-contínuo (C(s) e F(s)) numa versão aproximada de tempo-discreto (C(z) e F(z)) com s Na(z) D a(z).

14 Projeto via aproximação Sistema contínuo H(s), aproximado por H(s) s=s como segue: Aproximação Forward ou aproximação de Euler: Aproximação Backward : s = N a(z) D a (z) = z 1 T ; s = N a(z) D a (z) = z 1 zt ; Aproximação de bilinear ou aproximação de Tustin: s = N a(z) D a (z) = 2 z 1 T z + 1 ; Mapeamentos (casamento) polo-zero: H(s) = (s+m 1)(s + m 2 )...(s + m n ) (s + n 1 )(s + n 2 )...(s + n n ) H(z) = c (z e m 1T )(z e m 2T )...(z e mnt ) (z e n 1T )(z e n 2T )...(z e nnt ).

15 Projeto via aproximação Exemplo comparativo para T a = 0.5, T b = 0.1 e H(s) = 1 s+1. 1 Forward H(s) Ha(z) Hb(z) t

16 Projeto via aproximação Exemplo comparativo para T a = 0.5, T b = 0.1 e H(s) = 1 s+1.

17 Projeto via aproximação Exemplo comparativo para T a = 0.5, T b = 0.1 e H(s) = 1 s+1. 1 Bilinear ou Tustin H(s) Ha(z) Hb(z) t

19 Síntese direta - Alocação de polos Sistema em malha fechada Sejam P(z 1 ) P Q (z 1 ) = P Bo (z 1 ) = B(z 1 ) A(z 1 ), F(z 1 ) = T(z 1 ) S(z 1 ), C(z 1 ) = S(z 1 ) R(z 1 ) r ef [k] u[k] F(z 1 ) C(z 1 ) Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a Y(z 1 ) R ef (z 1 ) = C(z 1 )P Bo (z 1 ) F(z 1 ) 1+C(z 1 )P Bo (z 1 ) = T(z 1 )B(z 1 ) R(z 1 )A(z 1 )+S(z 1 )B(z 1 ) Y(z 1 ) Q(z 1 ) = P Q (z 1 ) 1+C(z 1 )P Bo (z 1 ) = R(z 1 )B(z 1 ) R(z 1 )A(z 1 )+S(z 1 )B(z 1 ) Projeto de dois graus de liberdade (2DoF)

24 Síntese direta - Alocação de polos Equação Diofantina (s r ef [k] F(z 1 ) C(z 1 ) u[k] Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a Equação característica A mf (z 1 ) = R(z 1 )A(z 1 )+S(z 1 )B(z 1 ). Problema conhecido como Equação Diofantina ou Identidade de Bezout. Solução determinada se n a 1 = n s n r n a 1. Fazendo A mf (z 1 ) = A o(z 1 )A c(z 1 ) e T = t 0 A o(z 1 ), obtém-se Y(z 1 ) R ef (z 1 ) = T(z 1 )B(z 1 ) R(z 1 )A(z 1 )+S(z 1 )B(z 1 ) = t 0B(z 1 ) A c(z 1 ) Y(z 1 ) Q(z 1 ) = P Q (z 1 ) 1+C(z 1 )P Bo (z 1 ) = R(z 1 )B(z 1 ) A o(z 1 )A c(z 1 )

27 Síntese direta - Alocação de polos Obtenção do controlador Equação característica A mf (z 1 ) = R(z 1 )A(z 1 )+S(z 1 )B(z 1 ). Problema conhecido como Equação Diofantina ou Identidade de Bezout. Solução determinada se n s = n a 1 Consequentemente n r n a 1 devido à condição de causalidade. Exemplo - Dado o sistema P(z 1 ) = b 1z 1 +b 2 z 2, determine o 1+a 1 z 1 +a 2 z 2 controlador C(z 1 ) de maneira que A mf (z 1 ) = 1+m 1 z 1 + m 2 z 2 + m 3 z 3. Resposta: C(z 1 ) = s 0 + s 1 z 1 r 0 + r 1 z, 1 r 0 r 1 s 0 s 1 = a 1 1 b 1 0 a 2 a 1 b 2 b 1 0 a 2 0 b m 1 m 2 m 3.

