EES-20: Sistemas de Controle II. 06 Setembro 2017

Transcrição

1 EES-2: Sistemas de Controle II 6 Setembro / 56

2 Recapitulando: Observador de Estado Modelo da planta: Observador de estado: ẋ = Ax + Bu y = Cx ˆx = Aˆx + Bu + L(y ŷ) ŷ = C ˆx Erro de estimação do estado: x = x ˆx Dinâmica do erro de estimação: x = (A LC) x 2 / 56

3 Recapitulando: Observador de Estado x = (A LC) x Pergunta 1: Como escolher as posições para os autovalores de (A LC)? Resposta: Se for adotada uma lei de controle da forma u = K ˆx + Fr, os polos de malha fechada corresponderão à união dos autovalores de (A BK) e (A LC). Desse modo, se os autovalores de (A BK) tiverem sido alocados com vistas à obtenção de um modo dominante em malha fechada, convém que os autovalores de (A LC) estejam afastados para a esquerda, com relação ao(s) polo(s) desse modo dominante. 3 / 56

4 Recapitulando: Observador de Estado x = (A LC) x Pergunta 2: Tendo-se escolhido posições para os autovalores de (A LC), é sempre possível obter L de modo a realizar a alocação desejada? 4 / 56

5 Observabilidade Um sistema com modelo da forma ẋ = Ax + Bu y = Cx é dito observável se for possível alocar os autovalores de (A LC) em posições arbitrárias do plano complexo por meio de escolha da matriz L. De forma resumida, diz-se que o par (A, C) é observável. Vale notar que a observabilidade do sistema não está relacionada com a matriz B. Pergunta 2 reformulada: Como determinar se o par (A, C) é ou não é observável? 5 / 56

6 Forma canônica observável Vamos considerar inicialmente o caso em que o modelo está na chamada forma canônica observável: a n b n 1 a n 1 A =.... b n 1..., B =.... a2 b 2 1 a 1 b 1 C = [ 1 ] Pode-se mostrar que essa é uma realização da seguinte função de transferência: G(s) = Y (s) U(s) = b 1s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s + a n 6 / 56

7 Forma canônica observável A = a n 1 a n , B =... a2 1 a 1 C = [ 1 ] b n b n 1. b 2 b 1 Com efeito, como G(s) é escalar, pode-se escrever G(s) = G T (s) = [C(sI A) 1 B] T = B T (si A T ) 1 C T com A T, C T e B T correspondendo às matrizes A, B e C da realização canônica controlável. 7 / 56

8 Forma canônica observável A = a n 1 a n , C = [ 1 ]... a2 1 a 1 Com (A, C) na forma canônica observável, tem-se a n l 1 1 a n 1 (A LC) =.... l a2 l n 1 1 a 1 l n [ ] 1 8 / 56

9 Forma canônica observável (A LC) = (a n + l 1 ) 1 (a n 1 + l 2 ) (a2 + l n 1 ) 1 (a 1 + l n ) Basta escolher l 1, l 2,..., l n de modo que o polinômio característico de (A LC) corresponda ao desejado. 9 / 56

10 Conversão para forma canônica observável Considere-se agora a chamada matriz de observabilidade P o R n n definida como P o = C CA. CA n 1 Se a matriz P o for inversível, é possível converter o modelo para a forma canônica observável por meio de uma transformação de similaridade. 1 / 56

11 Conversão para forma canônica observável Com efeito, seja h a última coluna de P 1 o, isto é: P 1 o = [ h ] e defina-se a seguinte matriz de transformação de similaridade: P = [ h Ah A n 1 h ] 1 Como resultado da transformação, tem-se Ā = PAP 1, ou seja P 1 Ā = AP 1 Portanto: [ h Ah A n 1 h ] Ā = A [ h Ah A n 1 h ] = [ Ah A 2 h A n h ] 11 / 56

12 Conversão para forma canônica observável [ h Ah A n 1 h ] Ā = [ Ah A 2 h A n h ] Conclui-se que Ā tem a seguinte forma: a n 1 a n 1 Ā = a2 1 a 1 12 / 56

13 Conversão para forma canônica observável Com respeito à matriz C, tem-se C = CP 1 = C [ h Ah A n 1 h ] = [ Ch CAh CA n 1 h ] Por outro lado, como P o Po 1 = I, pode-se escrever C 1 CA [ ] 1 h = CA n 1 1 Logo, conclui-se que Ch CAh. CA n 1 h = / 56

14 Conversão para forma canônica observável C = [ Ch CAh CA n 1 h ] Portanto: Ch CAh. CA n 1 h = C = [ Ch CAh CA n 1 h ] = [ 1 ]. 1 Desenvolvimento similar ao empregado na conversão para forma canônica controlável (aula de 18 de agosto), adaptado de A. C. Faleiros e T. Yoneyama, Teoria Matemática de Sistemas, / 56

