EES-20: Sistemas de Controle II. 10 Novembro 2017

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1 EES-20: Sistemas de Controle II 10 Novembro / 46

2 Tópicos vistos até agora Modelo da planta amostrada no espaço de estados. Relação com a função de transferência. Análise de estabilidade. Projeto de controladores empregando realimentação de estado: 1) Alocação de polos 2 / 46

3 Aula de hoje Modelo da planta amostrada no espaço de estados. Relação com a função de transferência. Análise de estabilidade. Projeto de controladores empregando realimentação de estado: 1) Alocação de polos e 2) controle ótimo Regulador Linear-Quadrático ). Projeto de observador de estados: 1) Alocação de polos 3 / 46

4 Projeto de regulador linear quadrático a tempo discreto Discrete Linear Quadratic Regulator DLQR) 4 / 46

5 Abordagem a ser adotada: Controle ótimo Considerar os desvios das variáveis de estado e controle com respeito aos respectivos valores de equiĺıbrio em regime estacionário. Definir um índice custo ) para quantificar a magnitude desses desvios ao longo do tempo. Obter o ganho K por meio da minimização desse custo. 5 / 46

6 Recapitulando: Cálculo dos valores de equiĺıbrio Modelo da planta: x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] y[k] = Cx[k] Em regime estacionário, os valores de equiĺıbrio de entrada, estado e saída estarão relacionados por x = A x + Bū ȳ = C x Para que a saída seja igual à referência em regime estacionário isto é, ȳ = r), deve-se ter A I ) x + Bū = 0 C x = r 6 / 46

7 Recapitulando: Cálculo dos valores de equiĺıbrio Em forma matricial, pode-se escrever [ A I ) B ] [ x C 0 ū ] = [ 0n 1 1 ] r ou seja: [ x ū ] = [ A I ) B C 0 ] 1 [ 0n 1 1 ] r desde que exista a inversa indicada. Definindo N x R n e N u R como [ ] [ Nx A I ) B = C 0 N u ] 1 [ 0n 1 1 ] tem-se x = N x r e ū = N u r. 7 / 46

8 Modelo considerando desvios em torno do equiĺıbrio Considerando os desvios em torno do equiĺıbrio: δx[k] = x[k] x, δu[k] = u[k] ū tem-se a equação de estado δx[k + 1] = Aδx[k] + Bδu[k] e a lei de controle: δu[k] = Kδx[k] Por brevidade, a notação δ será omitida. 8 / 46

9 Problema do Regulador Linear Quadrático a Tempo Discreto DLQR) Dado um modelo linear da forma x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] com x[k] R n, u[k] R e A, B) controlável, deseja-se obter uma matriz de ganho K de modo a minimizar o custo quadrático J definido como J = com Q = Q T > 0 e ρ > 0. k=0 ) x T [k]qx[k] + ρu 2 [k] O desenvolvimento a seguir é similar ao que foi apresentado no caso de tempo contínuo. 9 / 46

10 Solução do problema DLQR O ganho que minimiza o custo J é dado por K = B T PB + ρ) 1 B T PA sendo P = P T > 0 obtida como solução da seguinte Equação Algébrica de Riccati associada ao problema DLQR: P = A T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA + Q Matlab: Função dare) Obs: Considerando A, B) controlável, Q = Q T > 0 e ρ > 0, sabe-se que essa Equação Algébrica de Riccati tem uma única solução P simétrica e positivo-definida. Referência: Lewis, F. L. Optimal Control. New York: John Wiley & Sons, 1986 páginas 82-88). 10 / 46

11 Matlab: Função dare dare Solve discrete-time algebraic Riccati equations. [X,L,G] = darea,b,q,r,s,e) computes the unique stabilizing solution X of the discrete-time algebraic Riccati equation -1 E XE = A XA - A XB + S)B XB + R) A XB + S) + Q When omitted, R, S and E are set to the default values R=I, S=0, and E=I. Beside the solution X, dare also returns the gain matrix -1 G = B XB + R) B XA + S ), and the vector L of closed-loop eigenvalues i.e., EIGA-B*G,E)). 11 / 46