28 Síntese direta - Alocação de polos Obtenção do controlador Equação característica A mf (z 1 ) = R(z 1 )A(z 1 )+S(z 1 )B(z 1 ). Problema conhecido como Equação Diofantina ou Identidade de Bezout. Solução determinada se n s = n a 1 Consequentemente n r n a 1 devido à condição de causalidade. Exemplo - Dado o sistema P(z 1 ) = b 1z 1 +b 2 z 2, determine o 1+a 1 z 1 +a 2 z 2 controlador C(z 1 ) de maneira que A mf (z 1 ) = 1+m 1 z 1 + m 2 z 2 + m 3 z 3. Resposta: C(z 1 ) = s 0 + s 1 z 1 r 0 + r 1 z, 1 r 0 r 1 s 0 s 1 = a 1 1 b 1 0 a 2 a 1 b 2 b 1 0 a 2 0 b m 1 m 2 m 3.

29 Síntese direta - Alocação de polos Seguimento de referência e rejeição de perturbação Utiliza-se C(z 1 ) = S(z 1 ) R(z 1 ) = S(z 1 ) V(z 1 )R (z 1 ) onde V(z 1 ) é empregado para impor os modos necessários. A título de exemplo, V(z 1 ) = 1 z 1 deve ser utilizado para impor ação integral. Neste caso, n r = n v + n r. Assim, solução única é determinada por n s = n v + n a 1.

30 Síntese direta - Alocação de polos Seguimento de referência e rejeição de perturbação Exemplo - Dado o sistema P(z 1 ) = b 1z 1, determine o controlador 1+a 1 z 1 C(z 1 ) de maneira que A mf (z 1 ) = 1+m 1 z 1 + m 2 z 2 e que garanta rejeição de perturbação constante. Resposta: r 0 s 0 s 1 C(z 1 ) = s 0 + s 1 z 1 r 0 (1 z 1 ), = a 1 1 b 1 0 a1 0 b 1 Equivale à determinação de um PI discreto. 1 m 1 m 2.

31 Síntese direta - Alocação de polos Seguimento de referência e rejeição de perturbação Exemplo - Dado o sistema P(z 1 ) = b 1z 1, determine o controlador 1+a 1 z 1 C(z 1 ) de maneira que A mf (z 1 ) = 1+m 1 z 1 + m 2 z 2 e que garanta rejeição de perturbação constante. Resposta: r 0 s 0 s 1 C(z 1 ) = s 0 + s 1 z 1 r 0 (1 z 1 ), = a 1 1 b 1 0 a1 0 b 1 Equivale à determinação de um PI discreto. 1 m 1 m 2.

32 Síntese direta - Alocação de polos Seguimento de referência e rejeição de perturbação Exemplo - Dado o sistema P(z 1 ) = b 1z 1, determine o controlador 1+a 1 z 1 C(z 1 ) de maneira que A mf (z 1 ) = 1+m 1 z 1 + m 2 z 2 e que garanta rejeição de perturbação constante. Resposta: r 0 s 0 s 1 = C(z 1 ) = s 0 + s 1 z 1 r 0 (1 z 1 ), (1 a 1 )/b 1 1/b 1 0 a 1 /b 1 0 1/b 1 Equivale à determinação de um PI discreto. 1 m 1 m 2.

