SEM-5828 Sistemas de Controle Lista 4 Resolução. Adriano Almeida Gonçalves Siqueira

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1 SEM-5828 Sistemas de Controle Lista 4 Resolução Adriano Almeida Gonçalves Siqueira 1) Considere os seguintes sistemas dados elas funções de transferência: g 1( s) 1( s 1) ( s 5)( s 1) g ( s) 2 1( s 1) ( s 5)( s 1) g 3( s) 1( s 1) ( s 5)( s 1) a) Quais sistemas são de fase mínima? b) Desenhe os diagrmas de Bode (ganho) ara os 3 sistemas num único gráfico. c) Trace os diagrams de Bode (fase) ara os 3 sistemas num único gráfico. d) Plote as resostas a degrau de g 1 (s) e g 2 (s) num mesmo gráfico. e) Tente achar uma justificativa ara a denominação "sistema de fase mínima" Resolução: a) Um sistema de fase não mínima é aquele que aresenta zeros ou ólos no semilano direito aberto do lano comlexo. Os zeros e ólos dos sistemas acima são: g 1 (s) : z = -1, 1 = -5 e 2 = -1 g 2 (s) : z = 1, 1 = -5 e 2 = -1 g 3 (s) : z = -1, 1 = -5 e 2 = 1 Portanto, os sistemas g 2 e g 3 são de fase não mínima e o sistema g 1 é considerado de fase mínima. b) Os diagrmas de Bode ara os três sistemas aresentam as mesmas características, (Fig. 1.1) ois estes sistemas ossuem o mesmo tio de função de transferência com valores iguais a menos dos sinais.

2 fase (graus) ganho (db) 1 g1 g2 g frequê ncia (rad/s) Fig. 1.1 c) Os diagramas de fase são mostrados na figura abaixo: 2 15 g1 g2 g frequê ncia (rad/s) Fig. 1.2 d) As resostas ao degrau de g 1 (s) e g 2 (s) são mostradas na Fig. 1.3 abaixo. O sistema g 3 (s) é instável, ortanto, sua resosta ao degrau não é convergente.

3 Amlitude Ste Resonse.5 g1 g Time (sec.) Fig. 1.3 e) Um sistema de fase mínima aresenta a mínima variação do ângulo de fase entre os sistemas equivalentes (com mesma estrutura) a ele (Ogata). Esta característica ode ser observada na Fig. 1.2, na qual o sistema g 1 (s) (fase mínima) ossui menor variação do ângulo de fase em relaçào aos demais. 2) Um modelo de estados do helicótero CH-47 é:.2 x x u.9 1 y x 57.3 a) Determine a lei de realimentação de estados u( t) Gx( t) de maneira que os ólos do sistema em malha fechada seja {-3 j3; -3; -4}. É ossível alocar os ólos do sistema em malha fechada arbitrariamente no lano comlexo?por que? b) Calcule a resosta livre do sistema em malha fechada ara a condição inicial x() = [ 1 3]' e lote y 1 (t) e y 2 (t) num mesmo gráfico.

4 c) Projete um observador de estados ara o helicótero com o seguinte conjunto de ólos: {-15 j15; -15; -2}. É ossível alocar os ólos do observador arbitrariamente no lano comlexo?por que? d) Considere agora o observador seguido em cascata ela realimetação de estados, isto é: u( t) Gxˆ( t) onde G é a matriz de ganhos do item a) e xˆ é a estimativa do estado gerada elo observador rojetado no item c). Sejam y 1 (t) e y 2 (t) as variáveis de saída da resosta livre do sitema com condição inicial x() = [ 1 3]' e xˆ () = [ ]'. Plote y 1 (t) e y 2 (t) no mesmo gráfico que você obteve no item b). e) Os resultados obtidos estão de acordo com o eserado? Por que? Resolução: a) Os ólos do sistema só oderão ser alocados arbitrariamente se o ar (A,B) for controlável. Para se verificar a controlabilidade do ar (A,B) deve-se determinar o osto da matriz de controlabilidade C dada or: C B AB Portanto, ara A e B dadas acima, temos: A 2 B A 3 B C cujo osto linha é 4, ortanto, o ar (A,B) é controlável. Os ólos do sistema são inicialmente: 1 = = i 3 = i 4 = mostrando que o sistema é instável.