12 Demonstração: Considerações iniciais J = k=0 ) x T [k]qx[k] + ρu 2 [k] Para minimizar o custo J, é necessário que o controle resulte na convergência do estado para a origem, isto é x[k] k 0 ou seja, a lei de controle deve ser estabilizante. Pergunta 1: Essa condição é atendida pela lei de controle u[k] = Kx[k], com K = B T PB + ρ) 1 B T PA sendo P = P T > 0 obtida como solução da DARE? 12 / 46

13 Demonstração: Estabilidade Seja K = B T PB + ρ) 1 B T PA, com P = P T > 0 obtida como solução da DARE: P = A T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA + Q Tem-se então: A BK) T PA BK) P = A T PA + K T B T PBK A T PBK K T B T PA P = A T PA + A T PBB T PB + ρ) 1 B T PBB T PB + ρ) 1 B T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA P = P Q + A T PBB T PB + ρ) 1 B T PBB T PB + ρ) 1 B T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA P 13 / 46

14 Demonstração: Estabilidade = Q + A T PBB T PB + ρ) 1 B T PBB T PB + ρ) 1 B T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA = Q + A T PBB T PB + ρ) 1[ B T PBB T PB + ρ) 1 ] }{{} I B T PA = Q + A T PBB T PB + ρ) 1 [ {}}{ B T PBB T PB + ρ) 1 B T PB + ρ)b T PB + ρ) 1 ] B T PA = Q + A T PBB T PB + ρ) 1 [ B T PB B T PB + ρ) ] B T PB + ρ) 1 B T PA = Q A T PBB T PB + ρ) 1 ρb T PB + ρ) 1 B T PA 14 / 46

15 Demonstração: Estabilidade Em resumo: A BK) T PA BK) P = Q A T PBB T PB + ρ) 1 ρb T PB + ρ) 1 B T PA < 0 Portanto, V x) = x T Px é uma função de Lyapunov que certifica que A BK) é Schur. 15 / 46

16 Demonstração: Otimalidade J = k=0 ) x T [k]qx[k] + ρu 2 [k] Concluímos que a lei de controle u[k] = Kx[k], com é estabilizante. K = B T PB + ρ) 1 B T PA Pergunta 2: Existe alguma outra lei de controle estabilizante que resulte em um valor menor para o custo J? 16 / 46

17 Demonstração: Otimalidade Seja V x) = x T Px, com P = P T > 0 obtida como solução da DARE: P = A T PA A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA + Q Sabendo que x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k], pode-se escrever: ) ) V x[k + 1] V x[k] = x T [k + 1]Px[k + 1] x T [k]px[k] = ) T ) Ax[k] + Bu[k] P Ax[k] + Bu[k] x T [k]px[k] ) = x T [k] A T PA P x[k] + u[k]b T PAx[k] + x T [k]a T PBu[k] + B T PBu 2 [k] 17 / 46

18 Demonstração: Otimalidade ) = x T [k] A T PBB T PB + ρ) 1 B T PA Q x[k] + u[k]b T PAx[k] + x T [k]a T PBu[k] + B T PBu 2 [k] = x T [k]qx[k] + x T [k]a T PBB T PB + ρ) 1 B T PAx[k] + u[k]b T PAx[k] + x T [k]a T PBu[k] + B T PBu 2 [k] +ρu 2 [k] ρu 2 [k] Escalar {}}{ ) T = x T [k]qx[k] ρu 2 [k] + u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] ) B T PB + ρ) u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] } {{ } Escalar 18 / 46

19 Demonstração: Otimalidade ) ) V x[k + 1] V x[k] = ) 2 x T [k]qx[k] ρu 2 [k] + B T PB + ρ) u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] Logo: k=0 ) ) V x[k + 1] V x[k] = + k=0 ) x T [k]qx[k] + ρu 2 [k] B T PB + ρ) u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] k=0 ) 2 19 / 46

20 Demonstração: Otimalidade ) lim k x T [k]px[k] x T [0]Px[0] { }} { V k=0 Portanto: + + x[k + 1] ) V x[k] {}}{ ) ) = x T [k]qx[k] + ρu 2 [k] k=0 B T PB + ρ) u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] k=0 J = x T [0]Px[0] lim k xt [k]px[k] B T PB + ρ) u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] k=0 J ) 2 ) 2 20 / 46