15 Conversão para forma canônica observável Com (Ā, C) na forma canônica observável, pode-se facilmente obter uma matriz L de modo a alocar os autovalores de (Ā L C) nas posições desejadas. Uma vez que Ā L C = PAP 1 LCP 1 1 = P(A P 1 LC)P basta tomar L = P 1 L para que os autovalores de (A LC) estejam nas posições desejadas. 15 / 56

16 Observabilidade: Condição suficiente Portanto, conclui-se que a inversibilidade da matriz P o R n n é condição suficiente para a observabilidade do par (A, C). 16 / 56

17 Interpretação alternativa para a propriedade de observabilidade Desenvolvimento similar ao apresentado na aula de 21 de agosto, para o caso da controlabilidade. Vide também Geromel e Korogui (21), páginas 21 e / 56

18 Observabilidade: Interpretação alternativa Se o sistema for observável, pode-se determinar o valor de x() com base nos sinais de entrada u(t) e saída y(t) ao longo de um dado intervalo de tempo [, t f ]. Com efeito, adotando a notação x x(), pode-se escrever [ y(t) = Cx(t) = C e At x + t ] e A(t τ) Bu(τ)dτ e, portanto, Ce At x = y(t) C t e A(t τ) Bu(τ)dτ Multiplicando os dois lados dessa expressão por e AT t C T, obtém-se [ e AT t C T Ce At] x = e AT t C T [ y(t) C t ] e A(t τ) Bu(τ)dτ 18 / 56

19 [ e AT t C T Ce At] [ t ] x = e AT t C T y(t) C e A(t τ) Bu(τ)dτ Integrando os dois lados dessa expressão para t entre e t f, chega-se a [ tf ] e AT t C T Ce At dt x = tf e AT t C T [y(t) C t ] ] e A(t τ) Bu(τ) dτ dt Seja o Gramiano de Observabilidade W o R n n definido como W o = tf e AT t C T Ce At dt Se W o for inversível, obtém-se x como { tf x = Wo 1 e AT t C [y(t) T C t ] } ] e A(t τ) Bu(τ) dτ dt 19 / 56

20 Observabilidade: Interpretação alternativa W o = tf e AT t C T Ce At dt Se o par (A, C) for observável, pode-se mostrar que W o é positivo definida e, portanto, inversível. 2 / 56

21 Inversibilidade de W o W o = tf e AT t C T Ce At dt Inicialmente, deve-se notar que Wo T = = ( tf tf e AT t C T Ce At dt) T = e AT t C T Ce At dt = W o tf ( e AT t C T Ce At) T dt e, portanto, W o é simétrica. 21 / 56

22 Inversibilidade de W o W o = tf e AT t C T Ce At dt Considerando agora uma dada condição inicial x R n, tem-se tf tf x T W o x = x T e AT t C T Ce At x }{{} dt = z }{{} 2 (t)dt, t f > z T (t) z(t) em que z(t) = Ce At x é escalar. 22 / 56

23 Inversibilidade de W o x T W o x = tf z 2 (t)dt, t f > z(t) = Ce At x Uma vez que z(t) é função contínua do tempo, a integral somente será nula se z(t) =, t [, t f ]. tf z 2 (t)dt Se for esse o caso, então z() = ż() = = z (n 1) () =, isto é, z(t) ż(t). z (n 1) (t) ou seja, P o x =. = t= Ce At x CAe At x. CA n 1 e At x = t= C CA. CA n 1 } {{ } P o x =. 23 / 56

24 Inversibilidade de W o P o x = Se (A, C) for controlável, então P o será inversível e a equação P o x = só admitirá a solução x =. Portanto, x T W ox somente será igual a zero se x =. Tendo-se já provado que x T W ox, x R n, conclui-se que ou seja, W o é positivo definida. x T W o x >, x 24 / 56

25 Controlabilidade: Condição necessária Pode-se também mostrar que a inversibilidade de P o é condição necessária para que o par (A, C) seja observável. Com efeito, suponha que P o não seja inversível, ou seja, que P o tenha posto n 1 < n. Tomem-se então n 1 linhas linearmente independentes de P o, aqui denotadas por q 1, q 2,..., q n1. A parte não observável do modelo é isolada empregando uma matriz de transformação da forma ao lado, com as últimas (n n 1 ) linhas escolhidas de modo que P tenha posto completo. Demonstração: Vide C. T. Chen, Linear System Theory and Design, 1984 (página 23). P = q 1 q 2. q n1. 25 / 56

26 Exemplo 1 i L = x 1 L y = x 2 u R 1 R 2 C v C = x 2 Exemplo adaptado de C. T. Chen, Linear System Theory and Design, 1984 (página 193). 26 / 56