33 Síntese direta - Alocação de polos Seguimento de referência e rejeição de perturbação Exercício para casa - Seja o sistema de controle abaixo com replacements P(z 1 ) = 0.1z 1. Determine F(z 1 ) e C(z 1 ) de maneira a seguir 1 0.9z 1 referência a rampa com Y(z 1 ) R(z 1 ) = 0.15z z 1 Y(z 1 ) Q(z 1 ) = 0.1z 1 (1 z 1 ) 2 (1 0.85z 1 )(1 0.8z 1 ) 2 r ef [k] F(z 1 ) C(z 1 ) u[k] Bo(s) q(t) P(s) y(t) y[k] T a

34 Síntese direta - Alocação de polos Cancelamento de Pólos O que ocorre se C(z) = S(z)/R(z) for utilizado para cancelar polos de P(z) = B(z)/A(z)? Neste caso temos A(z) = A + (z)a (z) com S(z) = A + (z)s (z). De maneira similar aos casos anteriores: n s = n v + n a 1. Lembrar que devido à causalidade, temos n v + n r n s + n + a.

35 Alocação de polos com cancelamento Exercício Exercício - Seja o modelo de um motor DC dados por: P(s) = Determine uma lei de controle na forma 5 s(2s+1). R(q 1 )u[k] = T(q 1 )r ef [k] S(q 1 )y[k] de maneira que o sistema nominal apresente: a) Sobre-sinal menor que 5% para um degrau de referência, b) Tempo de acomodação de 5% menor do que 5 s para um degrau de referência, c) Rejeição à pertubações constantes na entrada do sistema.

36 Alocação de polos com cancelamento Exercício Resposta: Resposta System: H Peak amplitude: 1.05 Overshoot (%): 4.99 At time (sec): 4.8 Amplitude Tempo (sec)

38 Realimentação de Estados Definições Considere uma descrição em espaço de estado de tempo- discreto: x[k + 1] = A d x[k] + B d u[k] y[k] = C d x[k]+d d u[k] sendo x[k] R n um vetor de estados mensurável e u[k] R m o sinal de controle. A representação de tempo-discreto é obtida por meio do medelo de tempo-contínuo discretizado com o sustentador de ordem zero. A lei de controle pode ser dada por: u[k] = K(x[k] x)+u sendo que (x, u) define um equlíbrio desejado. Notar que x = Ax + Bu.

39 Realimentação de Estados Sistema malha fechada Considere uma descrição em espaço de estado de tempo- discreto: x[k + 1] x = A d (x[k] x)+b d (u[k] u). Por simplicidade de notação, temos δx[k] = x[k] x, δx[k + 1] = x[k + 1] x, δu[k] = u[k] u. A lei de controle pode ser dada por: u[k] = K(x[k] x)+u δu[k] = Kδx[k]. Finalmente: δx[k + 1] = (A d + B d K)δx[k].

40 Realimentação de Estados Observador de Estados - Realimentação de Saída Considere uma descrição em espaço de estado de tempo- discreto: x[k + 1] = A d x[k]+b d u[k] y[k] = C d x[k] Dinâmica do observador de Luenberger: ˆx[k + 1] = A dˆx[k] + B d u[k]+l(y[k] ŷ[k]) ŷ[k] = C dˆx[k] Dinâmica do erro (e[k] = x[k] ˆx[k]): ê[k + 1] = (A d LC d )ê[k]. Princípio da separação (u[k] = K ˆx[k]): [ ] [ ][ ] x[k + 1] (Ad + B = d K) B d K x[k] e[k + 1] 0 (A d LC d ) e[k]

41 Realimentação de Estados Observador de Estados - Realimentação de Saída Resumo: Define-se o equilíbrio desejado; Escolhe-se o período de amostragem; Discretiza-se o modelo; Determina-se o conjunto de auto-valores desejados por meio da aproximação z = e st ; Caso necessário, projeta-se um observador de estado fazendo uso dos mesmos conceitos; A lei de controle será dada por u[k] = K(x[k] x)+u ou, alternativamente, u[k] = K(ˆx[k] x)+u.

43 Comentários Finais No contexto de sistemas de controle amostrado: Discutimos sobre o projeto via aproximação; Analisamos o projeto por meio de alocação de polos; Estudamos conceitos fundamentais no contexto do projeto em espaço de estados.