21 Demonstração: Otimalidade + J = x T [0]Px[0] lim k xt [k]px[k] B T PB + ρ) u[k] + B T PB + ρ) 1 B T PAx[k] k=0 Considerando leis de controle estabilizantes, tem-se x[k] k 0. Desse modo, como ρ > 0, o custo J é minimizado tomando-se u[k] = B T PB + ρi ) 1 B T PAx[k] que corresponde à solução apresentada para o problema DLQR. Vale notar que o custo mínimo assim obtido é J = x T [0]Px[0]. ) 2 21 / 46

22 Matlab: Função DLQR dlqr Linear-quadratic regulator design for discrete-time systems. [K,S,E] = dlqra,b,q,r,n) calculates the optimal gain matrix K such that the state-feedback law u[n] = -Kx[n] minimizes the cost function J = Sum {x Qx + u Ru + 2*x Nu} subject to the state dynamics x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]. The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the Riccati equation solution S and the closed-loop eigenvalues E: -1 A SA - S - A SB+N)R+B SB) B SA+N ) + Q = 0 22 / 46

23 Matlab: Função DLQR Erros a serem evitados: 1) Usar a função DLQR com as matrizes A c, B c do modelo a tempo contínuo. 2) Usar a função LQR com as matrizes A, B do modelo discretizado. 23 / 46

24 Exemplo: Motor elétrico >> Ac = [-2 2; -8-3]; Bc = [0;2]; >> Q = eye2); R = 1; >> Kc = lqrac,bc,q,r) >> T = 0.1; [A,B] = c2dmac,bc,[],[],t, zoh ); >> K = dlqra,b,q,r) / 46

25 Exemplo: Motor elétrico >> T = 0.01; [A,B] = c2dmac,bc,[],[],t, zoh ); >> K = dlqra,b,q,r) >> T = 0.001; [A,B] = c2dmac,bc,[],[],t, zoh ); >> K = dlqra,b,q,r) / 46

26 Projeto de observador de estados 26 / 46

27 Recapitulando: Observador de estados a tempo contínuo Modelo da planta: ẋt) = A c xt) + B c ut) yt) = Cxt) Observador de estado: ) ˆxt) = A c ˆxt) + B c ut) + L yt) ŷt) ŷt) = C ˆxt) Erro de estimação do estado: xt) = xt) ˆxt) Dinâmica do erro de estimação: xt) = A c LC) xt) 27 / 46

28 Recapitulando: Observabilidade Seja A c R n n e C R 1 n. Se a matriz de observabilidade P o R n n dada por P o = C CA c. CA n 1 c for inversível, então os autovalores de A c LC) podem ser alocados em quaisquer posições do plano complexo por meio do ajuste da matriz de ganho L R n 1. De forma resumida, diz-se que o par A c, C) é observável. 28 / 46

29 Observador de estados a tempo discreto Modelo da planta: x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] y[k] = Cx[k] Observador de estado: ) ˆx[k + 1] = Aˆx[k] + Bu[k] + L y[k] ŷ[k] ŷ[k] = C ˆx[k] Erro de estimação do estado: x[k] = x[k] ˆx[k] Dinâmica do erro de estimação: x[k + 1] = A LC) x[k] 29 / 46

30 Observador de estados a tempo discreto x[k + 1] = A LC) x[k] Se o par A, C) for observável, é possível alocar os autovalores de A LC) em posições arbitrárias do plano complexo por meio de escolha da matriz L. 30 / 46

31 Observabilidade: Interpretação alternativa Considere o modelo x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] y[k] = Cx[k] com A R n n e C R 1 n, sendo A, C) observável. Dadas as sequências de entrada u[0], u[1],..., u[n 2] e saída y[0], y[1],..., y[n 1], é possível determinar o estado inicial x[0]. 31 / 46

32 Observabilidade: Interpretação alternativa Demonstração - Tendo em vista a expressão para a saída y[k]: pode-se escrever y[0] = Cx[0] k 1 y[k] = CA k x[0] + CA k i 1 Bu[i], k 1 y[0] = Cx[0] i=0 y[1] = CAx[0] + CBu[0] y[2] = CA 2 x[0] + CABu[0] + CBu[1]. y[n 1] = CA n 1 x[0] + CA n 2 Bu[0] + + CBu[n 2] 32 / 46