27 Exemplo 1 i L = x 1 L v L u y = x 2 x 2 R 2 i C u u x 1 R 1 R 2 C v C = x 2 v L = Lẋ 1 v L = R 1 (u x 1 ) } ẋ 1 = R 1 L (u x 1) i C = Cẋ 2 i C = u x 2 /R 2 } ẋ 2 = 1 C ( u x ) 2 R 2 27 / 56

28 Exemplo 1 ẋ 1 = R 1 L (u x 1), ẋ 2 = 1 C ( u x ) 2, y = x 2 R 2 ẋ = R 1 L 1 R 2 C x + R 1 L 1 C u, y = [ 1 ] x Tem-se, portanto: A = R 1 L 1 R 2 C, B = R 1 L 1 C, C = [ 1 ] 28 / 56

29 Exemplo 1 A = R 1 L 1 R 2 C, B = R 1 L 1 C, C = [ 1 ] A matriz de observabilidade P o é dada por P o = C 1 = CA 1 RC Como detp o =, conclui-se que o sistema não é observável. 29 / 56

30 Exemplo 1: Interpretação i L = x 1 L v L u y = x 2 x 2 R 2 i C u u x 1 R 1 R 2 C v C = x 2 Monitorando apenas u(t) e y(t), não é possível determinar qual a fração da corrente u(t) que passa pelo indutor. 3 / 56

31 Exemplo 1: Interpretação i L = x 1 L v L u y = x 2 x 2 R 2 i C u u x 1 R 1 R 2 C v C = x 2 ẋ1 ẋ 2 = R 1 L 1 R 2 C x 1 x 2 + R 1 L 1 C u, y = [ 1 ] x O estado x 1 não afeta a saída (nem diretamente, nem por meio de acoplamento com o estado x 2 ) 31 / 56

32 Exemplo 2 Considere um sistema descrito pelo seguinte modelo: ẋ 1 = x 1 + 3x 2 + 2u ẋ 2 = 2x 2 + u y = x 1 x 2 ou seja, ẋ = Ax + Bu, y = Cx com [ ] [ A =, B = 2 1 ], C = [ 1 1 ] Nesse caso, tem-se P o = [ C CA ] = [ ] Como detp o =, conclui-se que o sistema não é observável. 32 / 56

33 Exemplo 2 A = [ P o = ] [ 2, B = 1 [ C CA ] = ], C = [ 1 1 ] [ ] A parte não observável do modelo pode ser isolada empregando a seguinte matriz de transformação de similaridade: [ ] 1 1 P = 1 e sua inversa: P 1 = [ ] 33 / 56

34 Exemplo 2 Tem-se, então: Ā = PAP 1 = [ 1 3 A = 2 P = [ ] [ 2, B = 1 [ ], P 1 = ] [ 1, B = PB = 2 ], C = [ 1 1 ] [ ] ], C = CP 1 = [ 1 ] Empregando as novas variáveis de estado w = Px, pode-se escrever ẇ = Āw + Bu e y = Cw, isto é: ẇ 1 = w 1 + w 2 + u ẇ 2 = 3w 1 + 2w 2 + 2u y = w 1 + w 2 34 / 56

35 Exemplo 2 ẇ 1 = w 1 + w 2 + u ẇ 2 = 3w 1 + 2w 2 + 2u y = w 1 + w 2 O estado w 2 não afeta a saída (nem diretamente, nem por meio de acoplamento com w 1 ). 35 / 56

36 Controlabilidade e Observabilidade Vale notar que um sistema pode ser controlável, mas não observável, e vice-versa. Neste último exemplo: [ 1 3 A = 2 ] [ 2, B = 1 P c = [ B AB ] = ], C = [ 1 1 ] [ ] Como detp c, constata-se que o sistema é controlável. 36 / 56

37 Decomposição canônica de Kalman u y 37 / 56

38 Decomposição canônica de Kalman r u y F K x r u y 38 / 56

39 Decomposição canônica de Kalman r u y 39 / 56

40 Decomposição canônica de Kalman r u y O controlador só pode alterar as características dinâmicas dos modos controláveis e observáveis da planta. 4 / 56

41 Decomposição canônica de Kalman O controlador só pode alterar as características dinâmicas (isto é, deslocar os polos) dos modos controláveis e observáveis da planta. Como saber quais polos não podem ser deslocados por meio de realimentação da saída? 41 / 56

42 Como saber quais polos não podem ser deslocados por meio de realimentação da saída? r u y Possibilidade 1: Isolar as partes não controlável e/ou não observável do modelo por meio de transformações de similaridade (como já visto). 42 / 56

43 Como saber quais polos não podem ser deslocados por meio de realimentação da saída? r u y Possibilidade 2: Obter a função de transferência da planta - Os polos associados a modos não controláveis e/ou não observáveis serão cancelados por zeros. 43 / 56