5 To: Y2 Amlitude To: Y1 Os ólos do sistema devem ser alocados ara {-3 j3; -3; -4} de modo que o sistema torne-se estável. A determinação de G utiliza-se a função lace(a,b,p) do MatLab, sendo P o vetor contendo os novos ólos. A matriz de ganho G encontrada foi: G b) A resosta livre do sistema em malha fechada ara a condição inicial edida ode ser calculada utilizando a função lsim(ss,u,t,x), sendo ss o sistema realimentado sendo Ã=A-BG. A figura abaixo mostra o resultado obtido. Linear Simulation Results Time (sec.) c) Os ólos do observador só oderão ser alocados arbitrariamente se o ar (C,A) for observável. Para se verificar a observabilidade do ar (C,A) deve-se determinar o osto da matriz de observabilidade O dada or: O C CA 2 CA 3 CA Portanto, ara A e C dadas acima, temos:

6 .14 O cujo osto coluna é 4, ortanto, o ar (C,A) é observável. A determinação do ganho do observador H utiliza-se novamente a função lace, sendo agora as entradas A, C e o vetor contendo os ólos desejados. A matriz de ganho H encontrada foi: H d) A dinâmica do controlador obtido com o observador seguido em cascata ela realimentação é dada or: K(s) = G(sI-A+BG+HC) -1 H O ramo direto do sistema é dado or G(s)K(s), sendo G(s) = C(sI-A) -1 B. A realimentação gera a malha fechada dada or (ag. 16 do livro Controle Robusto Multivariável, José J. da Cruz): C(s) = C(sI-A+BG) -1 BG(sI-A+HC) -1 H A resosta do sistema em malha fechada foi obtido de acordo com o seguinte rograma: S1=ss(A-B*G,B,C,D); S5=ss(A-H*C,H,G,D); S6=series(S5,S1); figure; t=:.1:1; u1=*t; u2=*t; u=[u1;u2]; xo=[; 1; ; 3;;;;]; lsim(s6,u,t,xo);

7 To: Y2 Amlitude To: Y1 Linear Simulation Results Time (sec.) e) Os resultados obtidos são idênticos como era eserado. 3) Um modelo de estados da turbina GE-21 com duas saídas é o seguinte: x A x B u y C x onde: A B C a) Aumente o sistema com um integrador em cada canal de controle de forma a assegurar erro estacionário nulo ara entrada degrau: u u y I/s turbina Descreva o sistema aumentado na forma de estados:

8 x Ax Bu x' (int egradores ) x y Cx, onde: x b) Plote os valores singulares do sistema aumentado, i [C(sI-A) -1 B], ara s = j e c) Admita que um comensador, com a estrutura observador + realimentação de estados, deve ser rojetado de maneira que a frequência de cross-over seja de 1 rad/seg e que todos os valores singulares tenham aroximadamente a mesma frequência em cross-over. Utilize como matriz de ganhos do observador (H) a seguinte matriz: H Plote os valores singulares i [C(sI-A) -1 H], ara s = j e d) Admita que os valoes singulares i [C(sI-A) -1 H] são satisfatórios e que se deseja recuerá-los com i [G(s)K(s)],, via regulador linear quadrático (com = 1, 1-1, 1-3 e 1-9 ). Plote i [C(sI-A) -1 H] nos 4 casos, ara s = j e juntamente com a malha objetivo num mesmo gráfico. e) Calcule os ólos de malha aberta do sitema aumentado. Calcule também os zeros do comensador (nos 4 casos). Desenhe todos os ólos e zeros anteriores num mesmo gráfico. f) Calcule os ólos de malha fechada (nos 4 casos) e localize-os no lano comlexo. g) Aenas ara = 1-9, lote os valores singulares da F.T. de malha fechada G(s)K(s)[I+G(s)K(s)] ara s = j e Resolução: a) Para assegurar erro estacionário nulo ara entrada degrau, o sistema deve ser aumentado da seguinte forma: I A ; B A B e C C Portanto o sistema aumentado é dado or:

9 (db) (db) (db) A ; 1 B 1 e C 1 1 b) Os valores singulares do sistema aumentado, i [C(sI-A) -1 B], são obtidos utilizando a função sigma do MatLab. A figura abaixo mostra o resultado: Sistema Fig. 3.1 c) Os valores singulares da malha objetivo, i [C(sI-A) -1 H], são mostrados na figura 3.2. Note que os valores singulares são róximos, característico da malha objetivo rojetada anteriormente. Na figura 3.3 são mostrado os valores singulares do sistema aumentado e da malha objetivo. O objetivo do rojeto do regulador (recueração) é aroximar a curva do sistema aumentado da curva da malha objetivo G e Malha objetivo 4 2 G e Malha objetivo Fig 3.2 Fig 3.3

10 (db) (db) c) Para rojetar o regulador foram seguidos os seguintes assos (ara os casos em que = 1,.1 e.1): determinar as matrizes Ar, Br, Cr utilizadas na função are(). De acordo com a equação de Ricatti abaixo: = -KA A K C C + (1/)KBB K as matrizes são: Ar = A, Br = (1/)*B*B e Cr=C *C. E, resolvendo a Ricatti, o ganho G do regulador é dado or: G = (1/)*B *K a dinâmica do controlador K é dada or: K(s) = G(Is-A+BG+HC) -1 H. calculando G(s)K(s), lota-se os valores singulares. Os valores singulares do sistema aumentado com o comensador rojetado ara = 1, =,1 e =,1 são mostrados nas figuras 3.4, 3.5 e 3.6, resectivamente. Os valores singulares da malha objetivo também são mostrados. 5 GK e MO com ro=1 GK e MO com ro=

11 (db) (db) (db) GK e MO com ro=1e Para = 1e-9, foram utilizados dois rocedimentos: o acima descrito e utilizando a função ltry do MatLab. Os dois métodosm aresentaram os mesmos resultados (fig. 3.7 e 3.8). 4 GK e MO com ro=1e-9 sem LTRY 4 GK e MO com ro=1e-9 com LTRY O rograma utilizado ara gerar o controlador K elos dois rocedimentos é mostrado abaixo: %regulador com ro=1e-9 sem utilizar LTRY ro=(1e-9); Cr=C'*C; Br=(1/ro)*B*B'; Ar=A; K=are(Ar,Br,Cr); G=(1/ro)*B'*K; A_4=A-B*G-H*C; sysk4 = ss(a_4,h,g,d); sysgk4 = series(sysk4,sysg); %valores singulares de GK e MO num mesmo gráfico figure;grid;sigma(sysgk4,sysmo,w); title('gk e MO com ro=1e-9 sem LTRY'); %regulador com ro=1e-9 utilizando LTRY figure; q=[]; %a função LTRY gera o gráfico de GK mas não gera o da MO

12 [Af,Bf,Cf,Df,svl]=ltry(A,B,C,D,H,Cr,[ro ; ro],q,w); hold on; sigma(sysmo,w); e) Determinação dos ólos da malha aberta (sistema aumentado) e zeros dos comensadores ara = 1,,1, 1e-3 e 1e zeros com = 1 (cyan): zeros com =,1 (vermelho): zeros com = 1e-3 (verde): zeros com = 1e-9 (magenta): i i ólos(azul): i i f) Os ólos e zeros de malha fechada foram determinados ara os 4 casos e são mostrados nas figuras abaixo:

13 Imag Axis Imag Axis Imag Axis Para = 1.8 ó los e zeros da MF com ro= Para = Real Axis 2.5 ó los e zeros da MF com ro=.1 Para = Real Axis ó los e zeros da MF com ro=1e Real Axis

14 (db) Imag Axis Para = 1e-9 3 ó los e zeros da MF com ro=1e-9 sem LTRY Real Axis Nota-se que os ólos tendem a cancelar os zeros e deslocar ara a esquerda do lano comlexo. g) Na figura abaixo são mostrados os valores singulares do sistema em malha fechada ara = 1e-9. Nota-se que os valores estam róximos e aresentam uma curva sem amlificação em baixas frequências e decaimento dentro do eserado em altas frequências. Malha Fechada com ro=1e-9 e sem LTRY