33 Observabilidade: Interpretação alternativa y[0] = Cx[0] y[1] = CAx[0] + CBu[0] y[2] = CA 2 x[0] + CABu[0] + CBu[1]. y[n 1] = CA n 1 x[0] + CA n 2 Bu[0] + + CBu[n 2] Em forma matricial: y[0] y[1] y[2]. y[n 1] = C CA CA 2. CA n 1 x[0] + 0 CBu[0] CABu[0] + CBu[1]. CA n 2 Bu[0] + + CBu[n 2] 33 / 46

34 Observabilidade: Interpretação alternativa P o {}} { C CA CA 2 x[0] =. CA n 1 y[0] y[1] CBu[0] y[2] CABu[0] CBu[1]. y[n 1] CA n 2 Bu[0] CBu[n 2] Se a matriz P o R n n for inversível, pode-se determinar x[0] como y[0] y[1] CBu[0] x[0] = Po 1 y[2] CABu[0] CBu[1]. y[n 1] CA n 2 Bu[0] CBu[n 2] 34 / 46

35 Controle empregando realimentação do estado estimado x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] 1) u[k] = K ˆx[k] + Fr[k] 2) De 1) e 2), tem-se x[k + 1] = Ax[k] BK ˆx[k] + BFr[k] 3) Substituindo ˆx[k] = x[k] x[k] em 3), obtém-se x[k + 1] = A BK)x[k] + BK x[k] + BFr[k] 35 / 46

36 Controle empregando realimentação do estado estimado x[k + 1] = A BK)x[k] + BK x[k] + BFr[k] x[k + 1] = A LC) x[k] Essas duas equações podem ser reunidas na seguinte forma: [ x[k + 1] ] [ A BK) BK ] [ x[k] ] [ BF ] x[k + 1] = 0 n n A LC) x[k] + 0 n 1 r[k] Os autovalores de malha fechada correspondem ao conjunto dos autovalores de A BK) e A LC). 36 / 46

37 Controle empregando realimentação do estado estimado [ x[k + 1] ] [ A BK) BK ] [ x[k] ] [ BF ] x[k + 1] = 0 n n A LC) x[k] + 0 n 1 r[k] Considerando ainda a equação de saída y[k] = Cx[k], a função de transferência de malha fechada T z) = Y z)/rz) será ] T z) = [C [ z I 0 n n 0 1 n 0 n n z I ] [ A BK) BK 0 n n A LC) ]) 1 [ BF 0 n 1 ] Os polos correspondentes aos autovalores de A LC) serão cancelados por zeros, pois a dinâmica do erro x[k] não é excitada pela referência r[k] isto é, a dinâmica do erro não é controlável pela entrada r[k]). Assim, os polos de T z) corresponderão apenas aos autovalores de A BK), como desejado. 37 / 46

38 Controle empregando realimentação do estado estimado Contudo, na prática o cancelamento de polos e zeros não será perfeito, devido a descasamentos entre a planta e o modelo. Como resultado, a dinâmica de malha fechada entre a referência r[k] e a saída y[k] será afetada pela posição dos autovalores de A LC). Se os autovalores de A BK) tiverem sido alocados com vistas à obtenção de um modo dominante em malha fechada, convém que os autovalores de A LC) estejam mais próximos da origem, em relação aos) polos) desse modo dominante. 38 / 46

39 Estimativas do estado a priori e a posteriori Considere a equação de propagação do estado estimado: ) ˆx[k + 1] = Aˆx[k] + Bu[k] + L y[k] ŷ[k] Trocando k por k 1, pode-se escrever ) ˆx[k] = Aˆx[k 1] + Bu[k 1] + L y[k 1] ŷ[k 1] O valor de y[k] não é empregado no cálculo de ˆx[k]. Diz-se que ˆx[k] é uma estimativa a priori do estado x[k] a priori = obtida antes de se usar o conhecimento de y[k]). Como levar em conta o valor de y[k] para obter uma estimativa a posteriori do estado x[k]? Referência: Maciejowski, J. M. Predictive control with constraints. Harlow: Prentice-Hall, página 58). 39 / 46