44 Cancelamento de polos e zeros: Exemplo A = [ ] [ 2, B = 1 ], C = [ 1 1 ] Nesse caso, tem-se P c = [ B AB ] = [ ] [ C, P o = CA ] = [ ] Como detp c e detp o =, conclui-se que o sistema é controlável, mas não é observável. 44 / 56

45 Cancelamento de polos e zeros: Exemplo Por meio de transformação de similaridade, chegou-se a um modelo da forma ẇ = Āw + Bu e y = Cw, com Ā = [ ] [ 1, B = 2 ], C = [ 1 ] A matriz Ā tem autovalores em 1 e +2. O autovalor em +2 não pode ser deslocado por meio de realimentação da saída, pois o modo associado não é observável. 45 / 56

46 Cancelamento de polos e zeros: Exemplo A = [ ] [ 2, B = 1 ], C = [ 1 1 ] Vamos obter a função de transferência entre a entrada e a saída do sistema: G(s) = C(sI A) 1 B = [ 1 1 ] [ ] 1 [ ] s s [ ] [ ] [ ] s = 1 1 (s + 1)(s 2) s [ ] [ ] 2s 1 = 1 1 (s + 1)(s 2) s + 1 = s 2 (s + 1)(s 2) 46 / 56

47 Cancelamento de polos e zeros: Exemplo G(s) = s 2 (s + 1) (s 2) = 1 s + 1 Houve cancelamento do polo em s = +2, o que é consistente com o resultado obtido por meio do isolamento da parte não observável do modelo. Vale notar que o sistema é estável no sentido BIBO, mas não tem estabilidade interna (devido à presença de um modo instável que não afeta a dinâmica entre a entrada e a saída). Esse modo não pode ser estabilizado por realimentação da saída. Que problemas podem surgir na prática? 47 / 56

48 Terminologia: Estabilizabilidade e detectabilidade Se os modos não controláveis forem estáveis, diz-se que a planta é estabilizável. Se os modos não observáveis forem estáveis, diz-se que a planta é detectável. Desse modo, se a planta não for controlável e observável, é importante que seja pelo menos estabilizável e detectável. No exemplo apresentado, a planta não era detectável. 48 / 56

49 Terminologia: Realização mínima u y Um modelo no espaço de estados que descreva apenas os modos controláveis e observáveis é dito ser uma realização mínima para a função de transferência G(s) = Y (s)/u(s). 49 / 56

50 Matlab: Função obsvf obsvf Observability staircase form. [ABAR,BBAR,CBAR,T] = obsvf(a,b,c) returns a decomposition into the observable/unobservable subspaces. If Ob=OBSV(A,C) has rank r <= n = SIZE(A,1), then there is a similarity transformation T such that Abar = T * A * T, Bbar = T * B, Cbar = C * T and the transformed system has the form Ano A12 Bno Abar = , Bbar = ---, Cbar = [ Co] Ao Bo 5 / 56

51 Função obsvf: Exemplo >> A = [-1 3; 2]; B = [2;1]; C = [1-1]; >> [ABAR,BBAR,CBAR] = obsvf(a,b,c) ABAR = BBAR = CBAR = / 56

52 Matlab: Função ctrbf ctrbf Controllability staircase form. [ABAR,BBAR,CBAR,T] = ctrbf(a,b,c) returns a decomposition into the controllable/uncontrollable subspaces. If Co=CTRB(A,B) has rank r <= n = SIZE(A,1), then there is a similarity transformation T such that Abar = T * A * T, Bbar = T * B, Cbar = C * T and the transformed system has the form Anc Abar = , Bbar = ---, Cbar = [Cnc Cc] A21 Ac Bc 52 / 56

53 Matlab: Função minreal minreal Minimal realization and pole-zero cancellation. MSYS = minreal(sys) produces, for a given LTI model SYS, an equivalent model MSYS where all cancelling pole/zero pairs or non minimal state dynamics are eliminated. For state-space models, minreal produces a minimal realization MSYS of SYS where all uncontrollable or unobservable modes have been removed. For a state-space model SYS=SS(A,B,C,D), [MSYS,U] = minreal(sys) also returns an orthogonal matrix U such that (U*A*U,U*B,C*U ) is a Kalman decomposition of (A,B,C). 53 / 56

54 Função minreal: Exemplo >> A = [-1 3; 2]; B = [2;1]; C = [1-1]; D = ; >> SYS = ss(a,b,c,d); >> MSYS = minreal(sys) 1 state removed. 54 / 56

55 Função minreal: Exemplo a = x1 x1-1 b = u1 x c = x1 y d = u1 y1 55 / 56

56 Próxima aula Filtro de Kalman 56 / 56