40 Estimativas do estado a priori e a posteriori Notação: Ideia: Estimativa a priori : ˆx[k k 1] Estimativa a posteriori : ˆx[k k] 1) Usar y[k] para corrigir ˆx[k k 1] e gerar ˆx[k k]: ) ˆx[k k] = ˆx[k k 1] + M y[k] ŷ[k k 1] em que ŷ[k k 1] = C ˆx[k k 1] e M R n 1 é uma matriz de ganho a ser escolhida. 2) Propagar a estimativa do instante k para o instante k + 1: ˆx[k + 1 k] = Aˆx[k k] + Bu[k] 40 / 46

41 Estimativas do estado a priori e a posteriori ) ˆx[k k] = ˆx[k k 1] + M y[k] ŷ[k k 1] ŷ[k k 1] = C ˆx[k k 1] ˆx[k + 1 k] = Aˆx[k k] + Bu[k] Como escolher uma matriz de ganho M apropriada? Analisemos a dinâmica do erro de estimação x[k k] = x[k] ˆx[k k]: x[k + 1 k + 1] = x[k + 1] ˆx[k + 1 k + 1] ) = Ax[k] + Bu[k] ˆx[k + 1 k] M y[k + 1] ŷ[k + 1 k] = Ax[k] + Bu[k] Aˆx[k k] Bu[k] ) MC x[k + 1] ˆx[k + 1 k] = Ax[k] Aˆx[k k] MC Ax[k] + Bu[k] Aˆx[k k] ) Bu[k] 41 / 46

42 Estimativas do estado a priori e a posteriori ) x[k + 1 k + 1] = Ax[k] Aˆx[k k] MC Ax[k] Aˆx[k k] = A MCA)x[k] ˆx[k k]) = A MCA) x[k k] Se os autovalores de A MCA) estiverem no interior do círculo unitário, o erro de estimação x[k k] convergirá para zero quando k. 42 / 46

43 Estimativas do estado a priori e a posteriori Observação: Seja L = AM. Se A for inversível, pode-se escrever A MCA) = A 1 A AMC)A = A 1 A LC)A ou seja, A MCA) e A LC) têm os mesmos autovalores. Pode-se escolher L de modo a alocar os autovalores de A LC) em posições convenientes e então fazer M = A 1 L 43 / 46

44 Observação ) ˆx[k k] = ˆx[k k 1] + M y[k] ŷ[k k 1] 4) ŷ[k k 1] = C ˆx[k k 1] 5) ˆx[k + 1 k] = Aˆx[k k] + Bu[k] 6) Fazendo M = A 1 L, recupera-se o equacionamento inicial do observador de estado. Com efeito, substituindo 4) em 6) e fazendo M = A 1 L, obtém-se ˆx[k + 1 k] = A ˆx[k k 1] + A 1 L y[k] ŷ[k k 1]) ) + Bu[k] ) = Aˆx[k k 1] + Bu[k] + L y[k] ŷ[k k 1] que tem a forma da equação de estado para o observador apresentado inicialmente, com a estimativa a priori ˆx[k k 1] correspondendo a ˆx[k]. 44 / 46

45 Implementação do observador com estimativas a priori e a posteriori Dados: A, B, C, M previamente escolhida). Inicialização: Fazer k = 0 e estipular ˆx[0 1]. Passo 1: Ler u[k], y[k]. Passo 2: Calcular ŷ[k k 1] = C ˆx[k k 1]. Passo 3 Measurement update ) Usar a medida para atualizar a estimativa: ) ˆx[k k] = ˆx[k k 1] + M y[k] ŷ[k k 1] Passo 4 Time update ) Propagar a estimativa para o próximo instante de tempo: ˆx[k + 1 k] = Aˆx[k k] + Bu[k] Passo 5: Fazer k k + 1, aguardar um período de amostragem e retornar ao Passo / 46

46 Próxima aula Observador de estado: Exemplo Estimativa do estado na presença de perturbações e ruído de medida 46 / 46